數(shù)學建模論文_傳染病模型)

1、WORD格式傳染病模型摘要“傳染病的傳播過程數(shù)學模型是通過控制已感染人群來實現(xiàn)的。 利用隔離等手段來保護未被感染的人群， 減少其對*人群的危害。 由于傳染病具有研究新型病例有著重要的意義， 利用數(shù)學知識聯(lián)系實際問題， 作出相應(yīng)的解答和處理。問題一：描述傳染病的傳播過程，將分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律，預(yù)報傳染病高潮到來的時刻， 在傳染病過程中， 建立傳染病影響*人的數(shù)學模型。 問題二，在區(qū)分*人群和已經(jīng)感染人群的情況下， 要建立適合總?cè)藬?shù)不變， 區(qū)分已經(jīng)感染的人群和的數(shù)學模型， 必須在問題一的條件下作出合理假設(shè)， 同時得出該模型，最后結(jié)合數(shù)據(jù)可算出每個已感染人群每天接觸*人群的函數(shù)和數(shù)學模型。問題

2、三，傳染病無免疫性病人治愈成為*人， *人可再次被感染，問題三參加*人可以再次感染， 一個感染期內(nèi)每個病人的有效接觸人數(shù)， 稱為接觸數(shù)。一種疾病的傳播過程是一種非常復雜的過程，它受很多社會因素的制約和影響，如傳染病人的多少，易受傳染者的多少，傳染率的大小，排除率的大小，人口的出生和死亡， 還有人員的遷入和遷出， 潛伏期的長短， 預(yù)防疾病的宣傳以及人的個體差異等。 如何建立一個與實際比較吻合的數(shù)學模型，開場顯然不能將所有因素都考慮進去。 為此，必須從諸多因素中， 抓住主要因素， 去掉次要因素。先把問題簡化，建立相應(yīng)的數(shù)學模型。將所得結(jié)果與實際比較，找出問題，修改原有假設(shè)，再建立一個與實際比較吻合

3、的模型。 從而使模型逐步完善。 下面是一個由簡單到復雜的建模過程， 很有代表性，讀者應(yīng)從中體會這一建模過程的方法和思路。專業(yè)資料整理WORD格式1專業(yè)資料整理WORD格式一問題的提出描述傳染病的傳播過程， 將分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律，預(yù)報傳染病高潮到來的時刻，在傳染病過程中，建立傳染病影響*人的數(shù)學模型。問題二，在區(qū)分*人群和已經(jīng)感染人群的情況下，要建立適合總?cè)藬?shù)不變， 區(qū)分已經(jīng)感染的人群和的數(shù)學模型， 必須在問題一的條件下作出合理假設(shè)，同時得出該模型， 最后結(jié)合數(shù)據(jù)可算出每個已感染人群每天接觸*人群的函數(shù)和數(shù)學模型。 問題三，傳染病無免疫性病人治愈成為*人， *人可再次被感染， 問題三參加*

4、人可以再次感染， 一個感染期內(nèi)每個病人的有效接觸人數(shù)， 稱為接觸數(shù)。二問題的分析2.1 問題分析描述傳染病的傳播過程， 將分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律， 預(yù)報傳染病高潮到來的時刻，在傳染病過程中，建立傳染病影響*人的數(shù)學模型。2.2 模型分工分組組員模型選取xxx 傳染病模型一 : 已感染人數(shù) (病人 ) i(t) 與時間 t 的關(guān)系xxx 傳染病模型二 :在模型一的根底上區(qū)分已感染者(病人 )和未感染者 (*人 )xxx 傳染病模型三 :在模型一與模型二的根底上傳染病無免疫性病人治愈成為*人，*人可再次被感染專業(yè)資料整理WORD格式2專業(yè)資料整理WORD格式三建模過程3.1 問題一3.11. 模

5、型假設(shè)：(1) 每個病人在單位時間內(nèi)傳染的人數(shù)是常數(shù) k； (2) 一個人得病后經(jīng)久不愈，并在傳染期內(nèi)不會死亡。3.12. 定義符號說明：i(t)表示 t 時刻的病人數(shù)，k0表示每個病人單位時間內(nèi)傳染的人數(shù)，i(0)=i0表示最初時有 i0個傳染病人。3.13 模型建立與求解：在 t 時間內(nèi)增加的病人數(shù)為itt i t k0i tt ；兩邊除以t ，并令t0得微分方程di tk0itdt3.1i0i0其解為i t i0ek0t。這說明傳染病的轉(zhuǎn)播是按指數(shù)函數(shù)增加的。這結(jié)果與傳染病傳播初期比較吻合，傳染病傳播初期，傳播很快，被傳染人數(shù)按指數(shù)函數(shù)增長。但由(2.1)的解可知，當 t時， i(t)

6、，這顯然不符合實際情況。最多所有的人都傳染上就是了。那么問題在那里呢？問題是就出在于兩條假設(shè)對時間較長時不合理。特別是專業(yè)資料整理WORD格式3專業(yè)資料整理WORD格式假設(shè) (1)，每個病人單位時間內(nèi)傳染的人數(shù)是常數(shù)與實際情況不符。因為隨著時間的推移，病人越來越多， 而未被傳染的人數(shù)卻越來越少，因而不同時期的傳播情況是不同的。 為了與實際情況較吻合， 我們在原有的根底上修改假設(shè)建立新的模型。3.2 問題二3.21. 根本假設(shè)：問題二，在區(qū)分*人群和已經(jīng)感染人群的情況下，要建立適合總?cè)藬?shù)不變，區(qū)分已經(jīng)感染的人群和的數(shù)學模型，必須在問題一的條件下作出合理假設(shè)，同時得出該模型，最后結(jié)合數(shù)據(jù)可算出每個

7、已感染人群每天接觸*人群的函數(shù)和數(shù)學模型。3.22. 定義符號說明：將人群分成兩類：一類為傳染病人，另一類為未被傳染的人，分別用i(t) 和s(t)表示 t 時刻這兩類人的人數(shù)。 i (0)=i0。3.23 模型建立與求解：假設(shè)： (1) 每個病人單位時間內(nèi)傳染的人數(shù)與這時未被傳染的人數(shù)成正比。即 k0 ks t ；(2) 一人得病后，經(jīng)久不愈，并在傳染期內(nèi)不會死亡。由以上假設(shè)可得微分方程di tks t i tdts ti tn(3.2)i 0i專業(yè)資料整理WORD格式4專業(yè)資料整理WORD格式這是變量別離方程，用別離變量法可求得其解為i tnn(3.3)11 eknti0其圖形如以下圖 3

8、-1 所示圖 3.1模型 (3.2) 可以用來預(yù)報傳染較快的疾病前期傳染病頂峰到來的時詢。di上稱 dtt 為傳染病曲線，它表示傳染病人的增加率與時間的關(guān)系，如圖所示。醫(yī)學3-2專業(yè)資料整理WORD格式由 (3.3)式可得kn2n1 e kntdii0dtn23.4)1 e knt1i0專業(yè)資料整理WORD格式5專業(yè)資料整理WORD格式d 2i td 2 i t0 ，可解得極大點為再求二階導數(shù)dt 2，并令dt 2lnn 1t1i0(3.5)kn從 (3.5) 式可以看出，當傳染病強度k 或人口總數(shù) n 增加時，t1都將變小，即傳染病頂峰來得快。這與實際情況吻合。同時，如果知道了傳染率k(k

9、由統(tǒng)計數(shù)據(jù)得到 )，即可預(yù)報傳染病頂峰t1到來的時間，這對于預(yù)防傳染病是有益處的。模型 (3.2) 的缺點是：當t時，由 (3.3)式可知 i(t) n，即最后人人都要得病。這顯然與實襪情況不符。造成這個結(jié)果的原因是假設(shè)(2) 中假設(shè)一人得病后經(jīng)久不愈，也不會死亡。為了得到與實際情況更吻合的模型，必須修改假設(shè)(2) 。實際上不是每個人得病后都會傳染別人， 因為其中一部份會被隔離， 還有由于醫(yī)治和人的身抵抗力會痊愈，有的人會死亡從而也就不再會傳染給別人了。 因此必須對模型作進一步的修改，建立新的模型。3.3 問題三3.31. 根本假設(shè)：傳染病無免疫性 SIS 模型病人治愈成為*人，*人可再次被感

10、染，問題三參加*人可以再次感染，一個感染期內(nèi)每個病人的有效接觸人數(shù)，稱為接觸數(shù)。3.32. 定義符號說明：已感染人(病數(shù)人)i(t)專業(yè)資料整理WORD格式6專業(yè)資料整理WORD格式3.33 模型建立與求解： 1模型建立的建立如下：N i (tt )i (t)Ns(t)i (t) tNi (t ) tdii (1i )idti (0)i0/2模型的求解過程如下：diii (1 i )dt 3.6；/ 3.7；試子 3.6 和 3.7 變量別離方程，用別離變量法可求得其解為：dii i(11 )dt其中 di/dt 可看成一元二次方程中的y，i 相當于一元二次方程中的x。這樣專業(yè)資料整理WORD

11、格式7專業(yè)資料整理WORD格式的解法便利了運算。3下面的分析 di/dt 與 的關(guān)系：其中 一個感染期內(nèi)每個病人的有效接觸人數(shù)，稱為接觸數(shù)。在上圖中我們討論的是大于一的情況。關(guān)系模式成拋物線有最高點；拋物線與i 軸的交點 1-1/ 為方程的駐點。(4)分析 i 與時間 t 的關(guān)系>1 的情況：第一種情況： 隨著時間 t 的增加， i 的值一直增加但不會超過 1-1/ 的值，而是無限接近。這說明隨著時間的增加， 感染傳染病的人數(shù)如果沒有條件控制的話會一直增加。第二種情況是：感染傳染病的人數(shù)一定時， 有醫(yī)療措施但沒有控制條件的話，雖然人數(shù)會減少但也是無限接近一個固定的值為 1-1/ 。5分析

12、 i 與時間 t 的關(guān)系<=1 的情況：專業(yè)資料整理WORD格式8專業(yè)資料整理WORD格式當 <=1 時， di/dt<0；可推出隨著時間 t 的增加，患傳染病的人數(shù)會越來越少直到全部痊愈。說明控制病人的有效接觸人數(shù)有很重要的作用。3.34 結(jié)論接觸數(shù)=1閾值11,1i ()0 ,11專業(yè)資料整理WORD格式i 0小i ( t ) 按 S形曲線增長專業(yè)資料整理WORD格式1i ( t )由以上可得出結(jié)論：感染期內(nèi)有效接觸感染的*者人數(shù)不超過病人數(shù)。專業(yè)資料整理WORD格式9專業(yè)資料整理WORD格式四模型的評價與改進隨著衛(wèi)生設(shè)施的改善、醫(yī)療水平的提高以及人類文明的不斷開展，諸如

13、霍亂、天花等曾經(jīng)肆虐全球的傳染病已經(jīng)得到有效的控制， 但是在世界的某些地區(qū)， 特別是貧窮的開展中國家， 還不時出現(xiàn)傳染病流行的情況， 與次同時，一些鮮為人知的險惡傳染病那么跨國越界在既包括興旺國家也包括開展中國家的更大X圍內(nèi)蔓延。一直以來，建立傳染病的數(shù)學模型來描述傳染病的傳播過程， 分析受感數(shù)的變化規(guī)律，預(yù)報傳染病高潮的到來等等，有著重要的作用。以最近突發(fā)性的險惡傳染病 SARS為例。從 2002 年 11 月 16 日在中國*市首例發(fā)生家族聚集性發(fā)病至 2003 年 5 月，疾病呈迅速蔓延趨勢。目前全世界 30 多個國家和地區(qū)有病例報告。 中國大陸、*和*發(fā)病人數(shù)占全球的 90%以上。世界

14、衛(wèi)生組織 WHO總干事 Brundtlard博士指出， SARS已威脅到全球人類的*。由于目前對 SARS尚無可靠的病理學診斷，所以只能根據(jù)醫(yī)療衛(wèi)生部門提供的可靠數(shù)據(jù)統(tǒng)計資料， 建立模型來描述 SARS病毒的宏觀傳播過程，有助于從量的方面來分析受感染人數(shù)的變化趨勢，掌握SARS的流行規(guī)律，從而及時對疫情進展控制， 提供科學的數(shù)據(jù)， 認清傳染的根本要素， 為防病提供必要的依據(jù) 。例如， 5 月 8 日，*交通大學醫(yī)學院緊急啟動“建立非典流行趨勢預(yù)測與控制策略數(shù)學模型研究工程。于 5 月 19 日初步完成了第一批成果，這一數(shù)學模型利用實際數(shù)據(jù)擬合參數(shù)， 并對全國和、*等地的疫情進展了計算仿真。結(jié)果

15、指出，將患者及時隔離對于抗擊非典至關(guān)重要。分析報告說，就全國而論，假設(shè)非典病人延遲隔離 1 天，就醫(yī)人數(shù)將增加 1000 人左右，推遲兩天約增加 2100 人左右；假設(shè)外界輸入 1000 人中包含一個病人和一個潛伏病人，將增加患病人數(shù) 100 人左右；假設(shè) 4 月 21 日以后，政府未采取隔離措施，那么頂峰期病人人數(shù)將達60 萬人。同時美國"科學"雜志5 月 23 日發(fā)表的兩份最新研究報告顯示，如果對非典采取嚴密的公共衛(wèi)生防治措施，這種新型疾病是能夠得到控制的。而采取這種措施需要有一個預(yù)見性， 這就需要人們通過模型的建立對SARS的發(fā)病周期、專業(yè)資料整理WORD格式10專業(yè)資料整理WORD格式發(fā)病人數(shù)的變化