2020年高考數(shù)學(xué)(理科)練習(xí)：5.2異面直線所成的角與點(diǎn)、線、面位置關(guān)系判斷

1、直線所成的角與點(diǎn)、線、面位置關(guān)系判斷的角咼考真題體驗(yàn) 對(duì)方向1.(2018 全國(guó)n9)在長(zhǎng)方體 ABCD-AiBiCiDi中,AB=BC= 1,AAi=,則異面直線 ADi與DBi所成 角的余弦值為()以 DA,DC,DDi為軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則 Di(0,0,),A(1,0,0), D (0,0,0), Bi(1,1,).二= (-1,0,), = (1,1,).設(shè)異面直線 AD1與 DB1所成的角為 0.Acos 9=.異面直線 AD1與 DB1所成角的余弦值為.2.(2017 全國(guó)n10)已知直三棱柱 ABC-A1B1C1中，/ABC=120 ,AB=2,BC=CC1=1,則異面

2、直線AB1與 BC1所成角的余弦值為()A.B.C.D.:答 Q解析方法一：如圖，取 AB,BB1,B1C1的中點(diǎn) M,N,P,連接 MN,NP,PM,可知 AB1與 BC1所成的角等于 MN 與 NP 所成的角.由題意可知 BC1= ,AB1=,則 MN=AB1=,NP=BC1=.取 BC 的中點(diǎn) Q,連接 PQ,QM,則可知 APQM 為直角三角形.在ABC 中,AC2=AB2+BC2-2AB BC cos/ ABC= 4+ 1 -2 X2 X1X=7,即 AC=. 又 CC1=1,所以 PQ=1,MQ=AC=.在 AMQP 中,可知 MP=.在 APMN 中,cos/ PNM=-,5.2

3、異面命題角度1兩條異面直線所成A.B.C.D.答案 C又異面直線所成角的范圍為，故所求角的余弦值為方法二：把三棱柱 ABC-AIBICI補(bǔ)成四棱柱 ABCD-AIBICIDI,如圖,連接 CID,BD 則 ABI與 BCI所成的角為/ BCID.由題意可知 BCI=,22BD= ,CID=AB1=.可知 B+BD =CID , 所以 cos/BCID=,故選 C.3.（2016 全國(guó) I 11）平面 a 過(guò)正方體ABCD-AiBiCiDi的頂點(diǎn) A, a/平面 CBIDI, aQ 平面 ABCD=m , aA 平面 ABBiAi= n,則 m,n 所成角的正弦值為（）A.B.C.D.A（方法一

4、）Ta/ 平面 CBIDI,平面 ABCD /平面 AiBiCiDi,aA 平面 ABCD=m，平面 CBiDiA平面 AIBICIDI=BIDI,.m/ BiDi.Ta/ 平面 CBIDI,平面 ABBiAi/ 平面 DCCiDi,aA 平面 ABBiAi= n ,平面 CBiDiA 平面 DCCiDi=CDi,二n/ CDi.二BiDi,CDi所成的角等于 m,n 所成的角，即/ BiDiC 等于 m,n 所成的角.BiDiC 為正三角形，/ BiDiC=60 , m,n 所成的角的正弦值為.（方法二）由題意畫出圖形如圖，將正方體 ABCD-AiBiCiDi平移，補(bǔ)形為兩個(gè)全等的正方體如圖

5、，易證平面 AEF /平面 CBIDI,所以平面 AEF 即為平面 a,m 即為 AE,n 即為 AF,所以 AE 與 AF 所成的角即為 m 與 n 所成的角.因?yàn)锳EF 是正三角 形,所以/EAF=60 ,故 m,n 所成角的正弦值為.4.（20i7 全國(guó)川i6）a,b 為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形 ABC 的直角邊 AC 所在 直線與 a,b 都垂直，斜邊 AB 以直線 AC 為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論：1當(dāng)直線 AB 與 a 成 60角時(shí),AB 與 b 成 30角；2當(dāng)直線 AB 與 a 成 60角時(shí),AB 與 b 成 60角；3直線 AB 與 a 所成角的最小值為 45

6、;4直線 AB 與 a 所成角的最大值為 60 .其中正確的是_.（填寫所有正確結(jié)論的編號(hào)）H由題意,AB 是以 AC 為軸,BC 為底面半徑的圓錐的母線，由 AC 丄 a,AC 丄 b,得 AC 丄圓錐底 面,在底面內(nèi)可以過(guò)點(diǎn) B,作 BD / a,交底面圓 C 于點(diǎn) D,如圖所示旌接 DE,則 DE 丄 BD,. DE / b.連接 AD,在等腰三角形 ABD 中，設(shè) AB=AD=,當(dāng)直線 AB 與 a 成 60角時(shí)，/ABD= 60 ,故 BD=.又在 Rt ABDE中,BE=2,.DE=，過(guò)點(diǎn) B 作 BF / DE,交圓 C 于點(diǎn) F,連接 AF,由圓的對(duì)稱性 可知BF=DE=,BA

7、BF 為等邊三角形，/ ABF=60 ,即 AB 與 b 成 60角,正確，錯(cuò)誤由最小角定 理可知正確；很明顯，可以滿足直線 a 丄平面 ABC,直線 AB 與 a 所成的最大角為 90。，錯(cuò)誤. 故正確的說(shuō)法為新題演練提能刷高分1.(2018 百校聯(lián)盟全國(guó)聯(lián)考)如圖所示，在四棱錐 P-ABCD 中,底面 ABCD 為菱形,AB=2,ZBAD= 60，側(cè)面 PAD 為等邊三角形且垂直于底面ABCD,F,F 分別為 PD,CD 的中點(diǎn)，則異面直線 AE 與 BF 所成角的余弦值為()A.B.C.D.答答案 B解析如圖，取 AD 的中點(diǎn) O,連接 OP,OB,由題意可得 PO 丄平面 ABCD.在

8、 AAOB 中,OA= 1,AB=2, / OAB= 60，則由余弦定理得 OB=,所以 OB 丄 AD, 因此可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz.則 A(1,0,0),E -,0, ,B(0,0),F -,0 ,= -,0, ,= -,-,0 ,cos=.異面直線 AE 與 BF 所成角的余弦值為.選 B.2.(2018 陜西質(zhì)量檢測(cè))已知 AABC 與厶 BCD 均為正三角形，且 AB= 4 若平面 ABC 與平面 BCD 垂直，且異面直線 AB 和 CD 所成角為 Q 則 cos9=()A.-B.C.-D.:答案 D解析如圖，設(shè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為 4.T等邊三角形 ABC 和 BC

9、D 所在平面互相垂直，取 BC 中點(diǎn) 0,則 AO 丄 BC 丄 OD,以 0 為原點(diǎn),建立如圖空間直角坐標(biāo)系0-xyz.則 A(0,0,2),B(0,-2,0),C(0,2,0),D(2,0,0),= (0,-2,-2),= (2,-2,0),故 cos= ,異面直線 AB 和 CD 所成角的余弦值為，故選 D.3.(2018 貴州凱里模擬)在長(zhǎng)方體 ABCD-AiBiCiDi中底面 ABCD 是邊長(zhǎng)為 1 的正方形，若其外接球的表面積為 16n 則異面直線 BD1與 CC1所成的角的余弦值為 _.答案解析設(shè)外接球的半徑為 R 則 4nR2=16n 解得 R=2,設(shè)長(zhǎng)方體的高為 x,則 x2

10、+12+12= (2R)2=16, 故 x=，在RtBDD1中，/ DD1B 即為異面直線所成的角，其余弦值為.4._ (2018 四川樂(lè)山半期聯(lián)考)如圖，在三棱錐 A-BCD 中,E,F,G 分別為 AB,AC,CD 中點(diǎn),且 AD=BC= 2,EG=則異面直線 AD 與 BC 所成的角的大小為 _ .答案 160解析由三角形中位線的性質(zhì)可知EF / BC,GF / AD,則/ EFG 或其補(bǔ)角即為所求，由幾何關(guān)系有 EF=BC= 1,GF=AD= 1,由余弦定理可得 cos/ EFG=-則/ EFG= 120 ,所以異面直線 AD與BC所成的角的大 小為 180-120 =60 .5.(2

11、018 安徽淮南、宿城聯(lián)考)在如圖所示的三棱錐 P-ABC 中,FA 丄底面 ABC,AB 丄 AC,D 是 PC 的中點(diǎn).AB=2,AC=2,PA=2則異面直線 PB 與 AD 所成角的余弦值為 _ .答案如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系 A-xyz,則 B(2,0,0),C(0,2,0),A(0,0,0),P(0,0,2),D(0,1),=(0,1), = (2,0,-2),二cos=，故答案為.6.(2018 安徽、山西等五省六校聯(lián)考)如圖 1,在矩形 ABCD 中,AB=2,BC=1,E 是 DC 的中點(diǎn)；如圖 2,將 ADAE 沿 AE 折起,使折后平面 DAE 丄平面 ABCE,則異面

12、直線 AE 和 DB 所成角的余弦答案解析取 AE 的中點(diǎn)為 0,連接 D0,B0,延長(zhǎng) EC 到 F 使 EC=CF ,連接 BF,DF,0F,則 BF / AE,所以 / DBF 或它的補(bǔ)角為異面直線 AE 和 DB 所成角.45 =.|B0|=.同理可得 |0F|=.又平面 DAE 丄平面 ABCE,平面 DAE 門平面 ABCE=AE ,D0?平面 DAE,. D0 丄平面ABCE./B0?平面 ABCE,DO 丄 B0,2 2 2|BD|2=|B0|2+|D0|2= 3,即|BD|=,同理可得|DF|=.又 BF=AE=，在 ADBF 中,cos/ DBF=-,合判斷咼考真題體驗(yàn)對(duì)方

13、向r11.（2018 全國(guó)I12）已知正方體的棱長(zhǎng)為1,每條棱所在直線與平面a 所成的角都相等 貝 U a 截此正方體所得截面面積的最大值為（）A.B.C.D.答案|A解析滿足題設(shè)的平面 a 可以是與平面 A1BC1平行的平面，如圖（1）所示值為命題角度2空間位置關(guān)系的綜圖Icos / OAB= cosT兩直線的夾角的取值范圍為0,-,異面直線 AE 和 DB 所成角的余弦值為.再將平面 A1BC 平移，得到如圖（2）所示的六邊形圖圖設(shè) AE=a，如圖所示，可得截面面積為S=x（l-a）+a+a 2x-x（a）2x（-2a2+ 2a+1）,所以當(dāng) a=時(shí),Smax=.2.（2015 安徽 5）

14、已知 m,n 是兩條不同直線,aB 是兩個(gè)不同平面，則下列命題正確的是（）A. 若 a, B 垂直于同一平面，則 a 與 B 平行B. 若 m,n 平行于同一平面，則 m 與 n 平行C 若 a B 不平行，則在 a 內(nèi)不存在與 B 平行的直線D.若 m,n 不平行,則 m 與 n 不可能垂直于同一平面SDA 選項(xiàng) a B 可能相交；B 選項(xiàng) m,n 可能相交 也可能異面;C 選項(xiàng)若 a 與 B 相交，則在 a 內(nèi)平 行于它們交線的直線一定平行于3 由垂直于同一個(gè)平面的兩條直線一定平行，可知 D 選項(xiàng)正確.3.（2016 全國(guó) II 14） a3 是兩個(gè)平面,m,n 是兩條直線，有下列四個(gè)命題

15、：1如果 m 丄 n,m 丄 an/ 3 那么 a 丄 32如果 m 丄 a,n/ a 那么 mln.3如果 a/ 3m? a,那么 m / 34_如果 m/ n,a/ 3 那么 m 與 a 所成的角和 n 與 3 所成的角相等. 其中正確的命題有_.（填寫所有正確命題的編號(hào)）對(duì)于，若 m 丄 n,m 丄 a / 3 則 a,3 的位置關(guān)系無(wú)法確定，故錯(cuò)誤;對(duì)于，因?yàn)?n/ a,所以過(guò) 直線 n 作平面丫與平面 a 相交于直線 c,則 n/ c.因?yàn)?m 丄 a 所以 ml c,所以 m 丄 n,故正確; 對(duì)于，由兩個(gè)平面平行的性質(zhì)可知正確；對(duì)于,由線面所成角的定義和等角定理可知其正確,故正確

16、命題的編號(hào)有.新題演練提能刷高分1.（2018 福建廈門期末）若 m,n 是兩條不同的直線，a, 3 是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（ ）A.若 a 丄 3m 丄 3 則 m / aB.若 m / an 丄 m,則 n 丄 aC.若 m/ an/ a,m? 3n? 3 則all3D.若 m / 3 m? a, aA 3=n，則 m / n 答答案 DB解析選項(xiàng) A 中,m 與a的關(guān)系是 m / a 或 m? a,故 A 不正確；選項(xiàng) B 中,n 與 a 的關(guān)系是 n 丄 a 或 n 與 a 相交但不垂直或 n/a 故 B 不正確；選項(xiàng) C 中,a 與 B 之間的關(guān)系是a/ B 或相交，故

17、 C 不正確；選項(xiàng) D 中,由線面平行的性質(zhì)可得正確故選 D.2.（2018 湖北重點(diǎn)高中協(xié)作體期中）已知直線 l,m,平面 0,3 且 I 丄 a,m? 3 下列命題：a/價(jià) I 丄 m;a 丄 3? I / m;I / m?a 丄 3I 丄 m? a/ 3 其中正確的序號(hào)是（）A.B.C.D.答答案 B解析 I 丄 a,a/ 3?1 丄 3 而 m? 3 所以 I 丄 m,對(duì)；I 丄 a,m? 3 a 丄 3 時(shí),I,m 位置關(guān)系不定；I 丄 al / m? m 丄 a 而 m? 3 所以 a 丄 3對(duì)；I 丄 a,m? 31 丄 m 時(shí)，a 3 位置關(guān)系不定.故選 B.3.（2018 廣

18、西南寧期末）設(shè) I,m,n 表示不同的直線，a, 3 丫表示不同的平面，給出下列四個(gè)命題：若 m/ I，且 ml a 則 I 丄 a若 a 丄 3m/ a,n 丄 3 則 m 丄 n;若 a 丄 3 丄 3 則 a/Y如果 ml n,m丄 a,n / 3 貝 U a 丄 3則錯(cuò)誤的命題個(gè)數(shù)為（）A.4B.3C.2D.1答答案 B解析若 m/ I 且 ml a,則 I 丄 a 是正確的，垂直于同一個(gè)平面的直線互相平行；2若 a 丄 3m / a,n 丄 3 則 m 丄 n 是錯(cuò)誤的，當(dāng) m 和 n 平行時(shí)，也可能滿足前邊的條件；3若 a 丄 3 注 3 則allY不對(duì)，垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面

19、可以是交叉的；4如果 mln,m 丄 a,n/ 3 則 a 丄 3 是錯(cuò)誤的，平面 3 和 a 能相交.故答案為 B.4. （2018 廣東汕頭期末）如圖，在三棱錐 A-BCD 中,AC 丄 AB,BC 丄 BD,平面 ABC 丄平面 BCD.AC丄 BD；AD 丄 BC；平面 ABC 丄平面 ABD；平面 ACD 丄平面 ABD.以上結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)有（）A.1B.2C.3D.4答案 C解析 |V平面 ABC 丄平面 BCD,平面 ABC 門平面 BCD=BC ,BC 丄 BD,BD 丄平面 ABC,又 AC?平 面ABC,ABD 丄 AC 故正確.VBD?平面 ABD,A平面 ABD 丄平

20、面 ABC,故正確./ AC 丄 AB,BD 丄 AC,AB ABD=B ,AAC 丄平面 ABD,又 AC?平面 ACD,A平面 ACD 丄平面 ABD，故正確.綜上正確，故選 C.5. （2018 東北三省三校二模）設(shè) m,n 是兩條不同的直線，a,3 是兩個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是（）A.若 a 丄 3m 丄 a,貝 y m/3B. 若 m / an? a,則 m / nC. 若 aA p=m,n / a,n / 3 則 m / nD. 若 a 丄 3 且 aA3=m，點(diǎn) A a 直線 AB 丄 m 則 AB 丄 3答案|C解析若 a 丄 3m 丄 a 則 m/ 3 或 m? 3

21、 故 A 錯(cuò)誤;若 m/ a,n? a,則 m,n 無(wú)交點(diǎn)，即平行或異面，故 B 錯(cuò)誤若 aA3=m ,n /a,n/3 過(guò) n作平面與 a 3 分別交于直線 s,t，貝 Us/ n,t/n,所以 s/t,再根據(jù)線面平行判定定理得 s/ 3 因?yàn)?aA 3=m,s? a 所以 s/ m,即 m/ n,故 C 正確;若 a 丄 3 且 aA 3=m, 點(diǎn) Aa 直線 AB 丄 m,當(dāng) B 在平面 a 內(nèi)時(shí)才有 AB 丄 3 故選 C.6. （2018 遼寧撫順一模）給出下列四個(gè)命題：1如果平面 a 外一條直線 a 與平面 a 內(nèi)一條直線 b 平行，那么 a/ a2過(guò)空間一定點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直；3如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線，那么這條直線與這個(gè)平面垂直；4若兩個(gè)相交平面都垂直于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面的交線