初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題及其答案

1、華師中山附中初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽測(cè)試 初二（1）（2） 姓名： 2011年6月9日 編制：聶少林2011年中山華附“我愛(ài)數(shù)學(xué)初中夏令營(yíng)”選拔賽一、填空題（共14小題，每小題5分，共70分）1若，則的值為 _.2若實(shí)數(shù)a，b滿足，則a的取值范圍是_.3如圖，在四邊形ABCD中，B135°，C120°，AB=，BC=，CD，則AD邊的長(zhǎng)為_(kāi).4在一列數(shù)中，已知，且當(dāng)k2時(shí)，（取整符號(hào)表示不超過(guò)實(shí)數(shù)的最大整數(shù)，例如，），則等于_.5如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，等腰梯形ABCD的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（1，1），B（2，1），C（2，1），D（1，1）y軸上一點(diǎn)P（0，2）繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)180&

2、#176;得點(diǎn)P1，點(diǎn)P1繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)180°得點(diǎn)P2，點(diǎn)P2繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)180°得點(diǎn)P3，點(diǎn)P3繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)180°得點(diǎn)P4，重復(fù)操作依次得到點(diǎn)P1，P2， 則點(diǎn)P2010的坐標(biāo)是 _.6已知非零實(shí)數(shù)a，b 滿足 ，則等于_.7菱形ABCD的邊長(zhǎng)為a，點(diǎn)O是對(duì)角線AC上的一點(diǎn)，且OAa，OBOCOD1，則a等于_.8已知a1，則2a37a22a11 的值等于 9. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，多邊形OABCDE的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）若直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（2，3），且將多邊形OABCDE分割成面

3、積相等的兩部分，則直線l的函數(shù)表達(dá)式是 10如圖，射線AM，BN都垂直于線段AB，點(diǎn)E為AM上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作BE的垂線AC分別交BE，BN于點(diǎn)F，C，過(guò)點(diǎn)C作AM的垂線CD，垂足為D若CDCF，則 11一個(gè)自行車(chē)輪胎，若把它安裝在前輪，則自行車(chē)行駛5000 km后報(bào)廢；若把它安裝在后輪，則自行車(chē)行駛 3000 km后報(bào)廢，行駛一定路程后可以交換前、后輪胎如果交換前、后輪胎，要使一輛自行車(chē)的一對(duì)新輪胎同時(shí)報(bào)廢，那么這輛車(chē)將能行駛 km 12已知線段AB的中點(diǎn)為C，以點(diǎn)A為圓心，AB的長(zhǎng)為半徑作圓，在線段AB的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)D，使得BDAC；再以點(diǎn)D為圓心，DA的長(zhǎng)為半徑作圓，與A分別相交于F，G兩

4、點(diǎn)，連接FG交AB于點(diǎn)H，則的值為 13已知是滿足條件的五個(gè)不同的整數(shù)，若是關(guān)于x的方程的整數(shù)根，則的值為 14如圖，在ABC中，CD是高，CE為的平分線若AC15，BC20，CD12，則CE的長(zhǎng)等于 二、解答題（共3題，每題20分，共60分）15設(shè)實(shí)數(shù)a，b滿足：，求的最小值.16如圖，AB為O的直徑，C為圓上一點(diǎn)，AD平分BAC交O于點(diǎn)D，DEAC交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，F(xiàn)B是O的切線交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.（1）求證：DE是O的切線.（2）若DE = 3，O的半徑為5，求BE的長(zhǎng).17如圖，給定銳角三角形ABC，AD，BE是它的兩條高，過(guò)點(diǎn)作ABC的外接圓的切線，過(guò)點(diǎn)D，E分別作的垂線，垂足

5、分別為F，G試比較線段DF和EG的大小，并證明你的結(jié)論附：中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)普及工作委員會(huì)關(guān)于舉辦“2011我愛(ài)數(shù)學(xué)初中夏令營(yíng)”的通知l 活動(dòng)地點(diǎn)：北京景山學(xué)校遠(yuǎn)洋分校（北京市石景山區(qū)魯谷東街22號(hào)）。l 參賽辦法：每支代表隊(duì)領(lǐng)隊(duì)一人、隊(duì)員三人（隊(duì)員必須是2011年9月1日以后才可能升入高中的學(xué)生）。l 活動(dòng)內(nèi)容：8月10日全天報(bào)到，晚上領(lǐng)隊(duì)會(huì)。8月11日上午進(jìn)行第一試，時(shí)間不超過(guò)兩個(gè)小時(shí)；8月12日上午進(jìn)行第二試，時(shí)間不超過(guò)兩個(gè)小時(shí)。8月13日白天自由活動(dòng)，晚上舉行頒獎(jiǎng)及閉幕式。l 獎(jiǎng)項(xiàng)設(shè)置：個(gè)人獎(jiǎng)（頒發(fā)證書(shū)）：第一試一、二、三等獎(jiǎng)；第二試一、二、三等獎(jiǎng)。團(tuán)體獎(jiǎng)（頒發(fā)獎(jiǎng)杯和獎(jiǎng)狀）：第一試團(tuán)體前六名；

6、第二試團(tuán)體前六名；團(tuán)體總分前六名。l 重要提示：1、每支參賽代表隊(duì)需要交納“夏令營(yíng)活動(dòng)費(fèi)”1500元。2、今年初中夏令營(yíng)與小學(xué)夏令營(yíng)同時(shí)進(jìn)行，故安排一天自由活動(dòng)，以便于專家組閱卷評(píng)獎(jiǎng)。3、參加夏令營(yíng)如食宿需組委會(huì)協(xié)助解決的，請(qǐng)?zhí)崆疤顚?xiě)“食宿安排登記表”。2011年中山華附“我愛(ài)數(shù)學(xué)初中夏令營(yíng)”選拔賽參考答案一、填空題1解：由題設(shè)得2解：因?yàn)閎是實(shí)數(shù)，所以關(guān)于b的一元二次方程0, 解得a或 a43 解：如圖，過(guò)點(diǎn)A，D分別作AE，DF垂直于直線BC，垂足分別為E，F(xiàn)由已知可得BE=AE=，CF，DF2，于是 EF4過(guò)點(diǎn)A作AGDF，垂足為G在RtADG中，根據(jù)勾股定理得AD4 解：由和可得， ，

7、因?yàn)?010=4×502+2，所以=25 解：由已知可以得到，點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為（2，0），（2，）記，其中根據(jù)對(duì)稱關(guān)系，依次可以求得：，令，同樣可以求得，點(diǎn)的坐標(biāo)為（），即（），由于2010=4502+2，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為（2010，）6.解：由題設(shè)知a3，所以，題設(shè)的等式為，于是，從而17. 解：因?yàn)锽OC ABC，所以，即 ，所以， 由，解得8 解：由已知得 (a1)25，所以a22a4，于是2a37a22a122a34a23a22a113a26a1119解：如圖，延長(zhǎng)BC交x軸于點(diǎn)F；連接OB，AFCE，DF，且相交于點(diǎn)N由已知得點(diǎn)M（2，3）是OB，AF的中點(diǎn)，即點(diǎn)M為矩形AB

8、FO的中心，所以直線把矩形ABFO分成面積相等的兩部分又因?yàn)辄c(diǎn)N（5，2）是矩形CDEF的中心，所以，過(guò)點(diǎn)N（5，2）的直線把矩形CDEF分成面積相等的兩部分于是，直線即為所求的直線設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為，則解得 故所求直線的函數(shù)表達(dá)式為10 解：見(jiàn)題圖，設(shè)因?yàn)镽tAFBRtABC，所以 又因?yàn)?FCDCAB，所以 即 ，解得，或（舍去）又RtRt，所以,即=11解：設(shè)每個(gè)新輪胎報(bào)廢時(shí)的總磨損量為k,則安裝在前輪的輪胎每行駛1 km磨損量為,安裝在后輪的輪胎每行駛1km的磨損量為.又設(shè)一對(duì)新輪胎交換位置前走了x km，交換位置后走了y km.分別以一個(gè)輪胎的總磨損量為等量關(guān)系列方程,有 兩式相加

9、，得 ，則 12.解：如圖，延長(zhǎng)AD與D交于點(diǎn)E，連接AF，EF 由題設(shè)知，在FHA和EFA中，所以 RtFHARtEFA， .而，所以.13.解：因?yàn)椋沂俏鍌€(gè)不同的整數(shù)，所有也是五個(gè)不同的整數(shù)又因?yàn)?，所以由，可?4.解：如圖，由勾股定理知AD9，BD16，所以ABADBD25 故由勾股定理逆定理知ACB為直角三角形，且作EFBC，垂足為F設(shè)EFx，由，得CFx，于是BF20x由于EFAC，所以 ，即 ，解得所以15解：由 可得，（6分）所以 ，或 . （8分）（i）當(dāng)時(shí)， ，于是時(shí)，的最小值為，此時(shí)，. （13分）（ii）當(dāng)時(shí)，于是時(shí)，的最小值為，此時(shí)，. （18分）綜上可知，的最小值為. （20分）16解：(1)如圖，連接OD.因?yàn)锳D平分BAC,所以1=2.又因?yàn)镺A=OD,所以1=3.所以2=3.所以O(shè)DAE.因?yàn)镈EAE,所以DEOD.而點(diǎn)D在O上,所以DE是O的切線. （7分）(2)如圖,連接BE與OD交于點(diǎn)H，作OGAE于點(diǎn)G. 則 OG = DE =3， EG= DO=5，所以AG = = 4，AE = 4+5= 9（10分）,因?yàn)镋AOD， AO=OB，所以HO=，HD = 5-=，故HE = ,BE = （20分