7.3二元一次不等式(組)及簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題

1、7.3二元一次不等式(組)與簡(jiǎn)單的 線性規(guī)劃問題基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)d知識(shí)梳理要點(diǎn)講解深屋突破1.二元一次不等式表示的平面區(qū)域(1)一般地，二兀一次不等式 Ax + By+ C0 在平面直角坐標(biāo)系中表示直線Ax+ By + C = 0 某一一側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域我們把直線畫成虛線以表示區(qū)域不包括邊界直線當(dāng)我們?cè)谧鴺?biāo) 系中畫不等式Ax + By+ O0 所表示的平面區(qū)域時(shí)，此區(qū)域應(yīng)包括邊界直線，則把邊界直線 畫成實(shí)線.由于對(duì)直線 Ax + By+ C= 0 同一側(cè)的所有點(diǎn)(x, y)，把它的坐標(biāo)(x, y)代入 Ax+ By+ C,所 得的符號(hào)都相同，所以只需在此直線的同一側(cè)取一個(gè)特殊點(diǎn)(xo,

2、yo)作為測(cè)試點(diǎn)，由 Axo+ Byo+ C 的符號(hào)即可判斷 Ax+ By+ C0 表示的直線是 Ax+ By+ C= 0 哪一側(cè)的平面區(qū)域.2 .線性規(guī)劃相關(guān)概念名稱意義約束條件由變量 x, y 組成的一次不等式線性約束條件由 x, y 的一次不等式(或方程)組成的不等式組目標(biāo)函數(shù)欲求最大值或最小值的函數(shù)線性目標(biāo)函數(shù)關(guān)于 x, y 的一次解析式可行解滿足線性約束條件的解可行域所有可行解組成的集合最優(yōu)解使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解線性規(guī)劃問題在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問題3重要結(jié)論(1)畫二元一次不等式表示的平面區(qū)域的直線定界，特殊點(diǎn)定域：直線定界：不等式中無等號(hào)時(shí)

3、直線畫成虛線，有等號(hào)時(shí)直線畫成實(shí)線;特殊點(diǎn)定域：若直線不過原點(diǎn)，特殊點(diǎn)常選原點(diǎn)；若直線過原點(diǎn)，則特殊點(diǎn)常選取(0,1)或(1,0)來驗(yàn)證.(2) 利用“同號(hào)上，異號(hào)下”判斷二元一次不等式表示的平面區(qū)域：對(duì)于 Ax+ By+ C0 或 Ax+ By + C0 時(shí)，區(qū)域?yàn)橹本€ Ax+ By + C = 0 的上方；2當(dāng) B(Ax+ By+ C)0 表示的平面區(qū)域一定在直線(2)線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解可能是不唯一的.(V)目標(biāo)函數(shù) z= ax+ by(b 0)中，z 的幾何意義是直線不等式 x2 y2 0,答案x 2y + 2 0解析兩直線方程分別為 x 2y+ 2= 0 與 x+ y 1 = 0.由

4、(0,0)點(diǎn)在直線 x 2y+ 2 = 0 右下方可知 x 2y+ 20, 又(0,0)點(diǎn)在直線 x+ y 1= 0 左下方可知 x+ y1 0,x+ y 10,即為所表示的可行域.x 2y+ 2 0 x 3y + 6 0Ax+ By+ C = 0 的上方.（x）ax+ by z= 0 在 y 軸上的截距.(xCk j匹pZ1答案解析用特殊點(diǎn)代入，比如(0,0)，容易判斷為 .xy 1 ,3 .若實(shí)數(shù) x, y 滿足不等式組 x+y 1,則該約束條件所圍成的平面區(qū)域的面積是3xyw3,答案 2解析因?yàn)橹本€ x y= 1 與 x+ y= 1 互相垂直,所以如圖所示的可行域?yàn)橹苯侨切?，易?A(

5、0,1), B(1,0), C(2,3),故 AB = -.2, AC= 22,1其面積為 2XABXAC= 2.x y 0,4 .若 x, y 滿足 x+ y 0,答案 211解析 可行域如圖所示.目標(biāo)函數(shù)化為y 2x +玄，11當(dāng)直線y=+ 2Z 過點(diǎn) A(0,1)時(shí)，z 取得最大值 2.5.投資生產(chǎn) A 產(chǎn)品時(shí)，每生產(chǎn) 100 噸需要資金 200 萬元，需場(chǎng)地 200 平方米；投資生產(chǎn) B 產(chǎn)品時(shí)，每生產(chǎn) 100 噸需要資金 300 萬元，需場(chǎng)地 100 平方米.現(xiàn)某單位可使用資金 1 400 萬元，場(chǎng)地 900 平方米，則上述要求可用不等式組表示為 _ (用 x, y 分別表示生產(chǎn) A

6、, B 產(chǎn)品的噸數(shù)，x 和 y 的單位是百噸).200 x+ 300y 1 400,200 x+ 100y 0,y 0解析 用表格列出各數(shù)據(jù)AB總數(shù)產(chǎn)品噸數(shù)xy資金200 x300y1 400場(chǎng)地200 x100y900所以不難看出，x0, y0,200 x+ 300yW1 400,200 x+ 100yW900.題型分類深度剖析題型一二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域命題點(diǎn) 1 不含參數(shù)的平面區(qū)域問題例 1(1)不等式(x 2y+ 1)(x+ y 3) 0,答案(1)x 2y+ 1 0, 解析(1)(x 2y+ 1)(x+ y 3)w0?x+y3w0,x2y+1w0,或畫出平面區(qū)域后，只有

7、符合題意.x+ y 3 0.(2)由題意得不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分,184(2)不等式組x+3y4,3x+yw4所表示的平面區(qū)域的面積等于命題點(diǎn) 2 含參數(shù)的平面區(qū)域問題C(0,4)，則 ABC 的面積為 2X1X3= 3.x 0,一4例 2 若不等式組 x+ 3y4,所表示的平面區(qū)域被直線 y= kx+ 3 分為面積相等的兩部分，3x+yw4則 k 的值是_ .答案 3解析 不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示.444由于直線 y= kx+ 3 過定點(diǎn) 0, 3 因此只有直線過 AB 中點(diǎn)時(shí)，直線 y= kx+ 3 能平分平面區(qū)域.1 5因?yàn)?A(1,1), B(0,4)，所以 AB 中

8、點(diǎn) D 2，2 當(dāng) y=心+ 3 過點(diǎn) 21 時(shí)，|=2+3,所以 k= 7.思維升華(1)求平面區(qū)域的面積：1首先畫出不等式組表示的平面區(qū)域，若不能直接畫出，應(yīng)利用題目的已知條件轉(zhuǎn)化為不等式組問題，從而再作出平面區(qū)域；2對(duì)平面區(qū)域進(jìn)行分析，若為三角形應(yīng)確定底與高，若為規(guī)則的四邊形(如平行四邊形或梯形)，可利用面積公式直接求解，若為不規(guī)則四邊形，可分割成幾個(gè)三角形分別求解再求和即可.(2)利用幾何意義求解的平面區(qū)域問題，也應(yīng)作出平面圖形，利用數(shù)形結(jié)合的方法去求解.x 0，銀療訓(xùn)練1(1)不等式組 x+ y x+ 1共點(diǎn)，則實(shí)數(shù) k 的取值范圍為_ .x 1，已知約束條件X+ y-4 0，表示面

9、積為 1 的直角三角形區(qū)域，則實(shí)數(shù) k 的值為kx-y3,即 k 3, +1 - 0由于x= 1 與x+y4 =當(dāng) x= 1 與 kx y= 0 垂直時(shí)，k= 0,檢驗(yàn)不符合要求.題型二求目標(biāo)函數(shù)的最值問題命題點(diǎn) 1 求線性目標(biāo)函數(shù)的最值ywx,例 3 (2014 廣東)若變量 x, y 滿足約束條件x+ y 1,另 U 為 m 和 n,貝 U m n =_ .答案 6解析 畫出可行域，如圖陰影部分所示.由 z= 2x+ y，得 y= 2x+ 乙y= x,y= 1,得x=1,y= 1,-A( 1 , 1).x+y=1,y= 1,得x=2,y= 1,命題點(diǎn) 2 求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值x-y+1w

10、0,例 4 實(shí)數(shù) x, y 滿足 x0,yw2.(1)若 z= x,求 z 的最大值和最小值，并求z 的取值范圍;x(2)若 z= x2+ y2,求 z 的最大值與最小值，并求z 的取值范x-y+1w0,解由 x0,作出可行域,yw2,如圖中陰影部分所示.(1)z= 表示可行域內(nèi)任一點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)連線的斜率，X因此 x 的范圍為直線 0B 的斜率到直線 OA 的斜率(直線 OA 的斜率不存在，即 Zmax不存在).x(2)z= x2+ y2表示可行域內(nèi)的任意一點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)之間距離的平方. 因此 x2+ y2的值最小為 0A2(取不到)，最大值為 0B2.x- y+ 1 = 0,由 x= 0,得

11、A1), 0A2= ( 02+ 12)2= 1, 0B2= ( 12+ 22)2= 5, z 的取值范圍是(1,5.引申探究1 .若 z= 口，求 z 的取值范圍.x- 1解 z=y可以看作過點(diǎn) P(1,1)及(x, y)兩點(diǎn)的直線的斜率.x 1圍由x-y+1=0,y= 2,得 B(1,2),2koB= 1= 2,即Zmin=2 ,I Z 的取值范圍是 2,+ a). z 的取值范圍是(一a,0).2.若 z= x2+ y2- 2x 2y+ 3.求 z 的最大值、最小值.解 z= x2+ y2 2x 2y+ 3=(x 1)2+ (y 1)2+ 1,而(x 1)2+ (y 1)2表示點(diǎn) P(1,

12、1)與 Q(X, y)的距離的平方,(PQ2)max= (0 1)2+ (2 1 尸=2,命題點(diǎn) 3 求線性規(guī)劃的參數(shù)x 1,例 5 已知 a0 ,x,y 滿足約束條件 x+ y a x 3 ,1答案 2解析作出不等式組表示的可行域，如圖(陰影部分).易知直線 z= 2x+ y 過交點(diǎn) A 時(shí)，z 取最小值,x= 1,x= 1 ,由得y= a x 3 , y= 2a, ” 1 -Zmin= 2 2a = 1,解得 a = 2*思維升華(1)先準(zhǔn)確作出可行域，再借助目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求目標(biāo)函數(shù)的最值.當(dāng)目標(biāo)函數(shù)是非線性的函數(shù)時(shí)，常利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義來解題，常見代數(shù)式的幾何意義有：(PQ2)m

13、in=|1 1 + 1|2)2-Zmax= 2+ 1 = 3,Zmin= 2+ 1 = |.1一.x2+ y2表示點(diǎn)(x, y)與原點(diǎn)(0,0)的距離，x a2+ y b2表示點(diǎn)(x, y)與點(diǎn)(a, b)的距離;yy b2丫表示點(diǎn)(x, y)與原點(diǎn)(0,0)連線的斜率，表示點(diǎn)(x, y)與點(diǎn)(a, b)連線的斜率.xx a(3)當(dāng)目標(biāo)函數(shù)中含有參數(shù)時(shí)，要根據(jù)臨界位置確定參數(shù)所滿足條件.ywx+1,3懾 SS 訓(xùn)給 2(1)在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，不等式組 y 0,所表示的平面區(qū)域的面積為 2,則0wx 0.的值為_ .答案(1)1(2)2 或一 1ywx+1,解析(1)不等式組y0,0wxwt所表

14、示的平面區(qū)域如圖中陰影部分y嚴(yán)y = x+ 1,h oA飛所示. 由解得交點(diǎn) B(t, t + 1)，在 y= x + 1 中，令 x= 0 x= t,1ItI1xt 3得 y= 1,即直線 y = x+ 1 與 y 軸的交點(diǎn)為 C(0,1)，由平面區(qū)域的面積 S=匕|，得t2+ 2t 3= 0,解得 t = 1 或 t=- 3(不合題意，舍去).如圖，由 y= ax+ z 知 z 的幾何意義是直線在 y 軸上的截距，故當(dāng) a0 時(shí)，要使 z= y- ax 取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則 a= 2;當(dāng) a 900,x, y0, x, y N.P(5,作可行域如圖所示，可行域的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為Q

15、(7,14), R(15,6).由圖可知，當(dāng)直線 z= 1 600 x+ 2 400y 經(jīng)過可行域的點(diǎn) P 時(shí)，直線 z= 1 600 x+ 2 400y 在 y 軸 上的截距 昴最小，即 z 取得最小值.故應(yīng)配備 A 型車 5 輛、B 型車 12 輛，可以滿足公司從甲地去乙地的營運(yùn)成本最小.思維升華解線性規(guī)劃應(yīng)用問題的一般步驟：(1) 分析題意，設(shè)出未知量；(2) 列出線性約束條件和目標(biāo)函數(shù);作出可行域并利用數(shù)形結(jié)合求解;作答.最蹤訓(xùn)練 3(2015 陜西改編)某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品均需用噸每種產(chǎn)品所需原料及每天原料的可用限額如表所示，如果生產(chǎn)別為 3 萬元、4 萬元，則該企業(yè)每天可獲得最

16、大利潤為 _ 萬元.甲乙原料限額A（噸）3212B（噸）128答案 183x+2yw12,x+2yw8,解析 設(shè)每天甲、乙的產(chǎn)量分別為x 噸，y 噸，由已知可得x 0,y 0,目標(biāo)函數(shù) z= 3x+ 4y,線性約束條件表示的可行域如圖陰影部分所示:x+ 2y= 8,由得 A（2,3）.3x+ 2y = 12,則 Zmax= 3X2 + 4X3= 18（萬兀）.A, B 兩種原料，已知生產(chǎn) 11 噸甲、乙產(chǎn)品可獲利潤分可得目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)A 處取到最大值.易錯(cuò)警示系列&含參數(shù)的線性規(guī)劃問題的易錯(cuò)點(diǎn)y 1,典例 已知實(shí)數(shù) x, y 滿足 yw2x 1, 如果目標(biāo)函數(shù) z= x y 的最小值為一

17、 1,貝 U 實(shí)數(shù) m=x+ y m,易錯(cuò)分析題目給出的區(qū)域邊界 “兩靜一動(dòng)”，可先畫出已知邊界表示的區(qū)域，分析動(dòng)直線的位置時(shí)容易出錯(cuò)，沒有抓住直線 x+ y= m 和直線 y= x 平行這個(gè)特點(diǎn)；另外在尋找最優(yōu)點(diǎn) 時(shí)也容易找錯(cuò)區(qū)域的頂點(diǎn).解析 顯然，當(dāng) m 1,m+ 1 2m 1其頂點(diǎn)為 A(1,1), B(m 1,1), C(飛 ,).由圖可知，當(dāng)直線 y= x z 經(jīng)過點(diǎn) C 時(shí)，z 取得最小值,m+ 1 2m12 m最小值為-y-丁=一由題意，得一 3 = 1,解得 m = 5.3答案 5溫馨提醒(1)當(dāng)約束條件含有參數(shù)時(shí)，要注意根據(jù)題目條件，畫出符合條件的可行域.本題因含有變化的參數(shù)

18、，可能導(dǎo)致可行域畫不出來.(2)應(yīng)注意直線 y= x z 經(jīng)過的特殊點(diǎn).-II 思想方法感悟提高-方法與技巧1 .平面區(qū)域的畫法：線定界、點(diǎn)定域(注意實(shí)虛線).2 .求最值：求二元一次函數(shù)z= ax+ by (ab 0)的最值，將函數(shù) z= ax+ by 轉(zhuǎn)化為直線的斜截式：y= ax+彳，通過求直線的截距 z 的最值間接求出 z 的最值.最優(yōu)解在頂點(diǎn)或邊界取得.故必有m2,yw2x 1,所表示的平面區(qū)域如圖x+ywm所示,3 .解線性規(guī)劃應(yīng)用題，可先找出各變量之間的關(guān)系，最好列成表格，然后用字母表示變量,列出線性約束條件；寫出要研究的函數(shù)，轉(zhuǎn)化成線性規(guī)劃問題.4 利用線性規(guī)劃的思想結(jié)合代數(shù)式

19、的幾何意義可以解決一些非線性規(guī)劃問題.失誤與防范1 畫出平面區(qū)域避免失誤的重要方法就是首先使二元一次不等式標(biāo)準(zhǔn)化.2 .在通過求直線的截距 的最值間接求出 z 的最值時(shí)，要注意：當(dāng) b0 時(shí)，截距取最大值時(shí)，bbz 也取最大值；截距乍取最小值時(shí)，z 也取最小值；當(dāng) b 0,A 時(shí)，目標(biāo)函數(shù) z= x+ 6y 取得最大值，易得 A(0,3)，所以 zmax= 0+ 6X3= 18.1.直線 2x+ y 10= 0 與不等式組y0,xy2,4x+3yW20表示的平面區(qū)域的公共點(diǎn)有 _ 個(gè).答案 1解析直線直線由不等式組畫出平面區(qū)域如圖(陰影部分).42x+ y 10= 0 恰過點(diǎn) A(5,0),且

20、其斜率 k= 2 0,2 .設(shè)變量 x, y 滿足約束條件x y+ 30,則目標(biāo)函數(shù) z= x2x+y3W0,+ 6y 的最大值為_答案 18解析 畫出約束條件的可行域如圖陰影，作直線I: x+ 6y = 0,平移直線 I 可知，直線 I 過點(diǎn)Zr+-|(=0 x+y20,3 .設(shè)變量 x, y 滿足約束條件x y 2 1 ,答案 3解析 由線性約束條件畫出可行域（如圖所示）.111 11由 z= x+ 2y，得 y= 2x+ gz, gz 的幾何意義是直線 y= ?x+ z 在 y 軸上的截距，要使 z 最1小，需使 gz 最小，易知當(dāng)直線1 1y= gx+2過點(diǎn) A（1,1）時(shí)，z 最小，

21、最小值為 3.x y 0，2x+yw2，4 .若不等式組y 0，x+ y 0，解析不等式組 2x+ y 0J( (+2=04則 a 取值范圍是 0va壬已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品 1 桶需耗 A 原料 1 千克、B 原料 2 千克;生產(chǎn)乙產(chǎn)品 1 桶需耗 A 原料 2 千克、B 原料 1 千克.每桶甲產(chǎn)品的利潤是300 元，每桶乙產(chǎn)品的利潤是 400 元公司在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計(jì)劃中，要求每天消耗 千克通過合理安排生產(chǎn)計(jì)劃，從每天生產(chǎn)的甲、乙兩種產(chǎn)品中，公司共可獲得的最大利潤元.答案 2 800解析 設(shè)每天生產(chǎn)甲種產(chǎn)品 x 桶，乙種產(chǎn)品 y 桶,x 0, x N ,y0, y N, 則根據(jù)題意得 x、y 的

22、約束條件為x+2yw12,2x+yw12.設(shè)獲利 z 元，則 z= 300 x+ 400y.畫出可行域如圖.畫直線 l: 300 x+ 400y= 0,即 3x+ 4y= 0.平移直線 I，從圖中可知，當(dāng)直線過點(diǎn)M 時(shí),目標(biāo)函數(shù)取得最大值.x+ 2y= 12,x= 4,由解得2x+ y= 12,y= 4,即 M 的坐標(biāo)為(4,4),2求得 A, B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為3,5.某公司生產(chǎn)甲、乙兩種桶裝產(chǎn)品.A、 B 原料都不個(gè)三角形,1. I Zmax= 300X4 + 400X4= 2 800（元）.x+y3w0,6 .若函數(shù) y= 2x圖象上存在點(diǎn)(x, y)滿足約束條件x 2y 3w0,貝

23、U 實(shí)數(shù) m 的最大值為x m,答案 1解析 在同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y= 2x的圖象及乂+y3W0,所表示的平面區(qū)域，如x 2y 30,y+ 17 .已知實(shí)數(shù) x, y 滿足約束條件 4x+ 3yw4,貝V w=的最小值是 _xy 0,答案 1解析 作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖,P(x, y)與定點(diǎn) A(0, 1)所在直線的斜率,由圖象可知當(dāng) P 位于點(diǎn) D(1,0)時(shí)，直線 AP 的斜率最小，此時(shí)的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)3= +1的最小值為4J+3V=4畫出可行域可知，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z= 3x+ 6y 過點(diǎn) P(1,2)時(shí)，z 取到最小值 15.x 2y + 1 0,8 .已知實(shí)數(shù) x, y

24、 滿足 x 0,解析5即 z 的取值范圍是5, 5).9.鐵礦石 A 和 B 的含鐵率 a,冶煉每萬噸鐵礦石的 C02的排放量 b 及每萬噸鐵礦石的價(jià)格 c 如表：解析 設(shè)購買鐵礦石 A、B 分別為 x 萬噸，y 萬噸，購買鐵礦石的費(fèi)用y為 z(百萬兀)，則210.5x + 0.7y 1.9,3-2-10I 23 4 5 Xx+0.5yW2,-2 -Jx 0,-4y 0.目標(biāo)函數(shù) z= 3x+ 6y,0.5x+ 0.7y= 1.9,x= 1,由得記 P(1,2),x+ 0.5y= 2,y= 2.答案-5，5)畫出不等式組所表示的區(qū)域，如圖中陰影部分所示,j-2y+1=即可知答案 15則目標(biāo)函數(shù)

25、 z= x 2y 在點(diǎn)（1,0）處取得最大值 1，在點(diǎn)（1,1）處取得最小值3, - a = 1, b= 3,從而可知方程 x2 kx+ 1 = 0 在區(qū)間(3,1)上有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)解.令 f(x) = x2 kx+ 1,f 3 0 ,f 1 0,k 3203x y 60, b0)的最大x 0,值為 10,則 a2+ b2的最小值為 _ .答案 25解析因?yàn)?a0, b0,所以由可行域得，如圖，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過點(diǎn)（4,6）時(shí) z 取最大值， 4a+ 6b = 10.a2+ b2的幾何意義是直線 4a + 6b= 10 上任意一點(diǎn)到點(diǎn)（0,0）的距離的平方，那么其最小值是點(diǎn)25（0,0）到直線 4a + 6b = 10 距離的平方，則 a2+ b2的最小值是B 組專項(xiàng)能力提升（時(shí)間：20 分鐘）x+ 2y 1,11.已知變量 x, y 滿足約束條件 x yw1, 若 z= x 2y 的最大值與最小