第二章隨機變量的分布

1、12( ),( ),( )( ).d,xFF xf xxf xxf txtf 可可積積連連續(xù)續(xù)型型隨隨機機變變?nèi)缛绻麑τ谟陔S隨機機變變量量的的分分布布函函數(shù)數(shù)存存在在函函數(shù)數(shù)使使對對于于任任意意實實數(shù)數(shù)有有 則則稱稱為為其其中中稱稱為為的的簡簡稱稱記記為為 非非負(fù)負(fù)概概率率密密度度函函數(shù)數(shù)概概率率度度量量密密三、連續(xù)型隨機變量的概率密度三、連續(xù)型隨機變量的概率密度2.3.定義定義性質(zhì)：性質(zhì)：; 0)(1 xf1)(2 dxxf內(nèi)容復(fù)習(xí)內(nèi)容復(fù)習(xí)33 連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)F(x)一定連續(xù)，且一定連續(xù)，且)()()(的的連連續(xù)續(xù)點點處處在在xfxfxF 4 對任何對任

2、何a,b(a3 .152 YP.2720 因而有因而有設(shè)設(shè)Y 表示表示3次獨立觀測中觀測值大于次獨立觀測中觀測值大于3的次數(shù)的次數(shù),則則23,.3YB 2 22 23 322221 13333C C 30303 33 322221 13333C C3)( XPAP由由于于5312d.33x ., 0, 52,31)(其其他他xxf 本例是離散型分布與連續(xù)型分布的綜合題。外層是本例是離散型分布與連續(xù)型分布的綜合題。外層是二項分布二項分布，里層是里層是均勻分布均勻分布。 解這類題的一般方法是：先確定解這類題的一般方法是：先確定“框架框架”，再求有關(guān)參數(shù)，再求有關(guān)參數(shù)，最后代入計算所求概率。最后代入

3、計算所求概率。16 正態(tài)分布有極其廣泛的實際背景正態(tài)分布有極其廣泛的實際背景, 例如測量例如測量誤差誤差, 人的生理特征尺寸如身高、體重等人的生理特征尺寸如身高、體重等 ,正常正常情況下生產(chǎn)的產(chǎn)品尺寸情況下生產(chǎn)的產(chǎn)品尺寸:直徑、長度、重量高度直徑、長度、重量高度,炮彈的彈落點的分布等炮彈的彈落點的分布等, 都服從或近似服從正態(tài)都服從或近似服從正態(tài)分布分布.可以說可以說,正態(tài)分布是自然界和社會現(xiàn)象中最正態(tài)分布是自然界和社會現(xiàn)象中最為常見的一種分布為常見的一種分布, 一個變量如果受到大量微小一個變量如果受到大量微小的、獨立的隨機因素的影響的、獨立的隨機因素的影響, 那么這個變量一般那么這個變量一般

4、是一個正態(tài)隨機變量是一個正態(tài)隨機變量.正態(tài)分布是概率論中最重要的分布正態(tài)分布是概率論中最重要的分布4. 正態(tài)分布正態(tài)分布(或高斯分布或高斯分布)172222() 1 ( )e2 , (0),( ,),.x f xx N 定定義義設(shè)設(shè)連連續(xù)續(xù)型型隨隨機機變變量量 的的概概率率密密度度為為其其中中為為常常數(shù)數(shù) 則則稱稱 服服從從參參數(shù)數(shù)為為的的正正態(tài)態(tài)分分布布或或高高為為斯斯分分布布 記記正態(tài)分布的定義正態(tài)分布的定義18正態(tài)概率密度函數(shù)的幾何特征正態(tài)概率密度函數(shù)的幾何特征;)1(對稱對稱曲線關(guān)于曲線關(guān)于x ;21)(,)2(xfx取取得得最最大大值值時時當(dāng)當(dāng) ; 0)(,)3( xfx時時當(dāng)當(dāng);)

5、4(處處有有拐拐點點曲曲線線在在x 2() 221( )e2x f x 19;,)(,)6(軸作平移變換軸作平移變換著著只是沿只是沿圖形的形狀不變圖形的形狀不變的大小時的大小時改變改變當(dāng)固定當(dāng)固定xxf;)5(軸為漸近線軸為漸近線曲線以曲線以 x2() 221( )e2x f x 20.,)(,)7(圖形越矮越胖圖形越矮越胖越大越大圖形越高越瘦圖形越高越瘦越小越小而形狀在改變而形狀在改變不變不變圖形的對稱軸圖形的對稱軸的大小時的大小時改變改變當(dāng)固定當(dāng)固定xf2() 221( )e2x f x 21正態(tài)分布的分布函數(shù)正態(tài)分布的分布函數(shù)txFxtde21)(222)( 2() 221( )e2x

6、f x 22下面是我們用某大學(xué)大學(xué)生的身高的數(shù)據(jù)畫下面是我們用某大學(xué)大學(xué)生的身高的數(shù)據(jù)畫出的頻率直方圖。出的頻率直方圖。紅線紅線是擬是擬合的正態(tài)合的正態(tài)密度曲線密度曲線可見，某大學(xué)大學(xué)生的身高應(yīng)服從正態(tài)分布。可見，某大學(xué)大學(xué)生的身高應(yīng)服從正態(tài)分布。23人的身高高低不等，但中等身材的占大多數(shù)，特人的身高高低不等，但中等身材的占大多數(shù)，特高和特矮的只是少數(shù)，而且較高和較矮的人數(shù)大高和特矮的只是少數(shù)，而且較高和較矮的人數(shù)大致相近，致相近，這從一個方面反映了服從正態(tài)分布的隨這從一個方面反映了服從正態(tài)分布的隨機變量的特點機變量的特點。24正態(tài)分布下的概率計算正態(tài)分布下的概率計算22() 21( )ed2

7、t xF xt xXP ? 原函數(shù)不是原函數(shù)不是初等函數(shù)初等函數(shù)方法一方法一:利用數(shù)學(xué)軟件計算利用數(shù)學(xué)軟件計算方法二方法二:轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布查表計算轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布查表計算25).1, 0(,1, 0),(2NN記記為為態(tài)態(tài)分分布布的的正正態(tài)態(tài)分分布布稱稱為為標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正正這這樣樣時時中中的的當(dāng)當(dāng)正正態(tài)態(tài)分分布布 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度表示為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度表示為,e21)(22 xxx 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)表示為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)表示為.,de21)(22 xtxxtx)(x 26(0,1),0.250.84.NP 已已知知求求解解0.250.84P (

8、0.84)(0.25) 0.79950.5987 例例5 0.2008 . P253附表二附表二27例例6 證明證明()1( ). (0)xxx xxxxde21)(22 221ed2txt 221ed2tt 221ed2txt 1( )x 證明證明xx ()x 1( )x tx 2( )1. (0)Pxxx 28(0,1), 0.210.34.NP 已已知知求求例例7 解解 0.210.34P (0.34)( 0.21) 0.63310.58321 0.2163 (0.34)(1(0.21) (0.34)(0.21)1 查附表二查附表二課堂練習(xí)課堂練習(xí) 設(shè)設(shè) N(0，1 )，求，求(1)1.

9、27; (2)1.27; (3)|1.27.PPP (1.27)0.898 1(1.27)0.102 2 (1.27)10.796 29標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的常用結(jié)果標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的常用結(jié)果5 . 0)0( )(1)(xx 若若 N(0，1 )，則，則)0(1)(2| xxxP )(1)(xx 302( ,),(0,1).N N 若若則則引引理理證明證明 的的分分布布函函數(shù)數(shù)為為Px Px Px ,de21222)( xtt得得令令,ut Px xuude2122),(x (0,1).N 故故2( ,),()?N P ab 問問題題：若若如如何何求求 312( ,),(0,1).N N 若若則則引引理理

10、2(,), ()N xFx 定定 理理若若則則的的 分分 布布 函函 數(shù)數(shù)證明證明 ( )()F xPx (0,1).N ()Px ()xP ()x 標(biāo)準(zhǔn)化標(biāo)準(zhǔn)化 (將將一般正態(tài)分布一般正態(tài)分布化為化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布） 2(,), ()N baP ab 推推論論若若則則32例例8( 1,4), (1) (2.44), (2) (2.8),XNP XP X 設(shè)設(shè)求求 (1) (2.44)P X 解解： ( )xF x (2.44)F 2.44( 1) ()2 (1.72) 0.9573 查附表二查附表二 (2) (2.8)P X (2.82.8)P XX 或或(2.8)(2.8)P X

11、P X 1(2.8)(2.8)P XP X 1(2.8)( 2.8)FF 1(1.9)( 0.9) 查附表二查附表二1(1.9)1(0.9) 0.2128 )()(aFbFbaP 33則則且已知且已知,3413. 021), 1(. 12 PN; 5 . 0 P);(10不不查查表表 P);(0不查表不查表 P. 12010.34130.15871587. 03413. 05 . 01010 PPP11,118413.0)1(3413.0)0()12()1()2(21 FFP例例934 例例10 公共汽車車門的高度是按男子與車門公共汽車車門的高度是按男子與車門頂頭碰頭機會在頂頭碰頭機會在0.0

12、1以下來設(shè)計的以下來設(shè)計的. .設(shè)男子設(shè)男子身高身高XN( (170, ,62),),問車門高度應(yīng)如何確定問車門高度應(yīng)如何確定? ? 解解: : 設(shè)車門高度為設(shè)車門高度為h cm, ,按設(shè)計要求按設(shè)計要求P(X h) 0.01或或 P(X h) 0.99，下面我們來求滿足上式的最小的下面我們來求滿足上式的最小的 h. .35因為因為XN( (170, ,62),),) 1 , 0(6170NX )6170(h故故 P(X0.996170h所以所以 2.33, ,即即 h 170+13.98 184設(shè)計車門高度為設(shè)計車門高度為184厘米時，可使厘米時，可使男子與車門碰頭男子與車門碰頭機會不超過機

13、會不超過0.01. .P(X3|3 的值。的值。如在質(zhì)量控制中，常用標(biāo)準(zhǔn)指標(biāo)值如在質(zhì)量控制中，常用標(biāo)準(zhǔn)指標(biāo)值 3 3 作兩條線，作兩條線，當(dāng)生產(chǎn)過程的指標(biāo)觀察值落在兩線之外時發(fā)出警當(dāng)生產(chǎn)過程的指標(biāo)觀察值落在兩線之外時發(fā)出警報，表明生產(chǎn)出現(xiàn)異常。報，表明生產(chǎn)出現(xiàn)異常。39標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上 分位點分位點u 設(shè)設(shè) X N (0，1) ，0 1，稱滿足稱滿足uP X 的點的點 u 為為X的的上上 分位點分位點。 常用的幾個數(shù)據(jù)常用的幾個數(shù)據(jù)0.05u0.025uu 0.10.20.30.4u1- = -u 1.645 1.960 u1- = -u 0.95u0.051.645u 0.9

14、75u0.0251.96u 40標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的雙側(cè)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的雙側(cè)分分 位點位點u /2 設(shè)設(shè) X N (0，1) ，0 1，稱滿足稱滿足2XuP 的點的點 u /2為為X的的雙側(cè)雙側(cè) 分位點分位點。 u /2 /20.10.20.30.4 /2-u /20.1 0.052uu 1.645 0.05 1.960 0.0252uu 4142一元隨機變量及其分布一元隨機變量及其分布多元隨機變量及其分多元隨機變量及其分布布由于從二元推廣到多元一般無實質(zhì)性的困難，由于從二元推廣到多元一般無實質(zhì)性的困難，我們重點討論我們重點討論二元隨機變量二元隨機變量。43 到現(xiàn)在為止，我們只討論了一維到現(xiàn)在為止，我

15、們只討論了一維r.v及其分布。但及其分布。但有些隨機現(xiàn)象用一個隨機變量來描述還不夠，而有些隨機現(xiàn)象用一個隨機變量來描述還不夠，而需要用幾個隨機變量來描述。需要用幾個隨機變量來描述。在打靶時，命中點的位置由一對在打靶時，命中點的位置由一對r.v（兩個坐標(biāo)）確定。（兩個坐標(biāo)）確定。飛機的重心在空中的位置由三飛機的重心在空中的位置由三個個r.v （三個坐標(biāo)）確定等等。（三個坐標(biāo)）確定等等。(,)(X,Y,Z)44二元隨機變量二元隨機變量定義定義 設(shè)隨機試驗設(shè)隨機試驗E的樣本空間中的樣本空間中。= (e)和和=(e)是定義在是定義在上的隨機變量，由它們構(gòu)成的向上的隨機變量，由它們構(gòu)成的向量量(,)，稱

16、為，稱為二元隨機變（向）量二元隨機變（向）量。 二元隨機變量二元隨機變量(,)的性質(zhì)不僅與的性質(zhì)不僅與及及的性質(zhì)有關(guān)的性質(zhì)有關(guān)，而且還依賴于，而且還依賴于和和的相互關(guān)系，因此必須把的相互關(guān)系，因此必須把(,)作為一個整體加以研究。作為一個整體加以研究。研究方法與一元類似，用研究方法與一元類似，用分布函數(shù)、分布律、分布函數(shù)、分布律、或或概率密度概率密度來描述其統(tǒng)計規(guī)律。來描述其統(tǒng)計規(guī)律。45 ( )F xP Xx x X的分布函數(shù)的分布函數(shù)一元隨機變量一元隨機變量X一、二元隨機變量的分布函數(shù)一、二元隨機變量的分布函數(shù)設(shè)設(shè)(,) 是二元隨機變量是二元隨機變量(,)， x, y R( , )() (

17、)F x yPxy ,Pxy , x y ( , ), ),(.F x y 二二元元隨隨機機變變量量的的分分布布函函數(shù)數(shù)和和的的稱稱為為或或稱稱為為聯(lián)聯(lián)合合分分隨隨變變量量布布函函數(shù)數(shù)機機46xoy),(yx x ( , ),F x yPxy 如果把如果把 (,) 看成平面上看成平面上隨機點的坐標(biāo)。隨機點的坐標(biāo)。聯(lián)合分布函數(shù)的幾何意義聯(lián)合分布函數(shù)的幾何意義,y 取定取定 x, y R，F(xiàn)(x, y) 就就是點是點 (,) 落在平面上的落在平面上的以以(x, y)為頂點而位于該為頂點而位于該點左下方的無限矩形區(qū)點左下方的無限矩形區(qū)域內(nèi)的概率。如右圖。域內(nèi)的概率。如右圖。47由上面的幾何解釋由上面

18、的幾何解釋, ,易見易見: :隨機點隨機點(,)落在矩形區(qū)域落在矩形區(qū)域: : x1 x2, y1 y2內(nèi)的概率內(nèi)的概率 Px1 x2, y1 y2 =F(x2, y2)-F(x2, y1)- F(x1, y2)+F(x1, y1)J 說明說明(x2, y1)x(x2, y2)(x1, y2)(x1, y1)48o21212( , ),(, )(, ),F x yxyxxF xFyxyy 是是變變量量和和的的不不減減函函數(shù)數(shù)即即對對于于任任意意固固定定的的當(dāng)當(dāng)時時，2121,( ,)( ,).xxxyyFyFy 對對于于任任意意固固定定的的當(dāng)當(dāng)時時，o1 0( , )1,F x y 分布函數(shù)分

19、布函數(shù)F(x, y)具有的基本性質(zhì)具有的基本性質(zhì)49. 1),(lim),( yxFFyxo4( , )(0, ),( , )( ,0),( , ),.F x yF xy F x yF x yF x yxy 即即關(guān)關(guān)于于右右連連續(xù)續(xù) 關(guān)關(guān)于于也也右右連連續(xù)續(xù), 0),(lim),( yxFFyx , y 3 3 對對于于任任意意固固定定的的, 0),(lim),( yxFyFx,x對對于于任任意意固固定定的的, 0),(lim),( yxFxFy50邊緣分布函數(shù)邊緣分布函數(shù)二維隨機變量二維隨機變量(,)作為一個整體作為一個整體, 具有分布函數(shù)具有分布函數(shù)F(x,y)。其分量其分量和和也都是隨機

20、變量也都是隨機變量, 也有自己的分布函數(shù)也有自己的分布函數(shù), 將其分別記為將其分別記為F (x), F (y)。依次稱為二維隨機變量。依次稱為二維隨機變量(,) 關(guān)于關(guān)于和關(guān)于和關(guān)于的的邊緣分布函數(shù)（邊緣分布函數(shù)（Marginal distribution）。F(x)=P x =P x, +=F(x,+)F (y)=P y=P 0） =xi 的條件下，關(guān)于的條件下，關(guān)于 的條件分布律：的條件分布律：)1(,|iijijiijppxPyxPxyP （j=1, 2, ； P =xi0）定數(shù)定數(shù)定數(shù)定數(shù)3.3.條件分布條件分布 64XY3210010. 0020. 0030. 0840. 0002.

21、 0008. 0010. 0060. 0001. 0004. 0005. 0010. 0210013. 0032. 0045. 0910. 0iXP 900. 0080. 0020. 0jYP 例例4 已知已知.,0)2(;,1)1(的的條條件件分分布布律律的的條條件件下下求求在在的的條條件件分分布布律律的的條條件件下下求求在在XYYX 65XY3210010. 0020. 0030. 0840. 0002. 0008. 0010. 0060. 0001. 0004. 0005. 0010. 0210900. 0080. 0020. 0013. 0032. 0045. 0910. 0000.

22、1iXP jYP 解解由上述分布律的表格可得由上述分布律的表格可得10, 110 XPYXPXYP0.0300.045 23 1,1111P XYP YXP X 0.0100.045 29 (1)1,;XY 求求在在的的條條件件下下的的條條件件分分布布律律66XY3210010. 0020. 0030. 0840. 0002. 0008. 0010. 0060. 0001. 0004. 0005. 0010. 0210900. 0080. 0020. 0013. 0032. 0045. 0910. 0000. 1iXP jYP 01P YX 2311P YX 29 12, 112 XPYXPXYP0.0050.045 19 1,XY 在在的的條條件件下下的的條條件件分分布布律律為為Y1P Yj X 21022139967XY3210010. 0020. 0030. 0840. 0002. 0008. 0010. 0060. 0001. 0004. 0005. 0010. 0210900. 0080. 0020. 001