2015年高考山東理科數(shù)學(xué)試題及答案解析

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上2015年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（山東卷）數(shù)學(xué)（理科）第卷（共50分）一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的（1）【2015年山東，理1】已知集合，則（ ）（A） （B） （C） （D）（2）【2015年山東，理2】若復(fù)數(shù)滿足，其中是虛數(shù)單位，則（ ）（A） （B） （C） （D）（3）【2015年山東，理3】要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖像（ ）（A）向左平移個(gè)單位（B）向右平移個(gè)單位（C）向左平移個(gè)單位（D）向右平移個(gè)單位（4）【2015年山東，理4】已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為，則BD·CD=（

2、 ）（A） （B） （C） （D）（5）【2015年山東，理5】不等式的解集是（ ）（A） （B） （C） （D）（6）【2015年山東，理6】已知滿足約束條件若的最大值為4，則（ ）（A）3 （B）2 （C）-2 （D）-3（7）【2015年山東，理7】在梯形中，將梯形繞所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為（ ）（A） （B） （C） （D）（8）【2015年山東，理8】已知某批零件的長(zhǎng)度誤差（單位：毫米）服從正態(tài)分布，從中隨機(jī)取一件，其長(zhǎng)度誤差落在區(qū)間內(nèi)的概率為（ ）（附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，）（A） （B） （C） （D）（9）【2015年山東，理9】一條光線從點(diǎn)

3、射出，經(jīng)軸反射與圓相切，則反射光線所在的直線的斜率為（ ）（A）或 （B）或 （C）或 （D）或（10）【2015年山東，理10】設(shè)函數(shù)則滿足的取值范圍是（ ） （A） （B） （C） （D）第II卷（共100分）二、填空題：本大題共5小題，每小題5分（11）【2015年山東，理11】觀察下列各式：照此規(guī)律，當(dāng)時(shí)， （12）【2015年山東，理12】若“”是真命題，則實(shí)數(shù)的最小值為 （13）【2015年山東，理13】執(zhí)行右邊的程序框圖，輸出的的值為 （14）【2015年山東，理14】已知函數(shù)的定義域和值域都是，則 （15）【2015年山東，理15】平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的漸近線與拋物線交于點(diǎn)

4、，若的垂心為的焦點(diǎn)，則的離心率為 三、解答題：本大題共6題，共75分（16）【2015年山東，理16】（本小題滿分12分）設(shè)（）求的單調(diào)區(qū)間；（）在銳角中，角的對(duì)邊分別為，若，求面積（17）【2015年山東，理17】（本小題滿分12分）如圖，在三棱臺(tái)中，分別為的中點(diǎn)（）求證：平面；（）若平面，求平面與平面所成角（銳角）的大?。?8）【2015年山東，理18】（本小題滿分12分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和（19）【2015年山東，理19】（本小題滿分12分）若是一個(gè)三位正整數(shù)，且的個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字，十位數(shù)字大于百位數(shù)字，則稱為“三位遞增數(shù)”（如

5、137，359，567等）在某次數(shù)學(xué)趣味活動(dòng)中，每位參加者需從所有的“三位遞增數(shù)”中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，且只能抽取一次，得分規(guī)則如下：若抽取的“三位遞增數(shù)”的三個(gè)數(shù)字之積不能被5整除，參加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得-1分；若能被10整除，得1分（）寫出所有個(gè)位數(shù)字是5的“三位遞增數(shù)”；（）若甲參加活動(dòng)，求甲得分的分布列和數(shù)學(xué)期望（20）【2015年山東，理20】（本小題滿分13分）平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別是,以為圓心，以3為半徑的圓與以為圓心，以1為半徑的圓相交，交點(diǎn)在橢圓上（）求橢圓的方程；（）設(shè)橢圓，為橢圓上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，射線

6、交橢圓于點(diǎn)（i）求的值；（ii）求面積最大值（21）【2015年山東，理21】（本題滿分14分）設(shè)函數(shù)，其中 （）討論函數(shù)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說明理由；（）若，成立，求的取值范圍專心-專注-專業(yè)2015年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（山東卷）數(shù)學(xué)（理科）第卷（共50分）一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的（1）【2015年山東，理1】已知集合，則（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】，故選C（2）【2015年山東，理2】若復(fù)數(shù)滿足，其中是虛數(shù)單位，則（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】，故選A（3）【2015

7、年山東，理3】要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖像（ ）（A）向左平移個(gè)單位（B）向右平移個(gè)單位（C）向左平移個(gè)單位（D）向右平移個(gè)單位【答案】B【解析】，只需將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位，故選B（4）【2015年山東，理4】已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為，則BD·CD=（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】由菱形ABCD的邊長(zhǎng)為，可知，故選D（5）【2015年山東，理5】不等式的解集是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，成立；當(dāng)時(shí)，解得，則；當(dāng)時(shí)，不成立綜上，故選A（6）【2015年山東，理6】已知滿足約束條件若的最大值為4，則（ ）（A）3 （B）2

8、 （C）-2 （D）-3【答案】B【解析】由得，借助圖形可知：當(dāng)，即時(shí)在時(shí)有最大值0，不符合題意；當(dāng)，即時(shí)在時(shí)有最大值，不滿足；當(dāng)，即時(shí)在時(shí)有最大值，不滿足；當(dāng)，即時(shí)在時(shí)有最大值，滿足，故選B（7）【2015年山東，理7】在梯形中，將梯形繞所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】，故選C（8）【2015年山東，理8】已知某批零件的長(zhǎng)度誤差（單位：毫米）服從正態(tài)分布，從中隨機(jī)取一件，其長(zhǎng)度誤差落在區(qū)間內(nèi)的概率為（ ）（附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，）（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】，故選D（9）【2015年山東，

9、理9】一條光線從點(diǎn)射出，經(jīng)軸反射與圓相切，則反射光線所在的直線的斜率為（ ）（A）或 （B）或 （C）或 （D）或【答案】D【解析】關(guān)于軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)反射光線所在直線為即，則，解得或，故選D（10）【2015年山東，理10】設(shè)函數(shù)則滿足的取值范圍是（ ） （A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】由可知，則或，解得，故選C第II卷（共100分）二、填空題：本大題共5小題，每小題5分（11）【2015年山東，理11】觀察下列各式：照此規(guī)律，當(dāng)時(shí)， 【答案】【解析】（12）【2015年山東，理12】若“”是真命題，則實(shí)數(shù)的最小值為 【答案】1【解析】“”是真命題，則，于是實(shí)數(shù)的最小值為

10、1（13）【2015年山東，理13】執(zhí)行右邊的程序框圖，輸出的的值為 【答案】【解析】（14）【2015年山東，理14】已知函數(shù)的定義域和值域都是，則 【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，無(wú)解；當(dāng)時(shí)，解得，則（15）【2015年山東，理15】平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的漸近線與拋物線交于點(diǎn)，若的垂心為的焦點(diǎn)，則的離心率為 【答案】【解析】的漸近線為，則的焦點(diǎn)，則，即， 三、解答題：本大題共6題，共75分（16）【2015年山東，理16】（本小題滿分12分）設(shè)（）求的單調(diào)區(qū)間；（）在銳角中，角的對(duì)邊分別為，若，求面積解：（）由，由得，則的遞增區(qū)間為；由得，則的遞增區(qū)間為 （）在銳角中，而，由余弦定理可得，當(dāng)且僅

11、當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即，故面積的最大值為（17）【2015年山東，理17】（本小題滿分12分）如圖，在三棱臺(tái)中，分別為的中點(diǎn)（）求證：平面；（）若平面，求平面與平面所成角（銳角）的大小解：（）證明：連接，設(shè)與交于點(diǎn)，在三棱臺(tái)中，則，而是的中點(diǎn)，則，所以四邊形是平行四邊形，是的中點(diǎn)，又在，是的中點(diǎn)，則，又平面，平面，故平面（）由平面，可得平面而，則，于是兩兩垂直，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè),則,，則平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，則，故平面與平面所成角（銳角）的大小為（18）【2015年山東，理18】（本小題滿分12分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知（）求數(shù)列

12、的通項(xiàng)公式；（）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和解：（）由可得，而，則（）由及，可得，（19）【2015年山東，理19】（本小題滿分12分）若是一個(gè)三位正整數(shù)，且的個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字，十位數(shù)字大于百位數(shù)字，則稱為“三位遞增數(shù)”（如137，359，567等）在某次數(shù)學(xué)趣味活動(dòng)中，每位參加者需從所有的“三位遞增數(shù)”中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，且只能抽取一次，得分規(guī)則如下：若抽取的“三位遞增數(shù)”的三個(gè)數(shù)字之積不能被5整除，參加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得-1分；若能被10整除，得1分（）寫出所有個(gè)位數(shù)字是5的“三位遞增數(shù)”；（）若甲參加活動(dòng)，求甲得分的分布列和數(shù)學(xué)期望解：（）125，135，145

13、，235，245，345；（）的所有取值為-1，0，1甲得分的分布列為： 0-11 （20）【2015年山東，理20】（本小題滿分13分）平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別是,以為圓心，以3為半徑的圓與以為圓心，以1為半徑的圓相交，交點(diǎn)在橢圓上（）求橢圓的方程；（）設(shè)橢圓，為橢圓上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，射線交橢圓于點(diǎn)（i）求的值；（ii）求面積最大值解：（）由橢圓的離心率為可知，而則， 左、右焦點(diǎn)分別是,圓：圓：由兩圓相交可得，即，交點(diǎn)在橢圓上，則，整理得，解得，（舍去），故，橢圓的方程為（）（i）橢圓的方程為，設(shè)點(diǎn)，滿足，射線，代入可得點(diǎn)，于是（ii）點(diǎn)到直線

14、距離等于原點(diǎn)到直線距離的3倍：，得，整理得， ，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立而直線與橢圓有交點(diǎn)，則有解，即有解，其判別式，即，則上述不成立，等號(hào)不成立，設(shè)，則在為增函數(shù)，于是當(dāng)時(shí)，故面積最大值為12（21）【2015年山東，理21】（本題滿分14分）設(shè)函數(shù)，其中 （）討論函數(shù)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說明理由；（）若，成立，求的取值范圍解：（），定義域?yàn)椋O(shè)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在為增函數(shù)，無(wú)極值點(diǎn)當(dāng)時(shí)，若時(shí)，函數(shù)在為增函數(shù)，無(wú)極值點(diǎn)若時(shí)，設(shè)的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且，且，而，則，所以當(dāng)單調(diào)遞增；當(dāng)單調(diào)遞減；當(dāng)單調(diào)遞增因此此時(shí)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，但，所以當(dāng)單調(diào)遞増；當(dāng)單調(diào)遞減，所以函數(shù)只有一個(gè)極值點(diǎn) 綜上可知當(dāng)時(shí)的無(wú)極值點(diǎn)

15、；當(dāng)時(shí)有一個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，的有兩個(gè)極值點(diǎn)（）由（）可知當(dāng)時(shí)在單調(diào)遞增，而，則當(dāng)時(shí)，符合題意；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，而，則當(dāng)時(shí)，符合題意；當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，而，則當(dāng)時(shí)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，設(shè)，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，因此當(dāng)時(shí)，于是，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，不符合題意綜上所述，的取值范圍是另解：（），定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，函數(shù)在為增函數(shù)，無(wú)極值點(diǎn)設(shè)，當(dāng)時(shí)，根據(jù)二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)可知的根的個(gè)數(shù)就是函數(shù)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)若，即時(shí)，函數(shù)在為增函數(shù)，無(wú)極值點(diǎn)若，即或，而當(dāng)時(shí)此時(shí)方程在只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，此時(shí)函數(shù)只有一個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)方程在都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，此時(shí)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)；綜上可知當(dāng)時(shí)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為0；當(dāng)時(shí)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為1；當(dāng)時(shí)，的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為2（）設(shè)函數(shù)，都有成立，即當(dāng)時(shí)，恒成立；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；由均有成立故當(dāng)時(shí)，則只需；當(dāng)時(shí)，則需，即綜上可知對(duì)于，都有成立，只需即可，故所求的取值范圍是另解：（）設(shè)函數(shù)，要使，都有成立，只需函數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增即可，于是只需