1999年哈爾濱工業(yè)大學量子力學試題_第1頁
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1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上 1999年量子力學考研試題 一. 質量為的粒子，在阱寬為的非對稱一維無限深勢阱中運動，當時，粒子處于狀態(tài) 其中，為粒子的第個本征態(tài)。（1） 求時能量的取值幾率；（2） 求時的波函數(shù)；（3） 求時能量的取值幾率。解：非對稱一維無限深勢阱中粒子的本征解為 （1） 首先，將歸一化。由 可知，歸一化常數(shù)為 于是，歸一化后的波函數(shù)為 能量的取值幾率為 能量取其它值的幾率皆為零。（2） 因為哈密頓算符不顯含時間，故時的波函數(shù)為 （3） 由于哈密頓量是守恒量，所以時的取值幾率與時相同。二. （見習題選講5.10）設體系的哈密頓算符為 利用適當?shù)淖儞Q求出體系的能量本征值與相應的本征

2、矢。解：將哈密頓算符改寫為 顯然，構成力學量完全集，且其共同本征函數(shù)系為，于是 進而可知能量本征值為 相應的本征矢為球諧函數(shù)。 三. 自旋為、固有磁矩為（為實常數(shù)）的粒子，處于均勻外磁場中，設時，粒子處于的狀態(tài)，求出時的波函數(shù)，進而計算與的平均值。解：體系的哈密頓算符為 在泡利表象中，哈密頓算符的矩陣形式為 其本征值滿足久期方程 解之得到 將和代入本征方程，可以求出相應的本征矢 ； 依題意可知， 顯然，展開系數(shù)為時的波函數(shù)為將代入上式，得到 的平均值為的平均值為四. 若一維體系的哈密頓算符不顯含時間，在能量表象中證明：(1) (2) (3) 證明：（1）. 利用算符微分的定義可知 而從另一個角度出發(fā)，又可以得到 比較上述兩式得到， （2）. 從計算動量算符平方的平均值出發(fā)，有 整理之，有 （3）利用維里定理， 得到 于是，有 五 各向同性三維諧振子的哈密頓算符為 加上微擾之后，求第一激發(fā)態(tài)的一級能量修正。解：無微擾時，三維諧振子的本征解為 當時，第一激發(fā)態(tài)存在3度簡并，即 利用公式 可以求出 式中， 在簡并子空間中，能量

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