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1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 1999年量子力學(xué)考研試題 一. 質(zhì)量為的粒子,在阱寬為的非對稱一維無限深勢阱中運(yùn)動(dòng),當(dāng)時(shí),粒子處于狀態(tài) 其中,為粒子的第個(gè)本征態(tài)。(1) 求時(shí)能量的取值幾率;(2) 求時(shí)的波函數(shù);(3) 求時(shí)能量的取值幾率。解:非對稱一維無限深勢阱中粒子的本征解為 (1) 首先,將歸一化。由 可知,歸一化常數(shù)為 于是,歸一化后的波函數(shù)為 能量的取值幾率為 能量取其它值的幾率皆為零。(2) 因?yàn)楣茴D算符不顯含時(shí)間,故時(shí)的波函數(shù)為 (3) 由于哈密頓量是守恒量,所以時(shí)的取值幾率與時(shí)相同。二. (見習(xí)題選講5.10)設(shè)體系的哈密頓算符為 利用適當(dāng)?shù)淖儞Q求出體系的能量本征值與相應(yīng)的本征
2、矢。解:將哈密頓算符改寫為 顯然,構(gòu)成力學(xué)量完全集,且其共同本征函數(shù)系為,于是 進(jìn)而可知能量本征值為 相應(yīng)的本征矢為球諧函數(shù)。 三. 自旋為、固有磁矩為(為實(shí)常數(shù))的粒子,處于均勻外磁場中,設(shè)時(shí),粒子處于的狀態(tài),求出時(shí)的波函數(shù),進(jìn)而計(jì)算與的平均值。解:體系的哈密頓算符為 在泡利表象中,哈密頓算符的矩陣形式為 其本征值滿足久期方程 解之得到 將和代入本征方程,可以求出相應(yīng)的本征矢 ; 依題意可知, 顯然,展開系數(shù)為時(shí)的波函數(shù)為將代入上式,得到 的平均值為的平均值為四. 若一維體系的哈密頓算符不顯含時(shí)間,在能量表象中證明:(1) (2) (3) 證明:(1). 利用算符微分的定義可知 而從另一個(gè)角度出發(fā),又可以得到 比較上述兩式得到, (2). 從計(jì)算動(dòng)量算符平方的平均值出發(fā),有 整理之,有 (3)利用維里定理, 得到 于是,有 五 各向同性三維諧振子的哈密頓算符為 加上微擾之后,求第一激發(fā)態(tài)的一級能量修正。解:無微擾時(shí),三維諧振子的本征解為 當(dāng)時(shí),第一激發(fā)態(tài)存在3度簡并,即 利用公式 可以求出 式中, 在簡并子空間中,能量
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