幾個把平面幾何問題的輔助線作到空間去的趣題

1、幾個把平面幾何問題的輔助線作到空間去的趣題一、平面三圓問題1           問題：平面上三圓兩兩相交于六點。試證明三條公共弦共點。    證明：把這三個圓想像為三個球的大圓。為方便敘述，我們把三個球的球心確定的平面記作 。顯然，平面 在三個球上的截面就是題目的這三個大圓，而 上的三個大圓的三條公共弦即是每兩個球之間的公共小圓在 上的投影。我們要證明的就是三個公共小圓在平面 上的投影共點。注意到三個球交于兩點，這兩點關(guān)于平面 對稱且這兩點就是三個公共小

2、圓的交點。把這兩點也投影到平面 上，得證。二、平面三圓問題2    問題：在平面三個圓中，任意兩個圓都有兩條公切線且兩條公切線交于一點。顯然，這樣的點有三個。試說明這三點共線。    證明：在這個平面的三個圓上放三個球，每個球的半徑都等于它底下的那個圓的半徑。顯然，這個平面是這三個球的一個公切面。再把公切線想像成這三個球確定的三個圓錐的母線在平面上的投影。顯然三個圓錐的頂點都在這個平面上，且這三個頂點就是待證共線的三點。這三點是顯然共線的，因為我們可以在三個球上找到另一個公切面（想像一塊玻璃板從上面蓋下去），那么這

3、個切面上也包含了三個圓錐的頂點，而這兩個切面的交線是唯一的一條直線。三、四人旅行問題    問題：平面上四條直線，任兩條不平行，任三條不共點。四個旅行者 A、B、C、D 分別勻速地走在這四條直線上（他們的速度可以不相同）。若 A 在行走過程中與 B、C、D 相遇，B 在行走過程中與 C、D 相遇（當(dāng)然也遇見了 A），求證：C、D 在行走過程中相遇。    證明：作垂直于平面的直線作為時間軸，建立三維直角坐標(biāo)系。由于四人均勻速行走，因此他們的路程-時間圖像是線形的。我們可以在空間中作出 A、B、C、D 四個人行走路程

4、與時間關(guān)系的圖像并分別命名為 La、Lb、Lc、Ld。這樣，我們可以從這四條空間直線中輕易判斷某一時刻四人的位置。例如，空間中 P 點 (x, y, t)在直線 Lc 上，則表明在 t 時刻 C 走到了平面(x, y)位置。好，現(xiàn)在強(qiáng)了，真的強(qiáng)了。A、B 不是曾經(jīng)相遇過嗎？這就是說，La 和 Lb 相交。這兩條相交直線可以確定一個平面。C 不是與 A、B 都相遇過嗎？那就是說，Lc 與 La、Lb 都相交。于是，Lc 也在這個平面上。同樣地，Ld 也在這個平面上。既然全部都共面了，Lc、Ld 必然會相交，即 C、D 必相遇。得證。四、三角形對稱問題       問題：平面上任意三角形 ABC 和異于 A、B、C 三點的點 P。 X、Y、Z 三點分別是 P 點關(guān)于三邊 BC、AC、AB 的中點的對稱點。求證：AX、BY、CZ 共點。    證明：考慮空間中一點 P' 使 PP' 垂直于平面 ABC。作出 X'、Y'、Z' 關(guān)于三邊 BC、AC、AB 的中點對稱?？梢缘玫剑c A、B、C、P'、X'、 Y'、Z' 是一個平行六面體的頂點。AX&#