轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)解題中的作用及培養(yǎng)

1、-轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)解題中的作用與培養(yǎng)摘 要 數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的精華,對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的形成和開(kāi)展有著十分重要的作用.其中轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)思想的核心與精華,是數(shù)學(xué)思想方法中最根本的一種,也是一種重要的解決問(wèn)題的策略.它能化繁為簡(jiǎn),化未知為,因此在數(shù)學(xué)解題中應(yīng)注重這種數(shù)學(xué)思想的滲透,才能拓寬、深化學(xué)生的思維.在教育實(shí)習(xí)期間，我們注意到數(shù)學(xué)題目中好多都在考察學(xué)生的轉(zhuǎn)化意識(shí)與轉(zhuǎn)化能力，很多題目用常規(guī)的數(shù)學(xué)解題方法解計(jì)算量比較大，而運(yùn)用數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法去解決就會(huì)簡(jiǎn)單的多.這使我萌生了要研究轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)解題中的作用與培養(yǎng)這一課題的意愿.本論文主要研究了轉(zhuǎn)化思想的概念、轉(zhuǎn)化思想的分類和轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)

2、用，探究了在數(shù)學(xué)解題中如何應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想，從而提醒出轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)解題中的作用，最后提出一些培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想能力的建議，使得學(xué)生能夠形成自覺(jué)轉(zhuǎn)化與有意識(shí)轉(zhuǎn)化的習(xí)慣，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力.關(guān)鍵詞 數(shù)學(xué) 數(shù)學(xué)思想 轉(zhuǎn)化思想 數(shù)學(xué)解題 數(shù)學(xué)教學(xué) Function and Training of Transformation Thought inthe Mathematical Problem SolvingAbstract Mathematical thinking is the essence of mathematics. It plays an important role on th

3、e formation and development of students' mathematical ability. Also, it is an important strategy to solve the problems. It can transfer the ple*ity into simple, and it can convert the unknown into the known. Therefore, in order to broaden and deepen students' thinking, the teachers should fo

4、cus on permeating mathematical thoughts into solving mathematical problems. In the period of teaching practice, we noticed that there are many math topics which are used to check students transforming consciousness and transformation capabilities. The conventional method of solving mathematical prob

5、lem makes the calculation more plicated. But it is much easier for students to solve the problems in the way of mathematical transformation thoughts. So, it makes the author enlighten the thoughts to research the function of transformation thought in mathematical problem solving and the willingness

6、of developing this topic. This thesis mainly studies the concept of ideological transformation, transformation classification and the applications of transformation thinking in mathematical problem solving. It e*plores how to apply to transformation thought in mathematical problem solving. Then, it

7、reveals the application of transformation thought in mathematical problem solving. Finally, the author puts forward some suggestions to cultivate the ability of students mathematical transformation thoughts. In the end, it enables students to cultivate the ability to form the consciousness of transf

8、ormation actively and develop the habit. Thus, it can improve the ability of students mathematical problem solving.Keywords mathematics mathematical thinking transforming ideas mathematical problem solving mathematics teaching. z- 目 錄引言1第1章 轉(zhuǎn)化思想的概述11.1轉(zhuǎn)化思想的概念21.2轉(zhuǎn)化思想的分類51.3轉(zhuǎn)化思想在運(yùn)用上應(yīng)遵循的根本原則6第2章轉(zhuǎn)化思想在數(shù)

9、學(xué)解題中的作用62.1 代數(shù)到幾何的轉(zhuǎn)化62.2 空間幾何到代數(shù)的轉(zhuǎn)化82.3 不等式到函數(shù)的轉(zhuǎn)化102.4 方程到函數(shù)或不等式的轉(zhuǎn)化102.5 一般到特殊的轉(zhuǎn)化112.6 正面到反面的轉(zhuǎn)化122.7 轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)解題中的作用12第3章 轉(zhuǎn)化思想的培養(yǎng)143.1加強(qiáng)知識(shí)之間的聯(lián)系153.2 注重公式的形式及特點(diǎn)193.3 加強(qiáng)轉(zhuǎn)化思想的培養(yǎng)與訓(xùn)練 21總結(jié)22致22參考文獻(xiàn)23. z-引 言轉(zhuǎn)化思想方法在數(shù)學(xué)中有著很重要的地位和作用.面對(duì)千變?nèi)f化的數(shù)學(xué)問(wèn)題，轉(zhuǎn)化思想方法的運(yùn)用，無(wú)時(shí)不有，無(wú)處不在，尤其是在解答實(shí)際問(wèn)題和綜合問(wèn)題時(shí)，運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想換一個(gè)角度看問(wèn)題，常常是打破僵局的希望.在解題過(guò)不

10、斷調(diào)整思路，不斷合理轉(zhuǎn)化，可以使我們少一些“山窮水盡疑無(wú)路的為難，多一些“柳暗花明又一村的喜悅.研究數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想的目的是為了解決新課標(biāo)下高中數(shù)學(xué)呈現(xiàn)出來(lái)的“起點(diǎn)高、難度大、容量多、課時(shí)緊的問(wèn)題，通過(guò)研究轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)解題中的作用可以給予學(xué)生們一些運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法，讓學(xué)生明白轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)解題中有至關(guān)重要的作用.鑒于轉(zhuǎn)化思想方法在數(shù)學(xué)解題中的重要地位和作用，常規(guī)的數(shù)學(xué)解題方法計(jì)算量比較大，就必須對(duì)數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法進(jìn)展深入研究.國(guó)外在研究轉(zhuǎn)化思想的方法及作用上具有開(kāi)創(chuàng)性,布盧姆在?教育目標(biāo)分類學(xué)?中明確指出：數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想是“把問(wèn)題元素從一種形式向另一種形式轉(zhuǎn)化的能力，它可以從語(yǔ)言描

11、述向圖形表示轉(zhuǎn)化，或從語(yǔ)言表達(dá)向符號(hào)形式的轉(zhuǎn)化，或是每一種情況的逆轉(zhuǎn)化.著名數(shù)學(xué)家歐拉Euler也曾在解決哥尼斯堡七橋問(wèn)題時(shí),采用了轉(zhuǎn)化的思想方法.但是國(guó)在數(shù)學(xué)領(lǐng)域探究有關(guān)數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想的文獻(xiàn)并不是很具體和深入，所以就需要將這些零散的知識(shí)歸納起來(lái). 并通過(guò)實(shí)例加以說(shuō)明，深入探討轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)解題中的作用與提出一些如何培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化思想的指導(dǎo)建議第1章 轉(zhuǎn)化思想的概述1.1 轉(zhuǎn)化思想的概念數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，有較強(qiáng)的邏輯性，大多數(shù)學(xué)問(wèn)題并不是主觀思維. z-能夠解決出來(lái)的.因此在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，常遇到一些問(wèn)題直接求解起來(lái)會(huì)比較困難，往往需要對(duì)問(wèn)題進(jìn)展觀察、分析、類比、聯(lián)想等思維過(guò)程，從而對(duì)問(wèn)

12、題進(jìn)展變形，直至把原問(wèn)題轉(zhuǎn)化到*個(gè)較熟悉的問(wèn)題上去，通過(guò)對(duì)新問(wèn)題的求解，到達(dá)解決原問(wèn)題的目的，這一思想方法我們稱為“轉(zhuǎn)化的思想方法.轉(zhuǎn)化思想的實(shí)質(zhì)是提醒問(wèn)題的聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化.根本上除了一些極簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題外，每個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決都是需要轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題來(lái)解決的.轉(zhuǎn)化思想是解決問(wèn)題的根本思想，解題過(guò)程實(shí)際上就是一步一步轉(zhuǎn)化的過(guò)程，轉(zhuǎn)化思想在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中隨處可見(jiàn)，例如：數(shù)形結(jié)合的思想表達(dá)了“數(shù)與“形的相互轉(zhuǎn)化；分類討論思想表達(dá)了局部與整體的相互轉(zhuǎn)化等等.它們都是轉(zhuǎn)化思想的具體表達(dá). 1.2 轉(zhuǎn)化思想的分類根據(jù)要轉(zhuǎn)化的過(guò)程是充要的還是充分或必要的，可以將轉(zhuǎn)化思想分為等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與非等價(jià)轉(zhuǎn)化思想.

13、1等價(jià)轉(zhuǎn)化思想 等價(jià)轉(zhuǎn)化是將所給的命題進(jìn)展等價(jià)轉(zhuǎn)化，使之成為一種容易理解的語(yǔ)言或容易求解的模式，其關(guān)鍵是要明確轉(zhuǎn)化的方向也就是轉(zhuǎn)化的目標(biāo).等價(jià)轉(zhuǎn)化中要求轉(zhuǎn)化過(guò)程的前因后果是充分必要的，才能保證轉(zhuǎn)化后的結(jié)果仍為原問(wèn)題的結(jié)果.等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的特點(diǎn)是具有靈活性和多樣性.在應(yīng)用等價(jià)思想方法去解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，沒(méi)有一個(gè)統(tǒng)一的模式去遵循，它可以在數(shù)與形，函數(shù)與方程，不等式與不等式之間進(jìn)展轉(zhuǎn)化.由于其多樣性和靈活性，因此在運(yùn)用時(shí)要合理的轉(zhuǎn)化的途徑與方法，防止死板硬套.下面結(jié)合具體例子來(lái)說(shuō)明在解題時(shí)如何運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想.例1 不等式的解集是 . z- A. B. C. D. 分析 不等式右邊的“0實(shí)際是“，這樣就

14、可以看作是分式不等式，去掉對(duì)數(shù)函數(shù)符號(hào)時(shí)，要注意對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域問(wèn)題，即.解 因?yàn)?=要解，即解又因?yàn)楹瘮?shù)在其定義域是減函數(shù)，所以，且,最后解得,所以選擇C.方法點(diǎn)撥 在解不等式的過(guò)程中充分運(yùn)用不等式的性質(zhì)及相關(guān)知識(shí)，把原不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為易解的不等式.在對(duì)不等式進(jìn)展變形時(shí)，要注意不等式的同解性，即注意保持字母在允許圍不發(fā)生變化，解含有參數(shù)的不等式時(shí)，注意要對(duì)參數(shù)進(jìn)展分類討論，從而做到不重不漏.(2) 非等價(jià)轉(zhuǎn)化思想非等價(jià)轉(zhuǎn)化思想分為兩類，其一是找充分條件，為了證明，我們找出命題 ，它們有關(guān)系，然后證明，從而斷言為真；其二是找必要條件，為了否認(rèn)，我們找出命題，它們有關(guān)系：，然后證明不真，從而斷言

15、也不真.這兩個(gè)方面的轉(zhuǎn)化在數(shù)學(xué)中都發(fā)揮了巨大作用. 例如，在不等式的證明中有關(guān)充分性與必要性的論證過(guò)程中恰好分屬于上面兩類.又如根據(jù)不等式的傳遞性而開(kāi)展出發(fā)的放縮法也屬于此類，而放與縮恰好屬于上面兩種不同的轉(zhuǎn)化方式.當(dāng)*些問(wèn)題用等價(jià)轉(zhuǎn)化處理麻煩時(shí)，恰如其分地利用非等價(jià)轉(zhuǎn)化手段，會(huì)常使這些問(wèn)題的解決變的簡(jiǎn)單明了，這是非等價(jià)轉(zhuǎn)化非常積極的一面.但是，由非等價(jià)轉(zhuǎn)化得出的結(jié)果有時(shí)候會(huì)與真實(shí)結(jié)果有些出入，必須再對(duì)其結(jié)果做些處理，才能獲得原問(wèn)題的完全解.下面結(jié)合具體例子說(shuō)明在解題時(shí)如何運(yùn)用非等價(jià)轉(zhuǎn)化思想.第一類找充分條件例2 ，假設(shè)對(duì)任意，總有成立，則實(shí)數(shù).分析 這個(gè)題如果用常規(guī)的解法要分類討論比較麻煩，

16、也常常會(huì)因?yàn)樯儆懻摿艘环N情況而導(dǎo)致出錯(cuò).如果換一種思路，用非等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想會(huì)容易很多.下面我將分別用兩種方法來(lái)解一下，以此來(lái)比照它們之間的優(yōu)略.解 常規(guī)解法 因?yàn)閷?duì)任意恒成立，即對(duì)任意恒成立.下面對(duì)進(jìn)展分類討論：當(dāng)時(shí),成立，所以；當(dāng)時(shí)，恒成立，考慮函數(shù)，對(duì)其求導(dǎo)可得，令，可得，當(dāng)時(shí)，取最大值4，所以有；當(dāng)時(shí)，原式變?yōu)?，要使之恒成立，考慮函數(shù)，求導(dǎo)可得，所以關(guān)于在上單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，取得最小值4，所以有.綜上所述，.用非等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的解法因?yàn)閷?duì)任意恒成立，所以 即于是最后驗(yàn)證一下，此時(shí)令,得 ，計(jì)算可得當(dāng)或時(shí)，發(fā)取得最小值從而得到對(duì)于恒成立，所以.第二類找必要條件例3 ：.求證:.分析 這個(gè)不等

17、式的證明需要利用非等價(jià)轉(zhuǎn)化思想 ，利用不等式 對(duì)下面所要求的不等式進(jìn)展放大，從而證明不等式.證明 因?yàn)?= =.通過(guò)上面第一個(gè)例子，我們能很明顯的看出非等價(jià)轉(zhuǎn)化可以防止繁雜且容易遺漏的分類討論，使恒成立問(wèn)題處理起來(lái)非常容易，但是用非等價(jià)轉(zhuǎn)化時(shí)要特別注意最后對(duì)定義域擴(kuò)大、縮小局部另外處理，以便排除增根或找回失去的根.通過(guò)上面第二個(gè)例子，我們知道在證明不等式，可以利用非等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，根據(jù)不等式的傳遞性對(duì)不等式進(jìn)展放縮，從而使問(wèn)題得到好的解決.1.3轉(zhuǎn)化思想在運(yùn)用上應(yīng)遵循的根本原則 運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想解題時(shí)，可以使原本不太容易與不熟悉的問(wèn)題通過(guò)轉(zhuǎn)化使其變得容易與方便解決，而不能說(shuō)轉(zhuǎn)化以后，發(fā)現(xiàn)比轉(zhuǎn)化之前更

18、加的難以解決，則轉(zhuǎn)化不僅沒(méi)有起到幫助問(wèn)題的解決的作用，反而浪費(fèi)了時(shí)間與精力，得不償失.因此，運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想解題時(shí)并不是隨心所欲，隨便轉(zhuǎn)化，而是有它所要遵循的一些根本原則的，這樣就使得轉(zhuǎn)化有目標(biāo)性，才能使轉(zhuǎn)化思想發(fā)揮它的作用.以下介紹轉(zhuǎn)化思想在運(yùn)用上應(yīng)遵循的根本原則：熟悉化原則 就是將陌生的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題，利于我們應(yīng)用熟知的知識(shí)、經(jīng)歷來(lái)解決問(wèn)題.例如，我們對(duì)等差數(shù)列與等比數(shù)列非常熟悉，當(dāng)遇到一些簡(jiǎn)單的遞推數(shù)列要求其通向公式時(shí)，可以先觀察對(duì)其進(jìn)展變形，將其轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的等差數(shù)列或等比數(shù)列來(lái)解決.簡(jiǎn)單化原則就是將復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，通過(guò)對(duì)簡(jiǎn)單問(wèn)題的解決，到達(dá)解決復(fù)雜問(wèn)題的目的或獲得*

19、種解題的啟示和依據(jù). 例如，在代數(shù)中，高次方程通過(guò)因式分解、因式變形，到達(dá)降次的目的；多元方程通過(guò)消元，轉(zhuǎn)化為一元方程,這些都表達(dá)了轉(zhuǎn)化思想的簡(jiǎn)單化原則.正難則反原則當(dāng)問(wèn)題正面討論遇到困難時(shí)，可考慮問(wèn)題的反面，設(shè)法從問(wèn)題的反面去探求，使問(wèn)題獲解. 例如，在概率問(wèn)題中，根據(jù)對(duì)立事件的實(shí)質(zhì)，如果事件和事件互為對(duì)立事件，則，當(dāng)我們解決概率問(wèn)題時(shí)，當(dāng)所求的概率問(wèn)題比較繁瑣時(shí)可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化到原問(wèn)題的對(duì)立問(wèn)題上去，進(jìn)而快速求解.直觀化原則將比較抽象的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為比較直觀的問(wèn)題來(lái)解決.例如，在對(duì)一些代數(shù)式直接求解較難時(shí)，將代數(shù)式轉(zhuǎn)化為圖形，這樣就非常直觀，且一目了然，使得問(wèn)題解決起來(lái)很容易.第2章 轉(zhuǎn)化思想在數(shù)

20、學(xué)解題中的作用數(shù)學(xué)上每個(gè)問(wèn)題都有與之相互聯(lián)系的問(wèn)題，它們或相互等價(jià)或構(gòu)成矛盾，在解決問(wèn)題的過(guò)程中都需要在一定條件下相互轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化過(guò)程中又有其所要遵循的原則.下面我將對(duì)轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)解題中幾種典型的運(yùn)用做具體分析，及在轉(zhuǎn)化過(guò)程中是如何表達(dá)它所要遵循的原則的，通過(guò)分析轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)解題中的具體應(yīng)用來(lái)提醒出轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)解題中的作用.2.1代數(shù)到幾何的轉(zhuǎn)化有些函數(shù)問(wèn)題從代數(shù)方法出發(fā)很難解決，如果將這些問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題，通過(guò)構(gòu)造幾何圖形來(lái)幫助解決，將會(huì)使原先的問(wèn)題變的非常直觀與簡(jiǎn)單.這充分表達(dá)了運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想應(yīng)遵循的“直觀化與“簡(jiǎn)單化原則.例4求函數(shù)的最小值. 分析 此題看起來(lái)是一個(gè)函數(shù)問(wèn)題，但是從函

21、數(shù)角度很難解決，如果把這一問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解析幾何點(diǎn)到點(diǎn)的距離問(wèn)題.這一問(wèn)題就迎刃而解.把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為 ,令，= .則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在*軸上求一點(diǎn)P，使有最小值.圖 2.1 解 設(shè),則只要求的最小值即可，又點(diǎn)與點(diǎn)對(duì)稱， 而原式最小值為.例5 知為正數(shù)，且，求的最小值.分析 此題如果直接用代數(shù)方法來(lái)解，顯得難以入手，但題目所給的等式有明顯的幾何構(gòu)造，將其變形為，則會(huì)很容易聯(lián)想到勾股定理，且又注意到為正數(shù)這個(gè)條件，則會(huì)想到構(gòu)造一個(gè)關(guān)于直角三角形會(huì)有助于解題，從而使問(wèn)題得到解決.圖 2.2 構(gòu)造直角三角形 解 構(gòu)造以為直角邊，為斜邊的和，如上圖擺放，則在直角梯形中，因?yàn)?所以.所以，所以的最小值是.2.2空間幾

22、何到代數(shù)的轉(zhuǎn)化在空間幾何中，在求一些空間角，空間距離及證明一些空間中線面平行與垂直，面面平行與垂直問(wèn)題時(shí)，如果只單純運(yùn)用空間幾何的定理來(lái)解比較難，需要較強(qiáng)的空間想象能力，而通過(guò)空間向量的引入，使得空間幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，降低了思維難度，使原先較難的問(wèn)題解答起來(lái)簡(jiǎn)單而又直接.這充分表達(dá)了運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想應(yīng)遵循的“簡(jiǎn)單化原則.例6如下列圖，正三棱柱的所以棱長(zhǎng)都相等，是的中點(diǎn)，則直線與平面所成角的正弦值為. 圖 2.3 分析 建立直角坐標(biāo)系，利用向量法求解，防止了通過(guò)空間的邏輯推理尋找線面角的過(guò)程，使得問(wèn)題變得簡(jiǎn)單而又直接.解 不妨設(shè)正三棱柱的棱長(zhǎng)為2，建立如下列圖的空間直角坐標(biāo)系，則，則，設(shè)平面的

23、法向量為，由解得.又,所以，所成的角正弦值為.2.3不等式到函數(shù)的轉(zhuǎn)化不等式是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要分支，但是一些不等式的解題過(guò)程需要通過(guò)運(yùn)用函數(shù)思想中的各類解題思維，進(jìn)展全局化、整體化地將復(fù)雜的不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單化的根底性的函數(shù)問(wèn)題來(lái)解答.例7 當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求的圍.分析 原不等式恒成立的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題解 原不等式恒成立，即恒成立，只需大于的最大值. 設(shè)：，則，所以， 所以.例8 ：、,求證：.分析 這是不等式的證明題，關(guān)鍵在于絕對(duì)值符號(hào)的處理.事實(shí)上，本例可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題.：，及函數(shù)，求證：.易證是增函數(shù)，這樣問(wèn)題就容易解決了.2.4方程到函數(shù)或不等式的轉(zhuǎn)化

24、方程問(wèn)題有時(shí)可以轉(zhuǎn)化為與其相關(guān)的函數(shù)問(wèn)題或不等式問(wèn)題,運(yùn)用函數(shù)的一些性質(zhì),如:函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的值域等,會(huì)使問(wèn)題得到很好的解決.例9關(guān)于的方程恒有解，求的圍.分析 該題如果按方程問(wèn)題處理比較麻煩，轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題來(lái)解會(huì)比較容易.解 原方程可變?yōu)?，只要是函?shù)的值域的一個(gè)值即可. .例10 角、是三角形的兩個(gè)角，且 ， 是方程的兩根，求的取值圍.分析 此題看起來(lái)是方程問(wèn)題，根據(jù)隱含條件最終轉(zhuǎn)化為不等式問(wèn)題解 由 ,，故方程的兩根均在之間.則解之得：.2.5一般到特殊的轉(zhuǎn)化等差數(shù)列和等比數(shù)列是高中知識(shí)的重點(diǎn)，也是高考考察的重點(diǎn)，但在平常做題時(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn)，所做的題卻不是學(xué)生們所熟悉的等差、等比數(shù)列，而是一

25、些一般的遞推數(shù)列，讓求它的通項(xiàng)公式，這就在考察學(xué)生的觀察能力與解決問(wèn)題的能力.一般情況下，一般的遞推數(shù)列可以通過(guò)變形轉(zhuǎn)化為兩類特殊的根本數(shù)列，通過(guò)求解其根本數(shù)列來(lái)求原數(shù)列.這充分表達(dá)了運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想應(yīng)遵循的“熟悉 化原則.例11數(shù)列中，,求：數(shù)列的通項(xiàng)公式.分析 通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)，數(shù)列通過(guò)倒數(shù)變換后是一個(gè)等差數(shù)列，所以可以通過(guò)轉(zhuǎn)化將其轉(zhuǎn)化為我們熟悉的等差數(shù)列，來(lái)求其通項(xiàng)公式. 解 因?yàn)?，將其進(jìn)展倒數(shù)變化后為，所以是一個(gè)以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列.所以，所以.2.6正面到反面的轉(zhuǎn)化在解題過(guò)程中，如果從正面解決原問(wèn)題有困難，不妨從它的反面出發(fā)，逆向思維，獲得對(duì)原問(wèn)題的解決.這充分表達(dá)了運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想應(yīng)遵

26、循的“正難則反原則. 例12三條拋物線： ， ， 中至少有一條與*軸相交，數(shù)a的取值圍.分析 一、二、三條拋物線中至少有一條與* 軸相交的情況比較多，反之為三條拋物線與* 軸都不相交，只有一種情況.這樣就使得原本不太容易解決的問(wèn)題通過(guò)從反面考慮而變得很簡(jiǎn)單.解 令，由解得： 滿足題意的的取值圍是.例13 在兩個(gè)袋子中分別放有6卡片，且每個(gè)袋子中的每卡片分別標(biāo)有1、2、3、4、5、6的不同數(shù)字，現(xiàn)在從兩個(gè)袋子中任意各抽出一卡片，則兩卡片上的數(shù)字之和不是的概率是多少. 分析 直接求解需要分別求出兩卡片上的數(shù)字之和為2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12的概率，然后相加，這樣就比較繁瑣，問(wèn)

27、題可以轉(zhuǎn)化為用減去出現(xiàn)兩卡片上數(shù)字之和為7的概率.解 由于出現(xiàn)數(shù)字之和為7的情況有1+6、2+5、3+4、4+3、5+2、6+1共6種情況，而總共可能出現(xiàn)的情況有種.所以所求概率為: 說(shuō)明 概率問(wèn)題的解決通常滲透了排列、組合的問(wèn)題，而且經(jīng)常用到分類討論的思想，這樣就使得問(wèn)題復(fù)雜化，我們可根據(jù)條件從問(wèn)題的反面出發(fā)，解決對(duì)立問(wèn)題，再根據(jù)來(lái)求出原問(wèn)題的解.2.7轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)解題中的作用 通過(guò)上面列舉與分析的轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用，知道轉(zhuǎn)化思想實(shí)質(zhì)是以運(yùn)動(dòng)、變化開(kāi)展以及事物間相互聯(lián)系和制約的觀點(diǎn)看問(wèn)題的，即善于對(duì)所要解決的問(wèn)題進(jìn)展變形.通過(guò)轉(zhuǎn)化后，使得原本不太容易解決的問(wèn)題變的很容易解決，在轉(zhuǎn)化

28、過(guò)程中也培養(yǎng)了學(xué)生的觀察能力，聯(lián)想能力，創(chuàng)新能力.因此，通過(guò)對(duì)以上這些轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)解題中運(yùn)用的例子的分析，可以總結(jié)出轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)解題中的作用：第一：優(yōu)化解題方法追求解題方法的簡(jiǎn)潔、深刻、優(yōu)美，是數(shù)學(xué)思想的最大特色.很多數(shù)學(xué)問(wèn)題通過(guò)轉(zhuǎn)化，不只是獲得了解決，更重要的是獲得了解法的優(yōu)化.第二：揭露問(wèn)題的本質(zhì)歷史上有不少數(shù)學(xué)問(wèn)題，在原來(lái)提出這一問(wèn)題的領(lǐng)域很難解決，甚至無(wú)法解決，如果把問(wèn)題轉(zhuǎn)化到另一領(lǐng)域中，就可以迎刃而解了.例如，著名的古希臘幾何作圖三大難題，在歐式幾何中長(zhǎng)期未能解決，直到上世紀(jì)，把它轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題后才徹底解決.第3章 轉(zhuǎn)化思想的培養(yǎng) 通過(guò)前兩局部的介紹可以看到轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)解題中有

29、非常重要的作用，而且學(xué)生掌握了轉(zhuǎn)化思想，可以有效地提高思維的靈活性，提高獲取知識(shí)解決問(wèn)題的能力.則，在教學(xué)中如何挖掘與培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想,下面我將結(jié)合自己在實(shí)習(xí)過(guò)程中的數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐來(lái)談?wù)勛约旱囊?jiàn)解.3.1注重知識(shí)之間的聯(lián)系作為一種學(xué)習(xí)策略轉(zhuǎn)化思想方法的掌握與獲取數(shù)學(xué)理論知識(shí)、技能一樣，有一個(gè)感知、領(lǐng)悟、掌握、運(yùn)用的過(guò)程，這個(gè)過(guò)程又是長(zhǎng)期的，逐步積累的. 因此，教師在進(jìn)展教學(xué)的過(guò)程中應(yīng)注意，概念教學(xué)應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生感受形成過(guò)程，了解來(lái)龍去脈,當(dāng)學(xué)生學(xué)習(xí)了一大塊知識(shí)后，要及時(shí)的站在系統(tǒng)的高度給學(xué)生總結(jié)聯(lián)系一下，這樣學(xué)生對(duì)知識(shí)體系才能有整體的概念，對(duì)知識(shí)間的來(lái)龍去脈有之全面的了解，使得學(xué)生腦海中知識(shí)是“成

30、串的，是一個(gè)整體，而不是零散的，胡亂堆砌的.這樣當(dāng)在做題時(shí),任何問(wèn)題，學(xué)生才能更容易更快速地將知識(shí)聯(lián)系起來(lái)，更容易的將解決不遇到了的問(wèn)題進(jìn)展轉(zhuǎn)化， 使問(wèn)題得到很好的解決.下面我將結(jié)合自己在實(shí)習(xí)中的教學(xué)實(shí)踐經(jīng)歷，來(lái)談?wù)勗诮虒W(xué)中如何站在系統(tǒng)的高度講授知識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生多注重知識(shí)之間的聯(lián)系3.1.1案例設(shè)計(jì)課題指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì) 設(shè)計(jì)理念在新的教育理念：倡導(dǎo)積極主動(dòng)、勇于探索的學(xué)習(xí)方式；注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力；開(kāi)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的指導(dǎo)下，因此在高中數(shù)學(xué)情境設(shè)計(jì)中要注重轉(zhuǎn)化思想的培養(yǎng).在本節(jié)課的教學(xué)中要努力到達(dá)的目標(biāo)：在課堂教學(xué)過(guò)師生對(duì)話、生生對(duì)話，并且在對(duì)話以后重視總結(jié)、反思，力圖讓學(xué)生參與到指數(shù)

31、函數(shù)概念形成的過(guò)程中來(lái)，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)指數(shù)函數(shù)概念本質(zhì)的理解.在課堂活動(dòng)過(guò)同伴合作，自主探究讓學(xué)生提出研究指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的方法,以便能將其遷移到其它函數(shù)的研究中,從而培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想與轉(zhuǎn)化意識(shí).教學(xué)過(guò)程 在指數(shù)函數(shù)的定義教學(xué)時(shí)師:我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念、圖像與性質(zhì)，大家都知道函數(shù)可以刻畫兩個(gè)變量之間的關(guān)系你能用函數(shù)的觀點(diǎn)分析下面的例子嗎.師:大家知道細(xì)胞分裂的規(guī)律嗎?出示情境問(wèn)題情境問(wèn)題1*細(xì)胞分裂時(shí)，由一個(gè)分裂成2個(gè)，2個(gè)分裂成4個(gè)，4個(gè)分裂成8個(gè)，如果細(xì)胞分裂次，相應(yīng)的細(xì)胞個(gè)數(shù)為，如何描述這兩個(gè)變量的關(guān)系. 教師引導(dǎo)學(xué)生分析，找到兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系，并得到解析式：.師:這樣的函數(shù)你見(jiàn)過(guò)嗎

32、?是一次函數(shù)嗎?二次函數(shù)?這樣的函數(shù)有什么特點(diǎn)?你能再舉幾個(gè)例子嗎?師生活動(dòng):學(xué)生舉例，比方：教師引導(dǎo)觀察，發(fā)現(xiàn)這類函數(shù)的共同特點(diǎn)是：底數(shù)是常數(shù)，自變量在指數(shù)位置.師:如果可以用字母代替其中的底數(shù)，則上述式子就可以表示成的形式.自變量在指數(shù)位置，所以我們稱它為指數(shù)函數(shù).接下來(lái)教師讓學(xué)生舉出一些符合這個(gè)函數(shù)模型的具體例子，然后討論這些例子是否有意義與存在，從而引發(fā)學(xué)生對(duì)取值圍的討論.師生活動(dòng):讓學(xué)生討論并給出指數(shù)函數(shù)的定義對(duì)于指數(shù)的分類，可將問(wèn)題分解為：假設(shè)會(huì)有什么問(wèn)題?(如，則在實(shí)數(shù)圍相應(yīng)的函數(shù)值不存在假設(shè)會(huì)有什么問(wèn)題?(對(duì)于都無(wú)意義假設(shè)又會(huì)怎么樣?(無(wú)論取何值，它總是1，對(duì)它沒(méi)有研究的必要

33、師:通過(guò)剛剛的討論，我們知道為了防止上述情況的發(fā)生，所以規(guī)定且，最后得出指數(shù)函數(shù)的定義：一般地，函數(shù)稱為指數(shù)函數(shù)它的定義域是.在明確了指數(shù)函數(shù)的定義后，讓學(xué)生舉出一些指數(shù)函數(shù)來(lái)，教師也在黑板上寫出一些解析式讓學(xué)生判斷，如. 在研究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)時(shí)提出兩個(gè)問(wèn)題:I:在學(xué)習(xí)了第一章以后，我們知道要對(duì)一個(gè)函數(shù)進(jìn)展研究應(yīng)研究哪些方面?II:研究函數(shù)(比方今天的指數(shù)函數(shù))可以怎樣研究?用什么方法、從什么角度研究?學(xué)生通過(guò)思考后答出:研究函數(shù)要研究函數(shù)的三要素(對(duì)應(yīng)法則、定義域、值域)及函數(shù)的根本性質(zhì)(單調(diào)性、增減性、奇偶性).研究函數(shù)性質(zhì)時(shí)可以從圖像及解析式這兩個(gè)不同的角度進(jìn)展研究；可以從具體的函數(shù)入手

34、；可以用列表法研究函數(shù).教師對(duì)學(xué)生的答復(fù)做出總結(jié):剛剛大家說(shuō)的方法都可以用來(lái)研究函數(shù)，但是今天我們所學(xué)的函數(shù)用列表法不易得出此函數(shù)的性質(zhì)，可見(jiàn)具體問(wèn)題要選擇具體的問(wèn)題來(lái)研究才能事半功倍！分組合作，合作學(xué)習(xí)師:好，下面我們就從圖像和解析式這兩個(gè)不同的角度對(duì)指數(shù)函數(shù)進(jìn)展研究.a.讓學(xué)生分為兩組，一組從解析式的角度入手(不畫圖)研究指數(shù)函數(shù)，一組從圖像的角度入手研究指數(shù)函數(shù)；b.每一大組再分為假設(shè)干合作小組；c.每組都將研究所得到的的結(jié)論或成果寫出來(lái)以便交流.總結(jié)、交流 師:下面我們開(kāi)一個(gè)成果展示會(huì)! 教師在巡視過(guò)程中應(yīng)關(guān)注各組的研究情況，此時(shí)可選一些有代表性的小組上臺(tái)展示研究成果，并比照從兩個(gè)角度

35、研究的結(jié)果. 教師對(duì)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、得出的結(jié)論進(jìn)展適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)評(píng)或要求學(xué)生分析.師:這里除了研究定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性外，再引導(dǎo)學(xué)生注意是否還有其他性質(zhì)? 學(xué)生通過(guò)思考得出:如過(guò)定點(diǎn)與的圖像關(guān)于軸對(duì)稱.師:從圖像入手我們很容易看出函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性以及過(guò)定點(diǎn)，但定義域、值域卻不確定；從解析式(結(jié)合列表)可以很容易得出函數(shù)的定義域、值域.師生共同總結(jié)指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì).最后對(duì)本節(jié)課進(jìn)展小結(jié).3.1.2案例分析 概念教學(xué)應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生感受形成過(guò)程，了解知識(shí)的來(lái)龍去脈，那種直接拋出定義后輔以“三項(xiàng)注意的做法剝奪了學(xué)生參與概念形成的過(guò)程，只有讓學(xué)生參與到概念形成的過(guò)程中來(lái)，才能加強(qiáng)學(xué)生對(duì)概念本質(zhì)的理解，使

36、學(xué)生遇到問(wèn)題時(shí),會(huì)想它的來(lái)龍去脈,會(huì)讓他們知道該往哪個(gè)方面轉(zhuǎn)化,這使得學(xué)生領(lǐng)悟了轉(zhuǎn)化思想,使得運(yùn)用起來(lái)更得應(yīng)手. 學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念、函數(shù)的表示方法與函數(shù)的一般性質(zhì)，對(duì)函數(shù)有了初步的認(rèn)識(shí)在此認(rèn)知根底上，引導(dǎo)學(xué)生自己提出所要研究的問(wèn)題，尋找研究問(wèn)題的方法. 這樣在對(duì)對(duì)數(shù)、指數(shù)函數(shù)后學(xué)生就會(huì)對(duì)函數(shù)有了較強(qiáng)的整體感，這樣當(dāng)學(xué)到三角函數(shù)時(shí)，學(xué)生就可以很順利的抓住：任意三角函數(shù)的定義可以根據(jù)三角函數(shù)的圖像這條主線來(lái)研究.這樣就使學(xué)生對(duì)知識(shí)有了系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)，為以后轉(zhuǎn)化做好了鋪墊.3.1.3案例教學(xué)實(shí)踐的分析與評(píng)價(jià)在進(jìn)展指數(shù)函數(shù)的定義教學(xué)時(shí)，學(xué)生積極參與到了概念形成的過(guò)程中，明白了知識(shí)的來(lái)龍去脈，教給了

37、學(xué)生學(xué)習(xí)與解決問(wèn)題的方法，在學(xué)習(xí)中要注重知識(shí)之間的聯(lián)系.但在學(xué)生自主研究指數(shù)函數(shù)性質(zhì)這一局部，由于自己太過(guò)著急的讓學(xué)生總結(jié)出指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，沒(méi)有序漸進(jìn)的讓學(xué)生提出并總結(jié)出對(duì)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的研究方法.在以后的教學(xué)中一定要循序漸進(jìn)注重引導(dǎo)，充分發(fā)揮學(xué)生積極主動(dòng)、勇于探索的學(xué)習(xí)方式，從而培養(yǎng)學(xué)生自主轉(zhuǎn)化的意識(shí).3.2注重公式的形式及特點(diǎn)在高中數(shù)學(xué)中，有許多公式，但在實(shí)際解題中，用到的并不是其原公式，是要將根本的公式進(jìn)展轉(zhuǎn)化后才能使用，因此在平常的公式教學(xué)中，我們要引導(dǎo)學(xué)生不但進(jìn)展公式的推導(dǎo)、公式的應(yīng)用、逆用，還要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)展公式的變形的應(yīng)用，特別進(jìn)展公式的構(gòu)造特點(diǎn)的觀察，從而引導(dǎo)學(xué)生注意公式的形式及特

38、點(diǎn)，最后到達(dá)提高其解題時(shí)的轉(zhuǎn)化能力的目的.下面結(jié)合我在實(shí)習(xí)時(shí)的具體教學(xué)經(jīng)歷來(lái)談?wù)勗诠浇虒W(xué)時(shí)如何培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力.3.1.1案例設(shè)計(jì)課題簡(jiǎn)單的三角恒等變換 設(shè)計(jì)理念在新的教育理念：倡導(dǎo)積極主動(dòng)、勇于探索的學(xué)習(xí)方式；注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力；開(kāi)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的指導(dǎo)下，因此在高中數(shù)學(xué)情境設(shè)計(jì)中要注重轉(zhuǎn)化思想的培養(yǎng), 在?簡(jiǎn)單的三角恒等變換?這節(jié)公式課中，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生注重公式的形式及特點(diǎn)、公式的推導(dǎo)，從而培養(yǎng)解題的轉(zhuǎn)化思想.在本節(jié)課的教學(xué)中要努力到達(dá)的目標(biāo):引導(dǎo)了學(xué)生注意觀察公式的形式與特點(diǎn)，從而提高了學(xué)生的公式變化能力，能夠利用換元、逆用公式等方法對(duì)三角函數(shù)進(jìn)展恒等變形.讓學(xué)生能參與到公式

39、的推導(dǎo)過(guò)程中來(lái)，認(rèn)真體會(huì)三角恒等變換的特點(diǎn)，提高學(xué)生的推理、運(yùn)算能力.教學(xué)過(guò)程 .復(fù)習(xí)前兩節(jié)課學(xué)的兩角的和、差、倍角公式接著讓同學(xué)們?cè)囍鴮⒁陨系谒膫€(gè)，第七個(gè)公式進(jìn)展變形，變形以后得到接下來(lái)讓同學(xué)們?cè)囍员硎編煟阂靡粋€(gè)表示另一個(gè)，就要注意觀觀察學(xué)過(guò)的公式里，有哪個(gè)包含有它們兩個(gè)，找出它們之間的關(guān)系式，則根據(jù)方程思想，問(wèn)題差不多就可以得到解決了.教師重點(diǎn)提出：的倍角，是什么關(guān)系.學(xué)生得出：進(jìn)一步引導(dǎo) 學(xué)生從之間的關(guān)系出發(fā)思考的關(guān)系，根據(jù)上節(jié)課學(xué)的倍角公式從而建立這兩個(gè)三角式之間的關(guān)系:從而再次變形得到，通過(guò)這兩個(gè)公式可以得到師生共同對(duì)三角恒等變化的推導(dǎo)過(guò)程進(jìn)展梳理，對(duì)本節(jié)課學(xué)習(xí)的公式進(jìn)展比照，從

40、而加強(qiáng)對(duì)公式的形式及特點(diǎn)的注意.3.1.2案例分析 在熟練掌握了倍角公式的根底上，理解角的倍角、半角間的相對(duì)性，在此過(guò)程中引導(dǎo)了學(xué)生注意觀察公式的形式與特點(diǎn)，從而提高了學(xué)生的公式變化能力，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用方程思想，轉(zhuǎn)化思想，換元思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力.3.1.3案例教學(xué)實(shí)踐的分析與評(píng)價(jià)在推導(dǎo)半角公式時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生觀察余弦的二倍角公式，使學(xué)生掌握了角的倍、半角公式.讓學(xué)生明白對(duì)公式的學(xué)習(xí)與記憶應(yīng)注重觀察公式的構(gòu)造特點(diǎn).但在其公式推導(dǎo)過(guò)程中，換元思想、轉(zhuǎn)化思想沒(méi)有很好的滲透到教學(xué)中，沒(méi)有很好的培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想與能力，在以后的公式教學(xué)中一定要注重引導(dǎo)，讓學(xué)生對(duì)公式的構(gòu)造進(jìn)展觀察，讓學(xué)生自主探索其推導(dǎo)過(guò)程，在其過(guò)程中滲透轉(zhuǎn)化思想.3.3加強(qiáng)轉(zhuǎn)化思想