幾種不同增長(zhǎng)的函數(shù)模型

1、 函數(shù)是描述客觀世界變化的規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模函數(shù)是描述客觀世界變化的規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型，不同的變化規(guī)律需要用不同的函數(shù)模型來(lái)描述。型，不同的變化規(guī)律需要用不同的函數(shù)模型來(lái)描述。例如：澳大利亞的兔子數(shù)例如：澳大利亞的兔子數(shù)“爆炸爆炸”. .澳大利亞兔子澳大利亞兔子 一大群喝水、嬉戲的兔子，多可愛(ài)啊，但是一大群喝水、嬉戲的兔子，多可愛(ài)啊，但是這群兔子曾使澳大利亞傷透了腦筋這群兔子曾使澳大利亞傷透了腦筋18591859年，有年，有人從歐洲帶進(jìn)澳洲幾只兔子，由于澳洲有茂盛的人從歐洲帶進(jìn)澳洲幾只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且沒(méi)有兔子的天敵，兔子數(shù)量不斷增加，牧草，而且沒(méi)有兔子的天敵，兔子數(shù)量不斷增加，不

2、到不到100100年，兔子們占領(lǐng)了整個(gè)澳大利亞，數(shù)量年，兔子們占領(lǐng)了整個(gè)澳大利亞，數(shù)量達(dá)到達(dá)到7575億只可愛(ài)的兔子變得可惡起來(lái)，億只可愛(ài)的兔子變得可惡起來(lái)，7575億只億只兔子吃掉了相當(dāng)于兔子吃掉了相當(dāng)于7575億只羊所吃的牧草，草原的億只羊所吃的牧草，草原的載畜率大大降低，而牛羊是澳大利亞的主要牲載畜率大大降低，而牛羊是澳大利亞的主要牲口這使澳大利亞頭痛不已，他們采用各種方法口這使澳大利亞頭痛不已，他們采用各種方法消滅這些兔子，直至二十世紀(jì)五十年代，科學(xué)消滅這些兔子，直至二十世紀(jì)五十年代，科學(xué)澳大利亞兔子數(shù)澳大利亞兔子數(shù)“爆炸爆炸” ” 家采用毒殺死了百分之九十的野兔，澳大利亞人家采用毒殺

3、死了百分之九十的野兔，澳大利亞人才算松了一口氣才算松了一口氣想一想：想一想：這種現(xiàn)象可以用哪個(gè)函數(shù)模型來(lái)描述呢？這種現(xiàn)象可以用哪個(gè)函數(shù)模型來(lái)描述呢？ 在理想條件（食物或養(yǎng)料充足，空間條件充在理想條件（食物或養(yǎng)料充足，空間條件充裕，氣候適宜，沒(méi)有敵害等）下，種群在一定時(shí)裕，氣候適宜，沒(méi)有敵害等）下，種群在一定時(shí)期內(nèi)的增長(zhǎng)大致符合期內(nèi)的增長(zhǎng)大致符合“J”J”型曲線；型曲線； 在有限環(huán)境（空間有限，食物有限，有捕食在有限環(huán)境（空間有限，食物有限，有捕食者存在等）中，種群增長(zhǎng)到一定程度后不增長(zhǎng)，者存在等）中，種群增長(zhǎng)到一定程度后不增長(zhǎng)，曲線呈曲線呈“S”S”型型 實(shí)際問(wèn)題實(shí)際分析，那么如何選擇恰當(dāng)?shù)暮?/p>

4、實(shí)際問(wèn)題實(shí)際分析，那么如何選擇恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型來(lái)刻畫(huà)呢？數(shù)模型來(lái)刻畫(huà)呢？ 可用指數(shù)函數(shù)描述一個(gè)種群的前期增長(zhǎng)，用對(duì)可用指數(shù)函數(shù)描述一個(gè)種群的前期增長(zhǎng)，用對(duì)數(shù)函數(shù)描述后期增長(zhǎng)的數(shù)函數(shù)描述后期增長(zhǎng)的. .前期前期后期后期3.2.1 幾類不同增長(zhǎng)幾類不同增長(zhǎng) 的函數(shù)模型的函數(shù)模型y=axy=ax+by=lnx 例例1 假設(shè)你有一筆資金用于投資，現(xiàn)有三種投資假設(shè)你有一筆資金用于投資，現(xiàn)有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報(bào)如下：方案供你選擇，這三種方案的回報(bào)如下： 方案一：每天回報(bào)方案一：每天回報(bào)40元元. 方案二：第一天回報(bào)方案二：第一天回報(bào)10元，以后每天比前一元，以后每天比前一 天多回報(bào)天多回報(bào)

5、10元元. 方案三方案三: 第一天回報(bào)第一天回報(bào)0.4元，以后每天的回元，以后每天的回 報(bào)比前一天翻一番報(bào)比前一天翻一番. 請(qǐng)問(wèn)，你會(huì)選擇哪種投資方案？請(qǐng)問(wèn)，你會(huì)選擇哪種投資方案？分析：先建立三種方案所對(duì)應(yīng)的函數(shù)模型，方案：分析：先建立三種方案所對(duì)應(yīng)的函數(shù)模型，方案： 通過(guò)比較它們的增長(zhǎng)情況，為選擇投資方案提供依通過(guò)比較它們的增長(zhǎng)情況，為選擇投資方案提供依據(jù)據(jù).x-1*y = 40(xN ),y = 10 x(xN ),y = 0.42(xN )（1）涉及哪些數(shù)量關(guān)系？）涉及哪些數(shù)量關(guān)系？（2）如何用函數(shù)描述這些數(shù)量關(guān)系？）如何用函數(shù)描述這些數(shù)量關(guān)系？ 探究探究1我們來(lái)計(jì)算三種方案所得回報(bào)的增

6、長(zhǎng)情況：我們來(lái)計(jì)算三種方案所得回報(bào)的增長(zhǎng)情況：x/天天方案一方案一方案二方案二方案三方案三y/元元y/元元y/元元增加量增加量增加量增加量增加量增加量1234040400010203010100.40.81.60.40.8045678304040404040400000040506070803001010101010103.26.412.825.651.2 214748364.81.63.26.412.825.6107374182.4 從表格中獲取信從表格中獲取信息，體會(huì)三種函數(shù)的增息，體會(huì)三種函數(shù)的增長(zhǎng)差異長(zhǎng)差異。下面利用圖象從整體上把握不同函數(shù)模型的增長(zhǎng)：下面利用圖象從整體上把握不同函數(shù)模

7、型的增長(zhǎng)：4080120160y 10 12xoy=40y= 10 x124 . 0 xy 我們看到，底為我們看到，底為2的指數(shù)函的指數(shù)函數(shù)模型比線性函數(shù)模型增長(zhǎng)速度數(shù)模型比線性函數(shù)模型增長(zhǎng)速度要快得多要快得多,從中體會(huì)從中體會(huì)“指數(shù)爆炸指數(shù)爆炸”的含義的含義.下面再看累計(jì)的回報(bào)數(shù)：下面再看累計(jì)的回報(bào)數(shù)： 結(jié)論：結(jié)論：投資投資6天以下，應(yīng)選擇第一種投資方案；天以下，應(yīng)選擇第一種投資方案；投資投資7天，應(yīng)該選擇方案一或方案二；投資天，應(yīng)該選擇方案一或方案二；投資810天，天，應(yīng)選擇第二種投資方案；投資應(yīng)選擇第二種投資方案；投資11天（含天（含11天）以上，天）以上，應(yīng)選擇第三種投資方案應(yīng)選擇第三

8、種投資方案.天天數(shù)數(shù)回報(bào)回報(bào)/元元方案方案一二三401 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1180 120 160 200 240 280 320 360 400 440 10 30 60 100 150 210 280 360 450 550 6600.4 1.2 2.8 6 12.4 25.2 50.8 102 204.4409.2818.8例例2 某公司為了實(shí)現(xiàn)某公司為了實(shí)現(xiàn)1000萬(wàn)元利潤(rùn)的目標(biāo)，準(zhǔn)萬(wàn)元利潤(rùn)的目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個(gè)激勵(lì)銷售部門(mén)的獎(jiǎng)勵(lì)方案：在銷售備制定一個(gè)激勵(lì)銷售部門(mén)的獎(jiǎng)勵(lì)方案：在銷售利潤(rùn)達(dá)到利潤(rùn)達(dá)到10元時(shí)，按銷售利潤(rùn)進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，且獎(jiǎng)元時(shí)，按銷售利潤(rùn)進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，且獎(jiǎng)金金y（

9、單位：萬(wàn)元）隨銷售利潤(rùn)（單位：萬(wàn)元）隨銷售利潤(rùn)x（單位：萬(wàn)元）（單位：萬(wàn)元）的增加而增加，但獎(jiǎng)金總數(shù)不超過(guò)的增加而增加，但獎(jiǎng)金總數(shù)不超過(guò)5萬(wàn)元，同時(shí)萬(wàn)元，同時(shí)獎(jiǎng)金不超過(guò)利潤(rùn)的獎(jiǎng)金不超過(guò)利潤(rùn)的25%?，F(xiàn)有三個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)模型：?，F(xiàn)有三個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)模型：其中哪個(gè)模型能符合公司的要求？其中哪個(gè)模型能符合公司的要求？ x7y = 0.25x,y = log x + 1,y = 1.002 例例2涉及了哪幾類涉及了哪幾類函數(shù)模型？本例的實(shí)質(zhì)函數(shù)模型？本例的實(shí)質(zhì)是什么？是什么？我們不妨先作出函數(shù)圖象：我們不妨先作出函數(shù)圖象：通過(guò)觀察函數(shù)圖象得到通過(guò)觀察函數(shù)圖象得到初步結(jié)論：按對(duì)數(shù)模型初步結(jié)論：按對(duì)數(shù)模型進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)時(shí)符合公

10、司的進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)時(shí)符合公司的要求。要求。400600800 1000 1200200 1 2 3 45678xyo 對(duì)數(shù)增長(zhǎng)對(duì)數(shù)增長(zhǎng)模型比較適合于模型比較適合于描述增長(zhǎng)速度平描述增長(zhǎng)速度平緩的變化規(guī)律。緩的變化規(guī)律。y=5y=0.25x1log7xyxy002. 1xyo我們來(lái)看函數(shù)我們來(lái)看函數(shù) 的圖象的圖象: :7y = log x+1-0.25x問(wèn)題問(wèn)題: :當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), ,獎(jiǎng)金是否不超過(guò)利潤(rùn)的獎(jiǎng)金是否不超過(guò)利潤(rùn)的25%25%呢呢? ?x10,100010 對(duì)數(shù)函數(shù)，指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)在對(duì)數(shù)函數(shù)，指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)在(0,+(0,+) )上都是上都是增函數(shù)，但是它們的增長(zhǎng)是有差異的，這種差異具體增

11、函數(shù)，但是它們的增長(zhǎng)是有差異的，這種差異具體情況是怎么樣的呢？情況是怎么樣的呢？ 在在10，1000上總是上總是小于小于0.7y = log x+1-0.25x綜上所述綜上所述: :模型模型 確實(shí)符合公司要求確實(shí)符合公司要求. .7y = log x+1思考思考4:上述不等式表明，這三個(gè)函數(shù)模型增上述不等式表明，這三個(gè)函數(shù)模型增長(zhǎng)的快慢情況如何？長(zhǎng)的快慢情況如何？xyo11 24y=2xy=x2y=log2x思考思考1:對(duì)任意給定的對(duì)任意給定的a1和和n0，在區(qū)間，在區(qū)間(0,+)上上ax是否恒大于是否恒大于xn? ax是否恒小于是否恒小于xn?思考思考2:一般地，指數(shù)函數(shù)一般地，指數(shù)函數(shù)y=

12、ax (a1)和冪函數(shù)和冪函數(shù)y=xn(n0)在區(qū)間在區(qū)間(0,+)上，其增長(zhǎng)的快慢情況上，其增長(zhǎng)的快慢情況是如何變化的？是如何變化的？探究探究3 一般冪、指、對(duì)函數(shù)模型（一般冪、指、對(duì)函數(shù)模型（y=xn,y=ax ,y= logax ）的差異的差異. 在區(qū)間在區(qū)間(0,+)上，無(wú)論上，無(wú)論n比比a大多少，盡管在大多少，盡管在x的一定變化范圍內(nèi)，的一定變化范圍內(nèi)，ax 會(huì)小于會(huì)小于xn ，但是由于，但是由于ax 的增長(zhǎng)快于的增長(zhǎng)快于xn 的增長(zhǎng)，因此總存在一個(gè)的增長(zhǎng)，因此總存在一個(gè)x0 ，當(dāng)，當(dāng)x x0時(shí)，就會(huì)有時(shí)，就會(huì)有ax xn.思考思考3:對(duì)任意給定的對(duì)任意給定的a1和和n0，在區(qū)間，在

13、區(qū)間 (0,+)上上,logax是否恒大于是否恒大于xn? logax是否恒小于是否恒小于xn?思考思考4:隨著隨著x的增大的增大,logax增長(zhǎng)速度的快慢程度如增長(zhǎng)速度的快慢程度如何變化何變化? xn增長(zhǎng)速度的快慢程度如何變化？增長(zhǎng)速度的快慢程度如何變化？xyo1y=log=logax xy=x=xn 在區(qū)間在區(qū)間(0,+)上，隨著上，隨著x的增大，的增大， logax增長(zhǎng)增長(zhǎng)得越來(lái)越慢，圖像就像是漸漸與得越來(lái)越慢，圖像就像是漸漸與x軸平行了一樣，軸平行了一樣，盡管在盡管在x的一定變化范圍內(nèi)，的一定變化范圍內(nèi)， logax可能會(huì)大于可能會(huì)大于xn ，但由于但由于logax的增長(zhǎng)慢于的增長(zhǎng)慢于

14、xn 的增長(zhǎng)，因此總存在一的增長(zhǎng)，因此總存在一個(gè)個(gè)x0 ，當(dāng)，當(dāng)x x0時(shí)，就會(huì)有時(shí)，就會(huì)有l(wèi)ogax xn思考思考5:對(duì)于指數(shù)函數(shù)對(duì)于指數(shù)函數(shù)y=ax(a1)，對(duì)數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù) y=logax(a1)和冪函數(shù)和冪函數(shù)y=xn(n0)，總存在一個(gè)，總存在一個(gè)x0，使使xx0時(shí)時(shí),ax,logax,xn三者的大小關(guān)系如何？三者的大小關(guān)系如何？logaxxn ax確定函數(shù)模型確定函數(shù)模型利用數(shù)據(jù)表格、函數(shù)利用數(shù)據(jù)表格、函數(shù)體會(huì)直線上升、指數(shù)體會(huì)直線上升、指數(shù)圖象討論模型圖象討論模型爆炸、對(duì)數(shù)增長(zhǎng)等不同類型函數(shù)的含義爆炸、對(duì)數(shù)增長(zhǎng)等不同類型函數(shù)的含義. 1.購(gòu)買收集購(gòu)買收集“全球通全球通”卡，使用

15、需付基本月租卡，使用需付基本月租費(fèi)費(fèi)50元，在市內(nèi)通話時(shí)每分鐘另收話費(fèi)元，在市內(nèi)通話時(shí)每分鐘另收話費(fèi)0.40元（打元（打出和接聽(tīng)的標(biāo)準(zhǔn)相同）；購(gòu)買出和接聽(tīng)的標(biāo)準(zhǔn)相同）；購(gòu)買“神州行神州行”卡，使用卡，使用時(shí)不收基本月租費(fèi)，但在市內(nèi)通話時(shí)每分鐘花費(fèi)為時(shí)不收基本月租費(fèi)，但在市內(nèi)通話時(shí)每分鐘花費(fèi)為0.60元（打出和接聽(tīng)的標(biāo)準(zhǔn)相同）。若某用戶只在元（打出和接聽(tīng)的標(biāo)準(zhǔn)相同）。若某用戶只在市內(nèi)用手機(jī)，并且每月手機(jī)費(fèi)預(yù)算為市內(nèi)用手機(jī)，并且每月手機(jī)費(fèi)預(yù)算為120元，在不元，在不考慮其他因素的情況下，他購(gòu)買這兩種卡中的考慮其他因素的情況下，他購(gòu)買這兩種卡中的更合算更合算.“神州行神州行”卡卡 2.某學(xué)生離家去學(xué)校，為了鍛煉身體，一開(kāi)某學(xué)生離家去學(xué)校，為了鍛煉身體，一開(kāi)始跑步前進(jìn)，跑累了再走余下的路程，下圖中，始跑步前進(jìn)，跑累了再走余下的路程，下圖中，縱軸表示離學(xué)校的距離，橫軸表示出發(fā)后的時(shí)間，縱軸表示離學(xué)校的距離，橫軸表示出發(fā)后的時(shí)間，則下列四個(gè)圖形中較符合該學(xué)生的走法的是則下列四個(gè)圖形中較符合該學(xué)生的走法的是 ( )0td0td0td0