二維正態(tài)分布

1、第節(jié)二維正態(tài)分布第一頁，共9頁。定義定義 若二維隨機向量若二維隨機向量 ( X, Y ) 具有概率密度具有概率密度記作記作. ),(),(22212 1NYX則稱則稱( X,Y)服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的的二維正態(tài)分布二維正態(tài)分布. ,21211| , 0, 021 其中其中均為常數(shù)均為常數(shù), 且且 ,2121),(yxf221121 2222212121212)(2)(2)()1(21e yyxx第二頁，共9頁?？梢宰C明可以證明, 若若),(),(222121 NYX則則, ),(211 NX. ),(222 NY 這就是說這就是說, 二維正態(tài)分布的兩個邊緣分布仍然為正態(tài)二維正態(tài)分布的兩個邊緣

2、分布仍然為正態(tài)分布分布, 而且其邊緣分布不依賴于參數(shù)而且其邊緣分布不依賴于參數(shù) . 因此可以斷定因此可以斷定參數(shù)參數(shù) 描述了描述了X與與Y之間的某種關系之間的某種關系!由聯(lián)合分布可以確定邊緣分布；由聯(lián)合分布可以確定邊緣分布；但由邊緣分布一般不能確定聯(lián)合分布但由邊緣分布一般不能確定聯(lián)合分布. .再次說明聯(lián)合分布和邊緣分布的關系再次說明聯(lián)合分布和邊緣分布的關系:第三頁，共9頁。解解例例1 1 設隨機變量設隨機變量 X 和和Y 的聯(lián)合概率密度為的聯(lián)合概率密度為 8822exp),(22 yyxCyx 試求常數(shù)試求常數(shù)C 和各參數(shù)的值和各參數(shù)的值 ),(yxf221121 2222212121212)

3、(2)(2)()1(21e yyxx;41)2(4121exp),(22 yxCyx ,041, 241, 0222211 ，第四頁，共9頁。解解8822exp),(22 yyxCyx 試求常數(shù)試求常數(shù) C 和各參數(shù)的值和各參數(shù)的值 ;41)2(4121exp),(22 yxCyx ,041, 241, 0222211 ，.2121221 C例例1 1 設隨機變量設隨機變量 X 和和Y 的聯(lián)合概率密度為的聯(lián)合概率密度為 第五頁，共9頁。),(yxf221121 2222212121212)(2)(2)()1(21e yyxx可以證明，可以證明，, ),(),(22212 1NYX若若則其中的參

4、數(shù)則其中的參數(shù) 即為即為X、Y 的相關系數(shù)，證明略的相關系數(shù)，證明略. .若若 = 0，則有，則有)()(212122222121e21),( yxyxf,e21e21222221212)(22)(1 yx第六頁，共9頁。, )()(),(yfxfyxfYX 前面說明前面說明, 若若),(),(222121 NYX則則, ),(211 NX. ),(222 NY所以所以 = 0時，有時，有即若即若 X 與與 Y 不相關性不相關性，則，則 X 與與 Y 必獨立必獨立. . 所以所以在在正態(tài)分布正態(tài)分布的場合的場合, ,獨立性與不相關性是獨立性與不相關性是等價等價的的. . 222221212)(22)(1e21e21),( yxyxf第七頁，共9頁。),4 , 0()3 , 1(22NNYX和和分分別別服服從從正正態(tài)態(tài)分分布布與與已已知知相相互互獨獨立立，與與，知知由由YXXY0 例例2 2解解.),(,0的的聯(lián)聯(lián)合合密密度度求求若若YXXY )()(),(yfxfyxfYX 的的聯(lián)聯(lián)合合密密度度為為所所以以),(YX22224232)1(e241e231 yx .e2413218)1(22yx 第八頁，共9頁。例例3 3解解由題意知由題意知, ,所以所以( (X, ,Y ) )的協(xié)方差矩陣為的協(xié)方差