第九節(jié)在極坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第九節(jié) 在極坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算根據(jù)微元法可得到極坐標(biāo)系下的面積微元 注意到直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為 從而就得到在直角坐標(biāo)系與極坐標(biāo)系下二重積分轉(zhuǎn)換公式為 (9.1)分布圖示 利用極坐標(biāo)系計(jì)算二重積分 二重積分化為二次積分 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 內(nèi)容小結(jié) 課堂練習(xí) 習(xí)題6-9內(nèi)容提要： 一、二重積分的計(jì)算 1如果積分區(qū)域介于兩條射線之間，而對(duì)內(nèi)任一點(diǎn)，其極徑總是介于曲線之間（圖6-9-2），則區(qū)域的積分限于是(9.2) 具體計(jì)算時(shí)，內(nèi)層積分的上、下限可按如下方式確定：從極點(diǎn)出發(fā)在區(qū)間上任意作一條極角為的射線穿透區(qū)域（圖6-9-2），

2、則進(jìn)入點(diǎn)與穿出點(diǎn)的極徑就分別為內(nèi)層積分的下限與上限.2如果積分區(qū)域是如圖6-9-3所示的曲邊扇形，則可以把它看作是第一種情形中當(dāng)?shù)奶乩藭r(shí)，區(qū)域的積分限于是 (9.3)3如果積分區(qū)域如圖6-9-4所示，極點(diǎn)位于的內(nèi)部，則可以把它看作是第二種情形中當(dāng)?shù)奶乩?，此時(shí)，區(qū)域的積分限于是(9.4) 注：根據(jù)二重積分的性質(zhì)3，閉區(qū)域的面積在極坐標(biāo)系下可表示為 (9.5)如果區(qū)域如圖6-9-3所示，則有 (9.6)例題選講： 例1（E01）計(jì)算，其中D是由所確定的圓域.解 如圖，區(qū)域在極坐標(biāo)下可表示為故例2（E02） 計(jì)算, 其中積分區(qū)域是由所確定的圓環(huán)域.解 由對(duì)稱性，可只考慮第一象限部分,注意到被積函

3、數(shù)也有對(duì)稱性,則有例3（E03）計(jì)算, 其中D是由曲線所圍成的平面區(qū)域.解 積分區(qū)域是以點(diǎn)(1,0)為圓心，以1為半徑的圓域，如圖.其邊界曲線的極坐標(biāo)方程為 于是區(qū)域的積分限為 所以 例4寫出在極坐標(biāo)系下二重積分的二次積分，其中區(qū)域解 利用極坐標(biāo)變換易見直線方程的極坐標(biāo)形式為故積分區(qū)域的積分限為所以例5 計(jì)算,其中為由圓及直線, 所圍成的平面閉區(qū)域.解 所以 例6 將二重積分化為極坐標(biāo)形式的二次積分,其中是曲線 及直線所圍成上半平面的區(qū)域.解 如圖，令則的邊界的極坐標(biāo)方程分別變?yōu)榧袄?（E04）求曲線和所圍成區(qū)域的面積.解 根據(jù)對(duì)稱性有在極坐標(biāo)系下 由 得交點(diǎn) 故所求面積例8求球體被圓柱面所截得的(含在圓柱面內(nèi)的部分)立體的體積（圖6-9-9）.解 如圖，由對(duì)稱性，有其中為半圓周及軸所圍成的閉區(qū)域.在極坐標(biāo)中，積分區(qū)域課堂練