中考總復(fù)習(xí)：圓綜合復(fù)習(xí)--知識講解(基礎(chǔ))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上中考總復(fù)習(xí)：圓綜合復(fù)習(xí)知識講解（基礎(chǔ)）撰稿：張曉新 審稿：杜少波【考綱要求】1.圓的基本性質(zhì)和位置關(guān)系是中考考查的重點，但圓中復(fù)雜證明及兩圓位置關(guān)系中證明定會有下降趨勢，不會有太復(fù)雜的大題出現(xiàn)；2.今后的中考試題中將更側(cè)重于具體問題中考查圓的定義及點與圓的位置關(guān)系，對應(yīng)用、創(chuàng)新、開放探究型題目，會根據(jù)當(dāng)前的政治形勢、新聞背景和實際生活去命題，進(jìn)一步體現(xiàn)數(shù)學(xué)來源于生活，又應(yīng)用于生活【知識網(wǎng)絡(luò)】【考點梳理】考點一、圓的有關(guān)概念1. 圓的定義如圖所示，有兩種定義方式：在一個平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點A隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圖形叫做圓固定的端點O叫做圓

2、心，以O(shè)為圓心的圓記作O，線段OA叫做半徑；圓是到定點的距離等于定長的點的集合要點詮釋：圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小2.與圓有關(guān)的概念 弦：連接圓上任意兩點的線段叫做弦；如上圖所示線段AB，BC，AC都是弦 直徑：經(jīng)過圓心的弦叫做直徑，如AC是O的直徑，直徑是圓中最長的弦?。簣A上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧，如曲線BC、BAC都是O中的弧，分別記作， 半圓：圓中任意一條直徑的兩個端點分圓成兩條弧，每一條弧都叫做半圓，如是半圓 劣?。合襁@樣小于半圓周的圓弧叫做劣弧 優(yōu)?。合襁@樣大于半圓周的圓弧叫做優(yōu)弧 同心圓：圓心相同，半徑不相等的圓叫做同心圓 弓形：由弦及其所對的弧組成的圖形叫做弓形

3、 等圓：能夠重合的兩個圓叫做等圓 等?。涸谕瑘A或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧 圓心角：頂點在圓心的角叫做圓心角，如上圖中AOB，BOC是圓心角 圓周角：頂點在圓上，兩邊都和圓相交的角叫做圓周角，如上圖中BAC、ACB都是圓周角考點二、圓的有關(guān)性質(zhì)1.圓的對稱性 圓是軸對稱圖形，經(jīng)過圓心的直線都是它的對稱軸，有無數(shù)條圓是中心對稱圖形，圓心是對稱中心，又是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，即旋轉(zhuǎn)任意角度和自身重合2.垂徑定理 垂直于弦的直徑平分這條弦，且平分弦所對的兩條弧平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧如圖所示： 要點詮釋：在圖中(1)直徑CD，(2)CDAB，(3)AMMB，(4)，(5

4、)若上述5個條件有2個成立，則另外3個也成立因此，垂徑定理也稱“五二三定理”即知二推三 注意：(1)(3)作條件時，應(yīng)限制AB不能為直徑3.弧、弦、圓心角之間的關(guān)系 在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等； 在同圓或等圓中，兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，它們所對應(yīng)的其余各組量也相等4.圓周角定理及推論 圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半 圓周角定理的推論：半圓(或直徑)所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑要點詮釋：圓周角性質(zhì)的前提是在同圓或等圓中考點三、與圓有關(guān)的位置關(guān)系1.點與圓的位置關(guān)系

5、如圖所示d表示點到圓心的距離，r為圓的半徑點和圓的位置關(guān)系如下表：點與圓的位置關(guān)系d與r的大小關(guān)系點在圓內(nèi)dr點在圓上dr點在圓外dr 要點詮釋：(1)圓的確定：過一點的圓有無數(shù)個，如圖所示過兩點A、B的圓有無數(shù)個，如圖所示經(jīng)過在同一直線上的三點不能作圓不在同一直線上的三點確定一個圓如圖所示 (2)三角形的外接圓經(jīng)過三角形三個頂點可以畫一個圓，并且只能畫一個經(jīng)過三角形三個頂點的圓叫做三角形的外接圓三角形外接圓的圓心叫做這個三角形的外心這個三角形叫做這個圓的內(nèi)接三角形三角形的外心就是三角形三條邊的垂直平分線交點它到三角形各頂點的距離相等，都等于三角形外接圓的半徑如圖所示2.直線與圓的位置關(guān)系設(shè)r

6、為圓的半徑，d為圓心到直線的距離，直線與圓的位置關(guān)系如下表 圓的切線 切線的定義：和圓有唯一公共點的直線叫做圓的切線這個公共點叫切點 切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線友情提示：直線l是O的切線，必須符合兩個條件：直線l經(jīng)過O上的一點A；OAl切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑 切線長定義：我們把圓的切線上某一點與切點之間的線段的長叫做這點到圓的切線長 切線長定理：從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分這兩條切線的夾角 三角形的內(nèi)切圓：與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓，三角形內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個三角形叫做

7、圓的外切三角形，三角形的內(nèi)心就是三角形三個內(nèi)角平分線的交點要點詮釋：找三角形內(nèi)心時，只需要畫出兩內(nèi)角平分線的交點三角形外心、內(nèi)心有關(guān)知識比較3.圓與圓的位置關(guān)系在同一平面內(nèi)兩圓作相對運動，可以得到下面5種位置關(guān)系，其中R、r為兩圓半徑(Rr)d為圓心距要點詮釋：相切包括內(nèi)切和外切，相離包括外離和內(nèi)舍其中相切和相交是重點 同心圓是內(nèi)含的特殊情況 圓與圓的位置關(guān)系可以從兩個圓的相對運動來理解 “r1r2”時，要特別注意，r1r2考點四、正多邊形和圓1.正多邊形的有關(guān)概念 正多邊形的外接圓(或內(nèi)切圓)的圓心叫正多邊形的中心外接圓的半徑叫正多邊形的半徑，內(nèi)切圓的半徑叫正多邊形的邊心距，正多邊形各邊所對

8、的外接圓的圓心角都相等，這個角叫正多邊形的中心角，正多邊形的每一個中心角都等于要點詮釋：通過中心角的度數(shù)將圓等分，進(jìn)而畫出內(nèi)接正多邊形，正六邊形邊長等于半徑2.正多邊形的性質(zhì) 任何一個正多邊形都有一個外接圓和一個內(nèi)切圓，這兩圓是同心圓正多邊形都是軸對稱圖形，偶數(shù)條邊的正多邊形也是中心對稱圖形，同邊數(shù)的兩個正多邊形相似，其周長之比等于它們的邊長(半徑或邊心距)之比3.正多邊形的有關(guān)計算 定理：正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n個全等的直角三角形正n邊形的邊長a、邊心距r、周長P和面積S的計算歸結(jié)為直角三角形的計算，考點五、圓中的計算問題 1.弧長公式：，其中為n°的圓心角所對弧的

9、長，R為圓的半徑2.扇形面積公式：，其中圓心角所對的扇形的面積，另外3.圓錐的側(cè)面積和全面積： 圓錐的側(cè)面展開圖是扇形，這個扇形的半徑等于圓錐的母線長，弧長等于圓錐底面圓的周長 圓錐的全面積是它的側(cè)面積與它的底面積的和要點詮釋：在計算圓錐的側(cè)面積時要注意各元素之間的對應(yīng)關(guān)系，千萬不要錯把圓錐底面圓半徑當(dāng)成扇形半徑考點六、求陰影面積的幾種常用方法 (1)公式法；(2)割補法；(3)拼湊法；(4)等積變形法；(5)構(gòu)造方程法【典型例題】類型一、圓的有關(guān)概念及性質(zhì)1 如圖所示，O中，弦AB的長為6 cm，圓心O到AB的距離為4 cm，則O的半徑的長為( ) A3 cm B4 cm C5 cm D6

10、cm【思路點撥】有弦、弦心距連半徑【答案】C；【解析】如圖所示，作OCAB于點C，連接OA，構(gòu)造RtAOC，由垂徑定理知，因為OC4 cm，所以O(shè)A5cm 答案：C. 【總結(jié)升華】有弦、弦心距，則應(yīng)連接半徑，構(gòu)造基本的直角三角形是垂徑定理應(yīng)用的主要方法 舉一反三：【變式】如圖，O的直徑CD=5cm，AB是O的弦，ABCD，垂足為M，OM：OD=3：5則AB的長是（） A、2cmB、3cmC、4cmD、2cm【答案】 解：連接OA，CD是O的直徑，AB是O的弦，ABCD，AB=2AM，CD=5cm，OD=OA=CD=×5=cm，OM：OD=3：5，OM=OD=×=，在RtAO

11、M中，AM =2，AB=2AM=2×2=4cm故選C類型二、與圓有關(guān)的位置關(guān)系2如圖所示，已知AB為O的直徑，直線BC與O相切于點B，過A作ADOC交O于點D，連接CD (1)求證：CD是O的切線； (2)若AD2，直徑AB6，求線段BC的長【思路點撥】要證明DC是O的切線，因為點D在O上，所以連接交點與圓心證垂直即可【答案與解析】(1)證明：如圖(2)，連接OD ADOC， 13，2A， OAOD， 3A， 12 ODOB，OCOC CODCOB， CDOCBO90°， CD是O的切線 (2)解：連接BD， AB是O的直徑， ADB90°在DAB和BOC中， A

12、DBOBC，A2， DABBOC， ， 在RtDAB中，由勾股定理得 【總結(jié)升華】如果已知直線經(jīng)過圓上一點，那么連半徑，證垂直；如果已知直線與圓是否有公共點在條件中并沒有給出，那么作垂直，證半徑舉一反三：【變式】如圖所示，已知CD是ABC中AB邊上的高，以CD為直徑的O分別交CA、CB于點E、F，點G是AD的中點求證：GE是O的切線【答案與解析】證法1：連接OE、DE(如圖(1) CD是O的直徑， AEDCED90° G是AD的中點， EGADDG 12 OEOD， 34 1+32+4，即OEGDDG90° GE是O的切線證法2：連接OE、ED(如圖(2)在ADC中，ADC

13、90°， A+ACD90°又 CD是O的直徑， AEDCED90°在AED中，AED90°，G是AD中點， AGGEDG， AAEG又 OEOC， OECACD又 A+ACD90°， AEG+OEC90° OEG90°， OEEG GE是O的切線類型三、與圓有關(guān)的計算3在一節(jié)數(shù)學(xué)實踐活動課上，老師拿出三個邊長都為5cm的正方形硬紙板，他向同學(xué)們提出了這樣一個問題：若將三個正方形紙板不重疊地放在桌面上，用一個圓形硬紙板將其蓋住，這樣的圓形硬紙板的最小直徑應(yīng)有多大？問題提出后，同學(xué)們經(jīng)過討論，大家覺得本題實際上就是求將三個正方形

14、硬紙板無重疊地適當(dāng)放置，圓形硬紙板能蓋住時的最小直徑老師將同學(xué)們討論過程中探索出的三種不同擺放類型的圖形畫在黑板上，如下圖所示：（1）通過計算（結(jié)果保留根號與）（）圖能蓋住三個正方形所需的圓形硬紙板最小直徑應(yīng)為 cm；（）圖能蓋住三個正方形所需的圓形硬紙板最小直徑為 cm；（）圖能蓋住三個正方形所需的圓形硬紙板最小直徑為 cm；（2）其實上面三種放置方法所需的圓形硬紙板的直徑都不是最小的，請你畫出用圓形硬紙板蓋住三個正方形時直徑最小的放置方法，（只要畫出示意圖，不要求說明理由），并求出此時圓形硬紙板的直徑 【思路點撥】（1）（）連接正方形的對角線BD，利用勾股定理求出BD的長即可；（）利用勾股

15、定理求出小正方形對角線的長即可；（）找出過A、B、C三點的圓的圓心及半徑，利用勾股定理求解即可；（2）連接OB，ON，延長OH交AB于點P，則OPAB，P為AB中點，設(shè)OG=x，則OP=10-x，再根據(jù)勾股定理解答【答案與解析】解：（1）（）如圖連接BD， AD=3×5=15cm，AB=5cm， BD=cm； （）如圖所示， 三個正方形的邊長均為5， A、B、C三點在以O(shè)為圓心，以O(shè)A為半徑的圓上， OA=5cm， 能蓋住三個正方形所需的圓形硬紙板最小直徑為10cm；（）如圖所示，連接OA，OB， CEAB，AC=BC， CE是過A、B、C三點的圓的直徑， OA=OB=OD， O為圓

16、心， O的半徑為OA，OA=5cm， 能蓋住三個正方形所需的圓形硬紙板最小直徑為5×2=10cm；（2）如圖為蓋住三個正方形時直徑最小的放置方法， 連接OB，ON，延長OH交AB于點P，則OPAB，P為AB中點，設(shè)OG=x，則OP=10-x，則有：， 解得：，則ON=，直徑為 【總結(jié)升華】此題比較復(fù)雜，解答此題的關(guān)鍵是找出以各邊頂點為頂點的圓的圓心及半徑，再根據(jù)勾股定理解答舉一反三：【變式】如圖，圖1、圖2、圖3、圖n分別是O的內(nèi)接正三角形ABC，正四邊形ABCD、正五邊形ABCDE、正n邊形ABCD，點M、N分別從點B、C開始以相同的速度在O上逆時針運動（1）求圖1中APN的度數(shù)是

17、 ；圖2中，APN的度數(shù)是 ，圖3中APN的度數(shù)是 （2）試探索APN的度數(shù)與正多邊形邊數(shù)n的關(guān)系（直接寫答案） 【答案】解：（1）圖1：點M、N分別從點B、C開始以相同的速度在O上逆時針運動，BAM=CBN，又APN=BPM，APN=BPM=ABN+BAM=ABN+CBN=ABC=60°；同理可得：圖2中，APN=90°；圖3中APN=108°（2）由（1）可知，APN=所在多邊形的內(nèi)角度數(shù)，故在圖n中，4如圖所示，半圓的直徑AB10，P為AB上一點，點C，D為半圓的三等分點，則陰影部分的面積等于_ 【思路點撥】觀察圖形，可以適當(dāng)進(jìn)行“割”與“補”，使陰影面積轉(zhuǎn)

18、化為扇形面積.【答案】；【解析】連接OC、OD、CD C、D為半圓的三等分點， AOCCODDOB 又 OCOD， OCDODC60°， DCAB， ， 答案：【總結(jié)升華】用等面積替換法將不規(guī)則的圖形轉(zhuǎn)化為簡單的規(guī)則圖形是解本類題的技巧類型四、與圓有關(guān)的綜合應(yīng)用5如圖所示，已知AB是O的直徑，點C、D在O上，且AB5，BC3(1)求sinBAC的值； (2)如果OEAC，垂足為E，求OE的長；(3)求tanADC的值(結(jié)果保留根號)【思路點撥】(1)在RtABC中，sinBAC； (2)用三角形中位線定理求解； (3)tanADCtanABC，在RtABC中可求解【答案與解析】(1)

19、 AB是O直徑， ACB90° sinBAC (2) OEAC，O是O的圓心， E是AC中點， OEBC (3) AC， tanADCtanABC【總結(jié)升華】從圓的知識中我們也能體會到三角形、四邊形、圖形的相似、圖形的變換的完美結(jié)合在學(xué)習(xí)過程中，要多動手、多動腦、多觀察，充分體驗探索的過程.舉一反三：【高清課堂：圓的綜合復(fù)習(xí) 例2】【變式】已知：如圖，O是RtABC的外接圓，AB為直徑，ABC=30°，CD是O的切線，EDAB于F(1)判斷DCE的形狀并說明理由；(2)設(shè)O的半徑為1，且，求證DCEOCB 【答案】(1)解：ABC=30°，BAC=60°

20、又OA=OC,AOC是正三角形又CD是切線，OCD=90°，DCE=180°-60°-90°=30°而EDAB于F，CED=90°-BAC=30°故CDE為等腰三角形 (2)證明：在ABC中，AB=2，AC=AO=1，BC=OF=,AF=AO+OF=又AEF=30°,AE=2AF=+1CE=AE-AC=BC而OCB=ACB-ACO=90°-60°=30°=ABC,故CDECOB. 6如圖，已知O的直徑AB2，直線m與 O相切于點A，P為 O上一動點（與點A、點B不重合），PO的延長線與 O相