第一章晶體結(jié)構(gòu)總結(jié)

1、第二章 晶體學(xué)基礎(chǔ)1、晶體結(jié)構(gòu)與空間點(diǎn)陣2、晶向、晶面及指標(biāo)3、晶面間距4、晶面族5、倒易點(diǎn)陣燕山大學(xué)材料科學(xué)與材料現(xiàn)代分析測試方法課程教學(xué)團(tuán)隊(duì)王利民教授/博導(dǎo)教學(xué)目標(biāo)通過本章學(xué)習(xí)，掌握表達(dá)晶體周期性結(jié)構(gòu)與它的點(diǎn)陣的各種概念；掌握晶面指數(shù)與晶向指數(shù)的標(biāo)定，晶面間距 與晶面夾角的表達(dá)；倒易點(diǎn)陣。學(xué)習(xí)要點(diǎn)(4)晶體結(jié)構(gòu)周期性與點(diǎn)陣。7個(gè)晶系和14種Bravias空間格子。晶胞，晶帶，晶向，晶面，晶面間距，晶面夾角。倒易點(diǎn)陣學(xué)時(shí)安排學(xué)時(shí)-2學(xué)時(shí)2.1 、晶體結(jié)構(gòu)與空間點(diǎn)陣2.1.1 空間點(diǎn)陣（Space Lattice）晶體結(jié)構(gòu)的幾何特征是其結(jié)構(gòu)基元（原子、離子、或其它原子）一定周期性的排列。通常將

2、結(jié)構(gòu)基元看成一個(gè)相應(yīng)的幾何點(diǎn)，而不考慮實(shí)際物質(zhì)內(nèi)容。這樣就可以將晶體結(jié)構(gòu)抽象成一組無限多個(gè)作周期性排列的幾何點(diǎn)。這種從晶體結(jié) 構(gòu)抽象出來的，描述結(jié)構(gòu)基元空間分布周期性的幾何點(diǎn)，稱為晶體的空間點(diǎn)陣。幾何點(diǎn)為陣點(diǎn)。結(jié)構(gòu)基元在晶體的點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)中每個(gè)陣點(diǎn)所代表的具體內(nèi)容，包括原子或的種類和數(shù)量及其在空間按一定方式排列的結(jié)構(gòu)，稱為晶體的結(jié)構(gòu)基元。結(jié)構(gòu)基元是指重復(fù)周期中的具體內(nèi)容。點(diǎn)陣點(diǎn)點(diǎn)陣點(diǎn)是代表結(jié)構(gòu)基元在空間重復(fù)排列方式的抽象的點(diǎn)。如果在晶體點(diǎn)陣中各點(diǎn)陣點(diǎn)位置上，按同一 種方式安置結(jié)構(gòu)基元，就得整個(gè)晶體的結(jié)構(gòu)。所以可簡單地將晶體結(jié)構(gòu)示意表示為：晶體結(jié)構(gòu)=點(diǎn)陣+結(jié)構(gòu)基元2.1.2 基本矢量與晶胞一個(gè)結(jié)點(diǎn)在

3、空間三個(gè)方向上，以a, b, c重復(fù)出現(xiàn)即可建立空間點(diǎn)陣。重復(fù)周期的矢量a, b, c稱為點(diǎn)陣的基本矢量。由基本矢量的平行六面體稱為點(diǎn)陣的晶胞。布拉菲晶胞同一個(gè)點(diǎn)陣可以由不同的平行六面體晶胞疊成。即可以任意選擇不同的坐標(biāo)系與基本矢量來表示。為了表達(dá)最簡單，應(yīng)該選擇最理想、最適當(dāng)?shù)幕臼噶孔鳛樽鴺?biāo)系統(tǒng)。即是以結(jié)點(diǎn)作為坐標(biāo)原點(diǎn)，（1）選取基本矢量長度相等的數(shù)目最多、（2）其夾角為直角的數(shù)目最多，且（3）晶胞體積最小。這樣的基本矢量晶胞稱為布拉菲（BRAVAIS）晶胞。的每一個(gè)點(diǎn)陣只有一個(gè)最理想的晶胞即布拉菲晶胞。2.1.3 布拉菲點(diǎn)陣法國晶體學(xué)家A. Bravais研究表明，按照上述三原則選取的晶

4、胞只有14種，稱為14種布拉菲點(diǎn)陣。14種布拉菲點(diǎn)陣分屬7個(gè)晶系中。14種空間點(diǎn)陣形式u 按晶胞中陣點(diǎn)位置的不同可將14種布拉菲點(diǎn)陣分為四類： 簡單(P) 體心(I) 面心(F) 底心(C)陣點(diǎn)坐標(biāo)的表示方法：以晶胞的任意頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以與原點(diǎn)相交的 三個(gè)棱邊為坐標(biāo)軸，分別用點(diǎn)陣周期（a, b, c）為度量。晶胞中的原子計(jì)數(shù)在晶胞不同位置的原子由不同數(shù)目的晶胞：頂角原子： 1/8棱上原子：1/4面上原子：1/2 晶胞內(nèi)部： 1 簡單點(diǎn)陣 （P）只在晶胞的頂點(diǎn)上有陣點(diǎn)， 每個(gè)晶胞只有一個(gè)陣點(diǎn)，陣點(diǎn)坐標(biāo)為000 體心點(diǎn)陣，I除8個(gè)頂點(diǎn)外，體心上還有一個(gè)陣點(diǎn)， 因此，每個(gè)陣胞含有兩個(gè)陣點(diǎn)，000，

5、1/2 1/2 1/2 面心點(diǎn)陣。F除8個(gè)頂點(diǎn)外，每個(gè)面心上有一個(gè)陣點(diǎn)，每個(gè)陣胞上有4個(gè)陣點(diǎn)，其坐標(biāo)分別為000，1/2 1/21/2 0 1/2， 0 1/2 1/20， 底心點(diǎn)陣，C除八個(gè)頂點(diǎn)上有陣點(diǎn)外，兩個(gè)相對的面心上有陣點(diǎn)，面心上的陣點(diǎn)為兩個(gè)相鄰的平行六面體所共有。因此，每個(gè)陣胞占有兩個(gè)陣點(diǎn)。陣點(diǎn)坐標(biāo)為000，1/2 1/202.1.4點(diǎn)陣常數(shù)平行六面體的三個(gè)棱長a、b、c和及其夾角、，可決定平行六面體形狀，這六個(gè)量亦稱為點(diǎn)陣常數(shù)。和按點(diǎn)陣參數(shù)可將晶體點(diǎn)陣分為七個(gè)晶系。七個(gè)晶系及有關(guān)特征晶系邊長夾角晶體實(shí)例立方a=b=c=90°Cu , NaCl四方a=bc=90°

6、Sn , SnO2正交abc=90°I2 , HgCl2a=b=c=90°Bi , Al2O3a=bc=90°=120°六方a=bc=90°=120°Mg , AgI單斜abc=90°=120°S , KClO3三斜abc90°CuSO4·5H 2O七個(gè)晶系及有關(guān)特征a=bc晶系特征對稱元素晶胞特點(diǎn)空間點(diǎn)陣型式立方晶系4個(gè)按立方體對角線取向的3重旋轉(zhuǎn)軸a=b=c =90°簡單立方立方體心立方面心六方晶系6重對稱軸=90°,=簡單六方四方晶系4重對稱軸120°a=bc

7、=90°簡單四方體心四方晶系3重對稱軸a=b=c=90°簡單六方R心六方正交晶系2個(gè)互相垂直的對稱面或3個(gè)互相垂直的2重對稱軸abc =90°簡單正交C心正交體心正交面心正交單斜晶系2重對稱軸或?qū)ΨQ面abc=90°簡單單斜C心單斜三斜晶系無abcabc90°簡單單斜2.2、晶向、晶面及晶向、晶面指標(biāo)晶體學(xué)中陣點(diǎn)平面與陣點(diǎn)直線的空間取向分別用晶面指數(shù)與晶向指數(shù)來表示。2.2.1 晶向與晶向指標(biāo)任意兩結(jié)點(diǎn)的結(jié)點(diǎn)列稱為晶向。與此晶向相對應(yīng)，一定有一組相互平行而且具有同一重復(fù)周期的結(jié)點(diǎn)列。晶向的表示方法：取其中通過原點(diǎn)的一根結(jié)點(diǎn)列，求該列最近原點(diǎn)的結(jié)點(diǎn)

8、的 指數(shù)，u, v, w, 并用方括號標(biāo)記uvw?；蛘撸海?）在一族相互平行的陣點(diǎn)直線中引出過坐標(biāo)原點(diǎn)的陣點(diǎn)直線。（2） 在該直線上任取一點(diǎn)，量出坐標(biāo)，并用點(diǎn)陣周期a, b, c表示。（3） 將三個(gè)坐標(biāo)值用同一個(gè)數(shù)乘或除，劃歸互質(zhì)整數(shù)，并加方括號。晶向指數(shù)的確定1.建立坐標(biāo)系，結(jié)點(diǎn)為原點(diǎn)，三棱為方向，點(diǎn)陣常數(shù)為在晶向上任兩點(diǎn)的坐標(biāo)；2.(x1,y1,z1)(x2,y2,z2)。(若平移晶向或坐標(biāo)，讓在第一點(diǎn)在原點(diǎn)則下一步更簡單)；3.計(jì)算x2-x1：y2-y1：z2-z1；4.5.化成最小、整數(shù)比u：v：w；放在方括號uvw中，不加逗號，負(fù)號記在上方 。紅線由兩個(gè)結(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)之差確定2.2.2晶

9、面及晶面指標(biāo)在點(diǎn)陣中由結(jié)點(diǎn)的平面稱為晶面?？臻g點(diǎn)陣劃分為平面點(diǎn)陣的方式是多種多樣的. 不同的劃法劃出的晶面(點(diǎn)陣面)的陣點(diǎn)密度是不相同的. 意味著不同面上的作用力不相同. 所以給不同面以相應(yīng)的指標(biāo)(hkl)。國際上通用的是密勒（Miller）指數(shù)，即用三個(gè)數(shù)字來表示晶面指數(shù)。標(biāo)定方法：(1) 在一組相互平行的晶面中任選一個(gè)晶面，量出它在三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距，并用點(diǎn)陣周期a，b，c來度量。假設(shè)截距為r，s，t。(2) 取截距的倒數(shù) 1/r，1/s，1/t。(3) 將這些倒數(shù)乘以分母的最小公倍數(shù)，把他們化為三個(gè)簡單整數(shù)h，k，l， ，并用圓括號括起來。使hkl = 1/r1/s1/t。則(h k l

10、)就是待標(biāo)晶面的晶面指數(shù)。習(xí)題z（1）截距r、s、t分別為3，3，5（2）1/r : 1/s : 1/t = 1/3 : 1/3 : 1/5（3）最小公倍數(shù)15，（4）于是，1/r，1/s，1/t分別乘15得到5，5，3，cbya因此，晶面指標(biāo)為（553）。x我們說（553）晶面，實(shí)際是指一組平行的晶面。晶面指數(shù)特征：1，所有相互平行的晶面，其晶面指數(shù)相同，或者三個(gè)符號均相反?？梢?，晶面指數(shù)所代表的不僅是某一晶面，而且代表著一組相互平行的晶面。2，晶面指數(shù)中h、k、l是互質(zhì)的整數(shù)。3，最靠近原點(diǎn)的晶面與X、Y、Z坐標(biāo)軸的截距為a/h、b/k、c/l。即與原點(diǎn)位置無關(guān)；每一指數(shù)對應(yīng)一組平行的晶面

11、。立方晶系幾組晶面及其晶面指標(biāo)。（100）晶面表示晶面與a軸相截與b軸、c軸平行；（110）晶面表示與a和b軸相截，與c軸平行；（111）晶面則與a、b、c軸相截，截距之比為1:1:1 (100) (110) (111) 在點(diǎn)陣中的取向思考題晶體的晶面指數(shù)的個(gè)數(shù)有上限嗎？例如（111，100，1）這樣的晶面有嗎？理論上講，晶面指數(shù)的個(gè)數(shù)是無限的，只要能找到復(fù)雜的晶胞。但對實(shí)際的一個(gè)晶體，晶面的數(shù)目是一定的。六方晶系的晶面和晶向指數(shù)表示方法與其它晶系不同。六方體系的晶面指數(shù)如果取a1、a2、和c為晶軸，按上述三軸定向的方法確定面指數(shù)，六個(gè)柱面的面指數(shù)為：（100）、（010）、（1(-)10）、

12、（1(-)00）、（01(-)0）、（11(-)0）。但是，這種方法所確定的晶面指數(shù)不能顯示出六次對稱及等同面的特征。因此，對六方晶系往往采用四軸定向方法，稱為密勒-布拉菲指數(shù)。選取四個(gè)坐標(biāo)軸，其中a1、a2、a3在同一水平面上，之間的夾角為120°，c軸與這個(gè)平面垂直。這樣求出的晶面指數(shù)由四個(gè)數(shù)字組成，用（hkil）表示。其中前三個(gè)數(shù)字存在如下關(guān)系：h+k=-i用四軸定向方法求出的六個(gè)柱面的晶 面指數(shù)為：（101(-)0）、（011(-)0）、（1(-)100）、（1(-)010）、（01(-)10）、（11(-)00）。這樣的晶面指數(shù)可以明顯地顯示出六方對稱及等同晶面的特征。六方

13、體系的晶向指數(shù)六方晶系中如果用三軸定向表示晶向指數(shù)用UVW，四軸定向的晶向指數(shù)用uvtw來表示。三軸和四軸晶向指數(shù)之間的關(guān)系：üïïu = 2 U - 1V3321ïv =V -Uý33t = -(u + v) = - 1 (U + V )ïï3ïw = Wþ2.3、晶面間距d (hkl)一組平行晶面（hkl）中兩個(gè)相鄰平面間的垂直距離稱為晶面間距，用dhkl表示。它與晶胞參數(shù)和晶面指標(biāo)有關(guān)。晶面與晶面間距是晶體X射線衍射結(jié)構(gòu)分析中所的內(nèi)容。面間距 dhkl 與晶胞點(diǎn)陣參數(shù)之間的關(guān)系（hkl）代表一組相互

14、平行的晶面, 任意兩個(gè)相鄰的晶面的面間距都相等。1=dhklhakblc+ (+ ()2)2)25-1(a立方晶系=dhkl5-2+ k 2 + l 2h2=15-3dhkl六方晶系h2+ hk + k 2l 2) +4(3a 2c 2a = b = g = 900對正交晶系晶面指標(biāo)越高,面間距越小, 晶面上粒子的密度（或陣點(diǎn)的密度）也越小.只有（h*k*l*）小,dh*k*l*大, 即陣點(diǎn)密度大的晶面（粒子間距離近, 作用能大, 穩(wěn)定）才能被保留下來.習(xí)題金屬鎳立方晶胞中（111）晶面的晶面間距d111為2.035Å，求其（220）晶面間距d220。利用：a=dhkl+ k 2 +

15、 l 2h2a = d111 ´1+1+1 = 2.035*3 = 3.525 Å求得:3.525= 1.246 Åd于是:220+ 22 + 02222.4 晶面族晶面族：在同一晶體點(diǎn)陣中，有若干組晶面是可以通過一定的 對稱變化重復(fù)出現(xiàn)的等同晶面，它們的面間距與晶面上結(jié)點(diǎn)分布完全相同。這些空間位向性質(zhì)完全相同的晶面的集合，稱為晶面族表示方法：用hkl表示。例如：立方晶系中100晶面族包括六個(gè)晶面（100）、（010）、（001）、（-100）、（0-10）、（00-1）注意，在其他晶系中，通過數(shù)字位置互換而得到的晶面不一定屬于同 一晶面族，例如，正方晶系中a=b

16、¹c，因此，100晶面族分為兩組， 一個(gè)包含（100）（010）（-100）（0-10）晶面；另一個(gè)包含（001）（00-1）兩個(gè)晶面。思考：為什么要強(qiáng)調(diào)晶面族的概念？與衍射分析有什么關(guān)系？<晶體衍射結(jié)果最直接的信息是面間距。同一個(gè)面間距值可能對應(yīng)不同的晶面，這些具有相等面間距的晶面之間有可能通過選擇、平移等對稱性操作重復(fù)，這些晶面屬于同一晶面族。>2.5、倒易點(diǎn)陣 （教學(xué)難點(diǎn)）2.5.1為什么要引入倒易點(diǎn)陣概念LJ1、天下本無事，庸人自擾之？非常有用要考；更要考2、能簡化（1）晶面與晶面指數(shù)表達(dá)；（2）衍射原理的表達(dá)；（3）與實(shí)驗(yàn)測量結(jié)果直接關(guān)聯(lián)，尤其是電子衍射部分。&

17、lt;晶體X射線衍射中是對晶體中各個(gè)晶面的研究，如果能把晶面作為一個(gè)點(diǎn)來研究，何樂不為？>2.5.2倒易點(diǎn)陣的概念、表達(dá)形式倒易點(diǎn)陣是在晶體點(diǎn)陣的基礎(chǔ)上按一定對應(yīng)關(guān)系建立起來的空間幾何圖形，是晶體點(diǎn)陣的另一種表達(dá)形式。為了區(qū)別有時(shí)把晶體點(diǎn)陣空間稱為正空間。倒易空間中的結(jié)點(diǎn)稱為倒易點(diǎn)。1、倒易點(diǎn)陣的定義（倒易點(diǎn)陣與正點(diǎn)陣的轉(zhuǎn)換關(guān)系）倒易點(diǎn)陣參數(shù)：a* 、b*、 c*； *、*、*定義：= cos b cos g - cosa ücosa *ïsin b sin g矢量表示cos g cosa - cos b ïïcos b *=ýsin g

18、 sin aï= cosa cos b - cos g ïcos g *ïþsin a sin b其中，a 、b、 c；、為正點(diǎn)陣參數(shù)ra × b = a b cosqrrva ´ b = a b sinqta* × a = b* ×b = c* × c =1a* ×b = a* × c = b* × a = b* × c = c* × a = c* ×b = 0倒易點(diǎn)陣參數(shù)的方向與大?。?）因此，倒易點(diǎn)陣的基本矢量垂直于正點(diǎn)陣中異名矢量的平面。

19、a*垂直于b與c兩個(gè)矢量垂直于a與c（a與b）兩個(gè)矢量的平面。同樣b*（或c*）的平面?；蛘?，a*垂直（100）晶面； b*垂直（010）晶面； c*垂直（001）晶面。（2）1 ， b*1 ， c*1如果a*=b*=g*=90o，a*=abca* × a = b* ×b = c* × c =1a* ×b = a* × c = b* × a = b* × c = c* × a = c* ×b = 02、倒易點(diǎn)陣的本質(zhì)倒易點(diǎn)陣是晶體結(jié)構(gòu)周期性在傅立葉空間中的數(shù)學(xué)抽象。如果把晶體點(diǎn)陣本身理解為周期函數(shù)，則倒易

20、點(diǎn)陣就是晶體點(diǎn)陣的傅立葉變換，反之晶體點(diǎn)陣就是倒易點(diǎn)陣的傅立葉逆變換。所以，倒易點(diǎn)陣只是晶體點(diǎn)陣在不同空間(波矢空間)的反映。2.5.3 倒易矢量1、定義：從倒易點(diǎn)陣原點(diǎn)向任一倒易陣點(diǎn)所連接的矢量叫倒易矢量，表示為：r* = ha* + kb* + lc*倒易陣點(diǎn)用它所代表的晶面指數(shù)標(biāo)定。立方正空間點(diǎn)陣的倒易變換020120220(010)b(110)(100)b*210(220)(210)c200C*aa*000正點(diǎn)陣倒易點(diǎn)陣H2200101101002、倒易矢量的兩個(gè)基本性質(zhì)（1） 倒易矢量的方向垂直于正點(diǎn)陣中的（hkl）晶面。r* (hkl)rhkl（2）倒易矢量的長度等于（hkl）晶面

21、的晶面間距dhkl的倒數(shù)。r*= 1 d hklrhkl如果正點(diǎn)陣與倒易點(diǎn)陣具有同一坐標(biāo)原點(diǎn)，則正點(diǎn)陣中的一個(gè)晶面在倒易 點(diǎn)陣中就變成了一個(gè)陣點(diǎn)（倒易點(diǎn)）。正點(diǎn)陣中晶面取向和面間距只須倒 易矢量一個(gè)參量就能表示。證明1：倒易矢量的方向垂直于正點(diǎn)陣中的（hkl）晶面。r*r*r*=*+ kb + lcrhkl設(shè)倒易矢量為：ha晶面（hkl）與三個(gè)坐標(biāo)軸r的截距為：rOA = a / hAB = b / k - rOB = b / kOC = c / la / hr*r*r*rrh kl*× AB = (ha+ kb+ lc) ×(b / k - a / h)于是：從倒易矢量的

22、定義cr*× AB = 1-1 = 0rhkl因此Cr*brh klABACr*Br同理可證：rhkl*r BCOahklr*rhklA (hkl)r*r*r*r*rr*rr*a ×b = a × c = b × a = b × c = c × a = c ×b = 0r*r*r*ra × a = b × b = c × c = 1證明2：倒易矢量的長度等于（hkl）晶面的晶面間距dhkl的倒數(shù)。cOM垂直于晶面，交點(diǎn)為M，于是有：= dhklOMC= OA× r= a × rbdnnnhklBhnMOa為OM方向上的矢量A因?yàn)樾再|(zhì)一成立，則有倒易矢量垂直于ABC面，即倒易矢量在OM方向上，rr*r*這樣可以通過有倒易矢量給出矢量。n = rhkl/ rhklr*r*rr*+ kb+ lc= OA× n = a / h × ( ha1) =dr*r*hklrhklrhklr*= 1 d hklrhkl3、用倒易矢量推導(dǎo)晶面間距和晶面夾角的計(jì)算公式 晶面間距計(jì)算公式 晶面夾角計(jì)算公式晶面間距計(jì)算公式：已知r* = ha* + kb* + l c*，則:1dhkl=2r*1r *= (ha* + kb* + lc*) ×