全國中考數(shù)學(xué)百卷壓軸題分類解析匯編：專題05_定值問題

1、.文理教研網(wǎng) 文理教研您的好幫手精品資料2012年全國中考數(shù)學(xué)百卷壓軸題分類解析匯編，在對100套中考數(shù)學(xué)試卷解析的基礎(chǔ)上將押軸題單獨(dú)匯編構(gòu)成10個(gè)專題。每條題目給出了：1.原始題目（對照掃描試卷逐條檢驗(yàn)，力求無差錯(cuò)）；2.完整解答（解答全面，完整繪圖，對網(wǎng)上流傳的錯(cuò)誤答題進(jìn)行了更正）；3.歸納考點(diǎn)；4.詳細(xì)分析；5.考題出處；6.考題分值。10個(gè)專題為：專題1：動(dòng)點(diǎn)問題；專題2：函數(shù)問題；專題3：面積問題；專題4：三角形四邊形存在性問題；專題5：定值問題；專題6：由運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的線段和差問題；專題7：幾何三大變換相關(guān)問題；專題8：實(shí)踐操作、探究類問題；專題9：幾何綜合問題；專題10：代數(shù)綜合問題

2、。精品打造，助2013屆學(xué)子步步登高！專題5：定值問題1. （2012江西南昌8分）如圖，已知二次函數(shù)L1：y=x24x+3與x軸交于AB兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左邊），與y軸交于點(diǎn)C（1）寫出二次函數(shù)L1的開口方向、對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）研究二次函數(shù)L2：y=kx24kx+3k（k0）寫出二次函數(shù)L2與二次函數(shù)L1有關(guān)圖象的兩條相同的性質(zhì)；若直線y=8k與拋物線L2交于E、F兩點(diǎn)，問線段EF的長度是否發(fā)生變化？如果不會，請求出EF的長度；如果會，請說明理由【答案】解：（1）拋物線，二次函數(shù)L1的開口向上，對稱軸是直線x=2，頂點(diǎn)坐標(biāo)（2，1）。（2）二次函數(shù)L2與L1有關(guān)圖象的兩條相同的性質(zhì)：對稱

3、軸為x=2；都經(jīng)過A（1，0），B（3，0）兩點(diǎn)。線段EF的長度不會發(fā)生變化。直線y=8k與拋物線L2交于E、F兩點(diǎn)，kx24kx+3k=8k，k0，x24x+3=8。解得：x1=1，x2=5。EF=x2x1=6。線段EF的長度不會發(fā)生變化。【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題，二次函數(shù)的性質(zhì)。【分析】（1）拋物線y=ax2+bx+c中：a的值決定了拋物線的開口方向，a0時(shí)，拋物線的開口向上；a0時(shí)，拋物線的開口向下。拋物線的對稱軸方程和頂點(diǎn)坐標(biāo)，可化為頂點(diǎn)式或用公式求解。（2）新函數(shù)是由原函數(shù)的各項(xiàng)系數(shù)同時(shí)乘以k所得，因此從二次函數(shù)的圖象與解析式的系數(shù)的關(guān)系入手進(jìn)行分析。聯(lián)立直線和拋物線L2的解析式，先求

4、出點(diǎn)E、F的坐標(biāo)，從而可表示出EF的長，若該長度為定值，則線段EF的長不會發(fā)生變化。2. （2012江蘇蘇州9分）如圖，正方形ABCD的邊AD與矩形EFGH的邊FG重合，將正方形ABCD以1cm/s的速度沿FG方向移動(dòng)，移動(dòng)開始前點(diǎn)A與點(diǎn)F重合.在移動(dòng)過程中，邊AD始終與邊FG重合，連接CG，過點(diǎn)A作CG的平行線交線段GH于點(diǎn)P，連接PD.已知正方形ABCD的邊長為1cm，矩形EFGH的邊FG、GH的長分別為4cm、3cm.設(shè)正方形移動(dòng)時(shí)間為x（s），線段GP的長為y（cm），其中0x2.5. 試求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求出y =3時(shí)相應(yīng)x的值；記DGP的面積為S1，CDG的面積為S2試說

5、明S1S2是常數(shù)；當(dāng)線段PD所在直線與正方形ABCD的對角線AC垂直時(shí)，求線段PD的長.【答案】解：（1）CGAP，CGD=PAG，則。GF=4，CD=DA=1，AF=x，GD=3x，AG=4x。，即。y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為。當(dāng)y =3時(shí)，解得:x=2.5。（2），為常數(shù)。（3）延長PD交AC于點(diǎn)Q.正方形ABCD中，AC為對角線，CAD=45°。PQAC，ADQ=45°。GDP=ADQ=45°。DGP是等腰直角三角形，則GD=GP。，化簡得：，解得：。0x2.5，。在RtDGP中，?！究键c(diǎn)】正方形的性質(zhì)，一元二次方程的應(yīng)用，等腰直角三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，解直

6、角三角形，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值。【分析】（1）根據(jù)題意表示出AG、GD的長度，再由可解出x的值。（2）利用（1）得出的y與x的關(guān)系式表示出S1、S2，然后作差即可。（3）延長PD交AC于點(diǎn)Q，然后判斷DGP是等腰直角三角形，從而結(jié)合x的范圍得出x的值，在RtDGP中，解直角三角形可得出PD的長度。3. （2012山東濰坊11分）如圖，已知拋物線與坐標(biāo)軸分別交于A(2，O)、B(2，0)、C(0，l)三點(diǎn)，過坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線y=kx與拋物線交于M、N兩點(diǎn)分別過點(diǎn)C、D(0，2)作平行于x軸的直線、 (1)求拋物線對應(yīng)二次函數(shù)的解析式； (2)求證以O(shè)N為直徑的圓與直線相切； (3

7、)求線段MN的長(用k表示)，并證明M、N兩點(diǎn)到直線的距離之和等于線段MN的長【答案】解：（1）設(shè)拋物線對應(yīng)二次函數(shù)的解析式為y=ax2bxc，則 解得。拋物線對應(yīng)二次函數(shù)的解析式 所以。 （2）設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，因?yàn)辄c(diǎn)M、N在拋物線上， ，x22=4(y2+1)。又，。又y2l，ON=2y2。設(shè)ON的中點(diǎn)E，分別過點(diǎn)N、E向直線作垂線，垂足為P、F， 則 ，ON=2EF，即ON的中點(diǎn)到直線的距離等于ON長度的一半，以O(shè)N為直徑的圓與相切。（3）過點(diǎn)M作MHNP交NP于點(diǎn)H，則，又y1=kx1，y2=kx2，（y2y1)2=k2(x2x1)2。MN2=(1+k2)(x2一x

8、l)2。又點(diǎn)M、N既在y=kx的圖象上又在拋物線上，即x24kx4=0，x2x1=4k，x2·x1=4。MN2=(1+k2)(x2一xl)2=(1+k2) =16(1+k2)2。MN=4(1+k2)。延長NP交于點(diǎn)Q，過點(diǎn)M作MS交于點(diǎn)S，則MSNQ=y12y22= MS+NQ=MN，即M、N兩點(diǎn)到距離之和等于線段MN的長?！究键c(diǎn)】二次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，中點(diǎn)坐標(biāo)的求法，直線與圓相切的條件，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，勾股定理?！痉治觥浚?）根據(jù)點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程的關(guān)系，用待定系數(shù)法即可求出拋物線對應(yīng)二次函數(shù)的解析式。（2）要證以O(shè)N為直徑的

9、圓與直線相切，只要證ON的中點(diǎn)到直線的距離等于ON長的一半即可。（3）運(yùn)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，求出MN和M、N兩點(diǎn)到直線的距離之和，相比較即可。4. （2012浙江義烏12分）如圖1，已知直線y=kx與拋物線交于點(diǎn)A（3，6）（1）求直線y=kx的解析式和線段OA的長度；（2）點(diǎn)P為拋物線第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線PM，交x軸于點(diǎn)M（點(diǎn)M、O不重合），交直線OA于點(diǎn)Q，再過點(diǎn)Q作直線PM的垂線，交y軸于點(diǎn)N試探究：線段QM與線段QN的長度之比是否為定值？如果是，求出這個(gè)定值；如果不是，說明理由；（3）如圖2，若點(diǎn)B為拋物線上對稱軸右側(cè)的點(diǎn)，點(diǎn)E在線段OA上（與點(diǎn)O、A不重合），點(diǎn)D

10、（m，0）是x軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足BAE=BED=AOD繼續(xù)探究：m在什么范圍時(shí)，符合條件的E點(diǎn)的個(gè)數(shù)分別是1個(gè)、2個(gè)？【答案】解：（1）把點(diǎn)A（3，6）代入y=kx 得；6=3k，即k=2。 y=2x。（2）線段QM與線段QN的長度之比是一個(gè)定值，理由如下：如圖1，過點(diǎn)Q作QGy軸于點(diǎn)G，QHx軸于點(diǎn)H當(dāng)QH與QM重合時(shí)，顯然QG與QN重合，此時(shí)。當(dāng)QH與QM不重合時(shí)，QNQM，QGQH不妨設(shè)點(diǎn)H，G分別在x、y軸的正半軸上，MQH=GQN。又QHM=QGN=90°，QHMQGN。當(dāng)點(diǎn)P、Q在拋物線和直線上不同位置時(shí)，同理可得。線段QM與線段QN的長度之比是一個(gè)定值。（3）如圖

11、2，延長AB交x軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FCOA于點(diǎn)C，過點(diǎn)A作ARx軸于點(diǎn)R。AOD=BAE，AF=OF。OC=AC=。ARO=FCO=90°，AOR=FOC，AORFOC。OF=。點(diǎn)F（，0）。設(shè)點(diǎn)B（x，），過點(diǎn)B作BKAR于點(diǎn)K，則AKBARF。，即。解得x1=6，x2=3（舍去）。點(diǎn)B（6，2）。BK=63=3，AK=62=4。AB=5。在ABE與OED中，BAE=BED，ABE+AEB=DEO+AEB。ABE=DEO。BAE=EOD，ABEOED。設(shè)OE=x，則AE=x （），由ABEOED得，即。頂點(diǎn)為。如圖3，當(dāng)時(shí)，OE=x=，此時(shí)E點(diǎn)有1個(gè)；當(dāng)時(shí)，任取一個(gè)m的值都對應(yīng)著兩

12、個(gè)x值，此時(shí)E點(diǎn)有2個(gè)當(dāng)時(shí)，E點(diǎn)只有1個(gè)，當(dāng)時(shí)，E點(diǎn)有2個(gè)。【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，銳角三角函數(shù)定義，相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)?！痉治觥浚?）利用待定系數(shù)法求出直線y=kx的解析式，根據(jù)A點(diǎn)坐標(biāo)用勾股定理求出線段OA的長度。（2）如圖1，過點(diǎn)Q作QGy軸于點(diǎn)G，QHx軸于點(diǎn)H，構(gòu)造相似三角形QHM與QGN，將線段QM與線段QN的長度之比轉(zhuǎn)化為相似三角形的相似比，即為定值需要注意討論點(diǎn)的位置不同時(shí)，這個(gè)結(jié)論依然成立。（3）由已知條件角的相等關(guān)系BAE=BED=AOD，可以得到ABEOED。在相似三角形ABE與OED中，運(yùn)用線段比例關(guān)系之前需要首先求出AB

13、的長度，如圖2，可以通過構(gòu)造相似三角形，或者利用一次函數(shù)（直線）的性質(zhì)求得AB的長度。設(shè)OE=x，則由相似邊的比例關(guān)系可以得到m關(guān)于x的表達(dá)式，這是一個(gè)二次函數(shù)借助此二次函數(shù)圖象（如圖3），可見m在不同取值范圍時(shí)，x的取值（即OE的長度，或E點(diǎn)的位置）有1個(gè)或2個(gè)。這樣就將所求解的問題轉(zhuǎn)化為分析二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)問題。5. （2012廣西玉林、防城港12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系O中，矩形AOCD的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)是（0,4），現(xiàn)有兩動(dòng)點(diǎn)P、Q，點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)沿線段OC（不包括端點(diǎn)O，C）以每秒2個(gè)單位長度的速度，勻速向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿線段CD（不包括端點(diǎn)C，D）以每秒1個(gè)單位長度的速

14、度勻速向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng).點(diǎn)P，Q同時(shí)出發(fā)，同時(shí)停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)t=2秒時(shí)PQ=.（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)，并直接寫出t的取值范圍；（2）連接AQ并延長交軸于點(diǎn)E,把AE沿AD翻折交CD延長線于點(diǎn)F,連接EF，則AEF的面積S是否隨t的變化而變化？若變化，求出S與t的函數(shù)關(guān)系式；若不變化，求出S的值.（3）在（2）的條件下，t為何值時(shí)，四邊形APQF是梯形？【答案】解：（1）由題意可知，當(dāng)t=2（秒）時(shí)，OP=4，CQ=2，在RtPCQ中，由勾股定理得：PC=4，OC=OP+PC=4+4=8。又矩形AOCD，A（0，4），D（8，4）。t的取值范圍為：0t4。（2）結(jié)論：AEF的面積S不變化。AO

15、CD是矩形，ADOE，AQDEQC。，即，解得CE=。由翻折變換的性質(zhì)可知：DF=DQ=4t，則CF=CD+DF=8t。S=S梯形AOCFSFCESAOE=（OA+CF）OC+CFCEOAOE= ×8+（8t）×4×（8）?；喌茫篠=32為定值。所以AEF的面積S不變化，S=32。（3）若四邊形APQF是梯形，因?yàn)锳P與CF不平行，所以只有PQAF。由PQAF可得：CPQDAF。CP：AD=CQ：DF，即82t：8= t：4t，化簡得t212t16=0，解得：t1=6+2，t2=。由（1）可知，0t4，t1=6+2不符合題意，舍去。當(dāng)t=秒時(shí)，四邊形APQF是梯形。【考點(diǎn)】動(dòng)點(diǎn)和翻折問題，矩形的性質(zhì)