概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

1、11(五)王 柱 2013.03.142定義定義:隨機(jī)試驗(yàn)隨機(jī)試驗(yàn)E, 樣本空間樣本空間 =e,如果如果對(duì)于每個(gè)對(duì)于每個(gè)e ,都有一個(gè)實(shí)數(shù)都有一個(gè)實(shí)數(shù)X(e)與之對(duì)應(yīng)。與之對(duì)應(yīng)。這樣就得到一個(gè)定義在這樣就得到一個(gè)定義在 上的單值實(shí)函數(shù)上的單值實(shí)函數(shù) X=X(e) ，稱(chēng)為，稱(chēng)為隨機(jī)變量隨機(jī)變量。對(duì)于任意的實(shí)數(shù)集合對(duì)于任意的實(shí)數(shù)集合L,X L 表示事件表示事件 e|X(e) L 。又若又若, ( ,A, P) 為概率空間。為概率空間。令令PX(L)=P(e|X(e) L) , 則則 ( R, , PX ) 也也為為概率空間。概率空間。在其上令在其上令 X*=X*(x) =x，也是，也是隨機(jī)變量隨機(jī)

2、變量。注意注意 X 與與 X*取值的概率情況相同取值的概率情況相同3隨機(jī)變量的隨機(jī)變量的特性特性：1.隨試驗(yàn)的結(jié)果而取不同的值隨試驗(yàn)的結(jié)果而取不同的值;2.試驗(yàn)前試驗(yàn)前,能知道它可能的取值范圍能知道它可能的取值范圍, 卻不能預(yù)知它確切的取值卻不能預(yù)知它確切的取值;3.取值有一定的概率取值有一定的概率;4.定義域?yàn)闃颖究臻g定義域?yàn)闃颖究臻gS,值域值域 R;4定義定義:離散隨機(jī)變量，離散隨機(jī)變量，它全部可能取到的值是有限它全部可能取到的值是有限 個(gè)或可列無(wú)限個(gè)。個(gè)或可列無(wú)限個(gè)。顯然，掌握一個(gè)顯然，掌握一個(gè)離散隨機(jī)變量離散隨機(jī)變量 X 的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，必需且只需必需且只需知道知道 “X 的所

3、有可能取的值，以及的所有可能取的值，以及取每一個(gè)可能值的概率取每一個(gè)可能值的概率”。設(shè)：離散隨機(jī)變量可能取的值為設(shè)：離散隨機(jī)變量可能取的值為 xk (k=1,2,)稱(chēng)為稱(chēng)為離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量的的概率分布概率分布或或分布律分布律。 X 取可能值的概率為取可能值的概率為 pk =P(X=xk) (k=1,2,)Xx1,x2,xk,pkp1,p2,pk,5顯然顯然, 離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量的的概率分布概率分布或或分布律，分布律，滿(mǎn)足滿(mǎn)足 1. Pk 0 , (k=1,2,) 2. 。 反之，滿(mǎn)足這兩點(diǎn)的反之，滿(mǎn)足這兩點(diǎn)的 pk 叫概率函數(shù)。它一定是叫概率函數(shù)。它一定是 某個(gè)某個(gè)離散型

4、隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量的的概率分布概率分布或或分布律分布律。11kkp6（0）、）、( 0-1 )分布分布定義；定義；隨機(jī)變量隨機(jī)變量X只只可能取可能取 0 或或 1 兩個(gè)兩個(gè)值。它的分布律是值。它的分布律是 P(X=k)=pkq(1-k) , k=0,1 (0p1)稱(chēng)此稱(chēng)此X為服從為服從(0-1) 分布。分布。例如例如：性別，合格，扔幣，標(biāo)準(zhǔn)。：性別，合格，扔幣，標(biāo)準(zhǔn)。，且顯然10p10kkkp7（1）、）、貝努利試驗(yàn)的貝努利試驗(yàn)的二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布 將隨機(jī)試驗(yàn)將隨機(jī)試驗(yàn)E重復(fù)進(jìn)行重復(fù)進(jìn)行n次，若每次次，若每次試驗(yàn)的結(jié)果互不影響，即每次試驗(yàn)結(jié)果出試驗(yàn)的結(jié)果互不影響，即每次試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的概率都不

5、依賴(lài)于其它各次試驗(yàn)的結(jié)果，現(xiàn)的概率都不依賴(lài)于其它各次試驗(yàn)的結(jié)果，則稱(chēng)這則稱(chēng)這n次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的。*設(shè)試驗(yàn)設(shè)試驗(yàn)E只有兩個(gè)可能結(jié)果只有兩個(gè)可能結(jié)果A和和Ac，P(A)=p,P(Ac)=1-p=q, (0p0 是常數(shù)。則是常數(shù)。則稱(chēng)稱(chēng) X 為服從參數(shù)為為服從參數(shù)為 的的泊松泊松分布，記為分布，記為X ( )。 例例:呼叫次數(shù)呼叫次數(shù),印刷錯(cuò)誤印刷錯(cuò)誤,遺失遺失信件信件,急診人數(shù)急診人數(shù),交通事故數(shù)交通事故數(shù),粒子計(jì)數(shù)粒子計(jì)數(shù),.。，且顯然10p0kkkp12 超幾何分布與二項(xiàng)分布的關(guān)系。超幾何分布與二項(xiàng)分布的關(guān)系。已經(jīng)證明：已經(jīng)證明：若當(dāng)若當(dāng) 時(shí)，時(shí)， （ 不變）不變），則，則

6、NpNM/mn,)(NqpCCCCmnmmnnNmnMNmM13泊松泊松定理定理: 0 是一常數(shù)是一常數(shù), n是任意正整數(shù)是任意正整數(shù),設(shè)設(shè) npn= ,則對(duì)于任意固定的非負(fù)整數(shù)則對(duì)于任意固定的非負(fù)整數(shù)k,有有k!e)p(pckknnknknn1lim注意注意: 定理的條件定理的條件 npn= 意味著當(dāng)意味著當(dāng) n 很很大時(shí)大時(shí)pn必定很小。因此，當(dāng)必定很小。因此，當(dāng) n很大、很大、p 很很小時(shí)，小時(shí)，“右邊右邊”為為“左邊左邊”的近似式。的近似式。 !)1 (limkeppckknnknknn14例例05-105-1 已知一電話(huà)總機(jī)每分鐘收到傳呼次數(shù)已知一電話(huà)總機(jī)每分鐘收到傳呼次數(shù) 為一為一

7、隨機(jī)變量，服從隨機(jī)變量，服從 的泊松分布，求的泊松分布，求(1)(1)每分鐘恰每分鐘恰有有8次傳呼的概率，次傳呼的概率，( (2) )每分鐘傳呼次數(shù)大于每分鐘傳呼次數(shù)大于8的概率。的概率。解解 ：X4, 2 , 1 , 0,!kkekXPk0298. 0! 84!848ekeXPk0214. 0!/41!/4880494kkkkkekeXP15例例05-205-2 已知某自動(dòng)機(jī)床產(chǎn)品的次品率為已知某自動(dòng)機(jī)床產(chǎn)品的次品率為0.001，從，從產(chǎn)品中任取產(chǎn)品中任取5000個(gè)，求這個(gè)，求這5000個(gè)產(chǎn)品中次品超過(guò)個(gè)產(chǎn)品中次品超過(guò)5的的概率。概率。解：解： 設(shè)設(shè)5000個(gè)產(chǎn)品中次品數(shù)為個(gè)產(chǎn)品中次品數(shù)為

8、, ,則則于是所求概率于是所求概率 如果直接按二項(xiàng)分布公式計(jì)算，計(jì)算量很大。如果直接按二項(xiàng)分布公式計(jì)算，計(jì)算量很大。由于由于 很大，很大， 很小很小, ,這時(shí)這時(shí) 不很大不很大, ,可以利用泊松定理可以利用泊松定理, ,可得可得 X)001.0 ,5000( BX5000650005000999. 0001. 05kkkkCXPnpnp505550616. 0!5!51515kkkkekekXPXP384. 0616. 015XP16例例05-305-3 某人進(jìn)行射擊，設(shè)每次射擊命中率為某人進(jìn)行射擊，設(shè)每次射擊命中率為 0.02，獨(dú)立射擊獨(dú)立射擊400次，求至少擊中兩次的概率。次，求至少擊中兩

9、次的概率。PX1=1-PX=0-PX=1=1-(0.98)400-400(0.02)(0.98)399 =np=8, PX1=1-PX=0-PX=1 =1-e-8-8e-8=0.997 1. 一個(gè)事件盡管在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率很小一個(gè)事件盡管在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率很小,但只要試驗(yàn)次數(shù)很多但只要試驗(yàn)次數(shù)很多,而且試驗(yàn)是獨(dú)立地進(jìn)行的而且試驗(yàn)是獨(dú)立地進(jìn)行的,那末這一事件的發(fā)生幾乎是肯定的。那末這一事件的發(fā)生幾乎是肯定的。2. 如果射手在如果射手在400次射擊中次射擊中,擊中目標(biāo)的次數(shù)擊中目標(biāo)的次數(shù)竟不到兩次竟不到兩次,我們將懷疑我們將懷疑“假設(shè)假設(shè)”的正確性的正確性,即即認(rèn)為該射手射擊的命中率達(dá)不到

10、認(rèn)為該射手射擊的命中率達(dá)不到0.02。查指數(shù)函數(shù)表得查指數(shù)函數(shù)表得0.0003351717 由由假設(shè)假設(shè)推導(dǎo)出推導(dǎo)出“小概率事件小概率事件”; 再由此再由此“小概率事件小概率事件”的發(fā)生就可以推斷的發(fā)生就可以推斷 “假設(shè)假設(shè)不成立不成立 ” ?！敖y(tǒng)計(jì)推斷原理統(tǒng)計(jì)推斷原理” 18例例05-405-4.為了保證設(shè)備正常工作，需配備適為了保證設(shè)備正常工作，需配備適量的維修工人，現(xiàn)有同類(lèi)型設(shè)備量的維修工人，現(xiàn)有同類(lèi)型設(shè)備300臺(tái)，臺(tái)，各臺(tái)工作是相互獨(dú)立的，發(fā)生故障的概率各臺(tái)工作是相互獨(dú)立的，發(fā)生故障的概率都是都是0.01。在通常情況下一臺(tái)設(shè)備的故障。在通常情況下一臺(tái)設(shè)備的故障可由一個(gè)人來(lái)處理?？捎梢粋€(gè)

11、人來(lái)處理。問(wèn)問(wèn)至少需要配備多少至少需要配備多少工人，才能保證當(dāng)設(shè)備發(fā)生故障但不能及工人，才能保證當(dāng)設(shè)備發(fā)生故障但不能及時(shí)維修的概率小于時(shí)維修的概率小于0.01?解解:設(shè)需配備的維修工人數(shù)設(shè)需配備的維修工人數(shù) N，同一時(shí)刻，同一時(shí)刻發(fā)生故障的設(shè)備臺(tái)數(shù)為發(fā)生故障的設(shè)備臺(tái)數(shù)為X, 則則,Xb(300,0.01)。所需的。所需的 N 滿(mǎn)足滿(mǎn)足 PX0.99。 =np=3用泊松泊松近似,查 (泊松分布表泊松分布表) N+1=919例例05-505-5 現(xiàn)有同類(lèi)型設(shè)備現(xiàn)有同類(lèi)型設(shè)備80臺(tái)，各臺(tái)工作是相互獨(dú)立臺(tái)，各臺(tái)工作是相互獨(dú)立的，發(fā)生故障的概率都是的，發(fā)生故障的概率都是0.01。一臺(tái)設(shè)備的故障能。一臺(tái)設(shè)

12、備的故障能由一個(gè)人來(lái)處理?？紤]兩種配備維修工人的辦法，由一個(gè)人來(lái)處理?？紤]兩種配備維修工人的辦法，其其一是由一是由4人維護(hù)，每人負(fù)責(zé)人維護(hù)，每人負(fù)責(zé)20臺(tái)臺(tái)；其二是由其二是由3人共同人共同維護(hù)維護(hù)80臺(tái)臺(tái)。是比較這兩種方法在設(shè)備發(fā)生故障時(shí)不。是比較這兩種方法在設(shè)備發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修的概率之大小？能及時(shí)維修的概率之大??？X “第第i人維護(hù)的人維護(hù)的20臺(tái)中同時(shí)發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)臺(tái)中同時(shí)發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)”。Xb(20,0.01)Ai “第第i人維護(hù)的人維護(hù)的20臺(tái)中發(fā)生故障不能及時(shí)維修臺(tái)中發(fā)生故障不能及時(shí)維修”。X1Y “80臺(tái)中同時(shí)發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)臺(tái)中同時(shí)發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)”。Yb(80,0.01)。Y

13、3np=0.2 近似得:P0.0175np=0.8 近似得:P0.0091)()(14321ApAAAAp20 2.2.3隨機(jī)變量隨機(jī)變量的的分布分布函數(shù)函數(shù)稱(chēng)為稱(chēng)為X的分布的分布函數(shù)函數(shù)。X的分布的分布函數(shù)函數(shù)F(x )是普通的函數(shù)是普通的函數(shù)。 表示表示 X落在區(qū)間落在區(qū)間 (- x 上的概率。上的概率。X的分布的分布函數(shù)函數(shù) F(x ) 的的性質(zhì)性質(zhì):10 F(x )是一個(gè)不減函數(shù)。是一個(gè)不減函數(shù)。20 0 F(x ) 1。 且左無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)為且左無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)為0, 右無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)為右無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)為1。30 F(x+0 )= F(x )，即，即F(x )是右連續(xù)的。是右連續(xù)的。 且間斷點(diǎn)最多有可列個(gè)且間

14、斷點(diǎn)最多有可列個(gè)。定義定義2.3.1 : X為一個(gè)隨機(jī)變量為一個(gè)隨機(jī)變量 , x 是任意實(shí)數(shù)是任意實(shí)數(shù), 函數(shù)函數(shù) xXPxF21 實(shí)際上，令實(shí)際上，令 P(- x = F(x ) , 則則 ( R, ,P )為一個(gè)概率空間。為一個(gè)概率空間。反之反之,一個(gè)一個(gè)函數(shù)函數(shù) F(x ) 有有性質(zhì)性質(zhì):1 10 0 F F( (x x ) )是一個(gè)不減函數(shù)。是一個(gè)不減函數(shù)。2 20 0 0 F F( (x x ) ) 1。 且左無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)為且左無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)為0, 0, 右無(wú)窮右無(wú)窮 遠(yuǎn)點(diǎn)為遠(yuǎn)點(diǎn)為1 1。3 30 0 F F( (x+x+0 )= )= F F( (x x ) )，即，即F F( (x x )

15、 )是右連續(xù)的。是右連續(xù)的。且間斷且間斷 點(diǎn)最多有可列個(gè)點(diǎn)最多有可列個(gè)。 對(duì)對(duì)任意實(shí)數(shù)任意實(shí)數(shù)x ,定義定義 X(x)=x ,則其為一個(gè)隨機(jī)變則其為一個(gè)隨機(jī)變量量 , 其分布其分布函數(shù)函數(shù)是是F(x ) 。22 例例05-605-6 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 的分布律為的分布律為求求 的分布函數(shù)，并求的分布函數(shù)，并求 Xkp-1231/41/21/4XX32,2523,21XPXPXP解解 由概率的可加性，得所求分布函數(shù)為由概率的可加性，得所求分布函數(shù)為 3,41214132,214121,411, 0 xxxxxF 3, 132,4321,411, 0 xxxxxF23F(x )=PX x 為階

16、梯函數(shù)為階梯函數(shù),跳躍點(diǎn)在跳躍點(diǎn)在xk 處處,躍度為躍度為 pk 。x321O11232圖3 , 2 , 141 , 21 ,4141)21(21FXP214143)23()25(2523FFXP43214312)2()3(32XPFFXP24 一般一般離散型離散型隨機(jī)變量隨機(jī)變量的的分布函數(shù)分布函數(shù)： X 可能取的值是可能取的值是 xk (k=1,2,)， X 取可能值的概率是取可能值的概率是pk =P(X=xk) (k=1,2,)，因?yàn)橛幸驗(yàn)橛衳xkxxkkkpxXPxXPxF)( 這里和式是對(duì)所有滿(mǎn)足這里和式是對(duì)所有滿(mǎn)足 的的 求和。求和。這時(shí)的這時(shí)的分布函數(shù)分布函數(shù) 為階梯函數(shù)為階梯函

17、數(shù), 跳躍點(diǎn)在跳躍點(diǎn)在xk處處,且最多有可列個(gè)，且最多有可列個(gè)， 躍度為躍度為 pk 。xxkk)(xF 設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布律為設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布律為 252.3 連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量的的概率密度概率密度則則 稱(chēng)稱(chēng) X 為為連續(xù)型連續(xù)型隨機(jī)變量隨機(jī)變量, 其中其中 f(x) 稱(chēng)為稱(chēng)為X的的概率概率密度函數(shù)密度函數(shù),簡(jiǎn)稱(chēng)簡(jiǎn)稱(chēng)概率密度概率密度。定義定義2.3.1 : 隨機(jī)變量隨機(jī)變量X分布分布函數(shù)函數(shù)F(x ),存在非負(fù)函數(shù)存在非負(fù)函數(shù) f(x) ,對(duì)于任意實(shí)數(shù)對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,有有 F(x)為為 f(x) 在區(qū)間在區(qū)間(- x上的上的積分積分xdttfxF)()(注意，這時(shí)這時(shí)F(

18、x)為為連續(xù)連續(xù)函數(shù)函數(shù)。1026概率密度概率密度f(wàn)(x ) 的的性質(zhì)性質(zhì):10 f(x )是一個(gè)非負(fù)函數(shù)。是一個(gè)非負(fù)函數(shù)。1)(dttf30 Px1X x2=F(x2)-F(x1)=f(x)在區(qū)間在區(qū)間(x1 x2上的積分。上的積分。40 若若f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x處處連續(xù)，則連續(xù)，則F(x )=f(x) 。20 f(x)在全區(qū)間上的積分為在全區(qū)間上的積分為1。x1 x20 xxf0)()()(xfxF )()()(21122121xxdxxfxFxFxXxPxx27例例05-705-7: 隨機(jī)變量隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為的概率密度函數(shù)為（1）確定系數(shù)）確定系數(shù) （2）求相應(yīng)的分布函數(shù)）求相應(yīng)

19、的分布函數(shù)（3）求概率）求概率解解:由由 其它,022,cosxxAxfA40XP AxAxdxAdxxfxx2sincos1222221A 其它022cos21xxxf28 424sin21cos21404040 xdxdxxfXP 420440FFXP2122212120 x,x,xsinx,)x(F求落在區(qū)間上的概率,用概率密度函數(shù)計(jì)算 用分布函數(shù)計(jì)算 29特別需要指出的是，對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量來(lái)說(shuō)，它特別需要指出的是，對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量來(lái)說(shuō)，它取任一指定實(shí)數(shù)值取任一指定實(shí)數(shù)值 的概率為零的概率為零, ,即即 。由由 在上面不等式中令在上面不等式中令 , ,并注意到并注意到 為連續(xù)型隨機(jī)為

20、連續(xù)型隨機(jī)變量變量, ,其分布函數(shù)是連續(xù)的其分布函數(shù)是連續(xù)的, ,即得即得因此因此, ,在計(jì)算連續(xù)型隨機(jī)變量落在某一區(qū)間的概率時(shí)在計(jì)算連續(xù)型隨機(jī)變量落在某一區(qū)間的概率時(shí), ,可以不必分該區(qū)間是開(kāi)區(qū)間或閉區(qū)間或半開(kāi)半閉區(qū)間可以不必分該區(qū)間是開(kāi)區(qū)間或閉區(qū)間或半開(kāi)半閉區(qū)間. .例如有例如有 雖然雖然 PX=a=0，但，但 X=a并非是空集并非是空集(不可能事件不可能事件)。A空空,則則P(A)=0 ; 但但 P(A)=0不能得出不能得出A空?？铡? aXPa xaFaFaXxaPaXP00 aXP0 xXbXaPbXaPbXaP301.連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量X一定一定具有具有概率密度概率密度f(wàn)

21、X(x) ,-x;2.反之反之,有一個(gè)有一個(gè)非負(fù)可積函數(shù)非負(fù)可積函數(shù)f(x) , 其其在全區(qū)間上的在全區(qū)間上的積分為積分為1。 則它一定是某個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量則它一定是某個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的的概率密度概率密度函數(shù)函數(shù). 實(shí)際上：實(shí)際上：令令FX(x)為該為該f(x) 特定的一個(gè)原函數(shù)特定的一個(gè)原函數(shù)(FX()=1), 記記 Px1 X x2= FX(x2)- FX(x1)則則 (R,P)為概率空間為概率空間,隨機(jī)變量隨機(jī)變量X(x)=x的的概率密度概率密度函數(shù)函數(shù)為該為該f(x)。31（1）、均勻分布）、均勻分布定義：定義：隨機(jī)變量隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為的概率密度函數(shù)為f(x)=1/(b-a

22、),axb; =0, 其它。其它。其它, 0,1)(bxaabxf則則稱(chēng)此稱(chēng)此 X 在區(qū)間在區(qū)間(a,b)上服從上服從均勻均勻分布。分布。-2-10123400.20.40.60.81（幾何概率）（幾何概率）32在區(qū)間在區(qū)間(a,b)上服從上服從均勻均勻分布的分布函數(shù)分布的分布函數(shù)為為:bxbxaabaxaxxF10)( F(x)=0, xa ; =(x-a)/(b-a), axb; =1, b0)為常數(shù)為常數(shù),稱(chēng)服從參數(shù)為稱(chēng)服從參數(shù)為,的正態(tài)分布的正態(tài)分布,記為記為N (,2)-2-101234500.050.10.150.20.250.30.350.437xdxexFxx,21)(222)

23、(正態(tài)分布的分布函數(shù)為正態(tài)分布的分布函數(shù)為 xexfx22221正態(tài)分布的密度函數(shù)為正態(tài)分布的密度函數(shù)為38解釋密度函數(shù)的圖形解釋密度函數(shù)的圖形:xexfx,21)(222)(1.曲線關(guān)于曲線關(guān)于x= 對(duì)稱(chēng)對(duì)稱(chēng) 2.曲線在曲線在x= 處取到最大值處取到最大值 3.曲線在曲線在x= 處有拐點(diǎn)處有拐點(diǎn),并以并以x軸為漸近線軸為漸近線4. 固定固定, 曲線以曲線以 位置參數(shù)位置參數(shù)5. 固定固定 , 越小越小曲線越高越尖曲線越高越尖特別特別,當(dāng)當(dāng) =0, =1時(shí)稱(chēng)時(shí)稱(chēng)X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布此此時(shí)時(shí),概率密度記為概率密度記為 (x),分布函數(shù)記為分布函數(shù)記為(x)-2-101234500.10.20.30.40.50.60.70.8 21f演示演示9