定積分的概念

1、 1.曲邊梯形曲邊梯形：在直角坐標系中，由連在直角坐標系中，由連續(xù)曲線續(xù)曲線y=f(x)，直線，直線x=a、x=b及及x x軸所圍成的軸所圍成的圖形叫做曲邊梯形。圖形叫做曲邊梯形。Ox y a b y=f (x)一一. . 求曲邊梯形的面積x=ax=b 因此，我們可以用這條直線因此，我們可以用這條直線L來代替點來代替點P附近的曲線，附近的曲線，也就是說：在點也就是說：在點P附近，曲線可以看作直線（即在很小范圍附近，曲線可以看作直線（即在很小范圍內以直代曲）內以直代曲）P放大放大再放大再放大PP y = f(x)bax yO A1A A1.用一個矩形的面積用一個矩形的面積A A1 1近似代替曲邊

2、梯形的面積近似代替曲邊梯形的面積A A，得得A A1+ A2用兩個矩形的面積 近似代替曲邊梯形的面積A， 得 y = f(x)bax yOA1A2A A1+ A2+ A3+ A4用四個矩形的面積 近似代替曲邊梯形的面積A， 得 y = f(x)bax yOA1A2A3A4 y = f(x)bax yOA A1+ A2 + + An 將曲邊梯形分成將曲邊梯形分成 n n個小曲邊梯形，并用小矩陣形的面積代替?zhèn)€小曲邊梯形，并用小矩陣形的面積代替小曲邊梯形的面積，小曲邊梯形的面積， 于是曲邊梯形的面積于是曲邊梯形的面積A A近似為近似為A1AiAn 以直代曲以直代曲, ,無限逼近無限逼近 2 2曲邊梯

3、形的面積曲邊梯形的面積 求曲邊梯形的面積即求曲邊梯形的面積即求求 下的面積下的面積)(xfy 0)(xf 分成很窄的小曲邊梯形，分成很窄的小曲邊梯形， 然后用矩形面積代后求和。然后用矩形面積代后求和。 若若“梯形梯形” ” 很窄，很窄，可近似地用矩形面積代替可近似地用矩形面積代替在不很窄時怎么辦？在不很窄時怎么辦？ 以直代曲以直代曲 Oabxy)(xfy Oabxy)(xfy例例1.求拋物線求拋物線y=x2、直線直線x=1和和x軸所圍成的曲邊梯形的面積軸所圍成的曲邊梯形的面積。 n1n2nknn21112222223311 1()()11121110 1(12(1) )1 (1) (21)61

4、1112.6nnnniiiiiiSSfxnnnnnnnnnnnnnnn nnnn xOy解解把底邊把底邊0,10,1分成分成n n等份等份, ,然后在每個分點作底邊的垂線然后在每個分點作底邊的垂線, , 這樣曲邊三角形被分成這樣曲邊三角形被分成n n個窄條個窄條, , 用矩形來近似代替用矩形來近似代替, ,然后把然后把這些小矩形的面積加起來這些小矩形的面積加起來, , 得到一個近似值得到一個近似值: :2xy 因此因此, , 我們有理由相我們有理由相信信, , 這個曲邊三角形這個曲邊三角形的面積為的面積為: :lim111lim1261.3nnnSSnn n1n2nknnxy2xy O n1n

5、2nknnxOy2xy 小結小結: :求由連續(xù)曲線求由連續(xù)曲線y f(x)對應的對應的曲邊梯形曲邊梯形面積的方法面積的方法 有理由相信，分有理由相信，分點越來越密時，即分點越來越密時，即分割越來越細時，矩形割越來越細時，矩形面積和的極限即為曲面積和的極限即為曲邊形的面積。邊形的面積。（1 1）分割分割 （2 2）求面積的和求面積的和 把這些矩形面積相加把這些矩形面積相加 作為整個曲邊形面積作為整個曲邊形面積S S的近似值。的近似值。 （3 3）取極限取極限 n oxy1.5.21.5.2汽車行駛的路程汽車行駛的路程2( )2v tt= -+O Ov t t12gggggg1n2n3njn1nn-1vD2vD2( )2v tt= -+O Ov t t12gggggg3vDjvD1nv-D1n2n3njn1nnnn-001svnD= D111svnD= D221svnD= D1ns-D331svnD= D上圖中上圖中: :所有小矩形的面積之和所有小矩形的面積之和, ,其極限就其極限就是由直線是由直線