高等數(shù)學(xué)課件第八章

1、 在工程問題中，常常需要根據(jù)兩個(gè)變量的在工程問題中，常常需要根據(jù)兩個(gè)變量的幾組實(shí)驗(yàn)數(shù)值幾組實(shí)驗(yàn)數(shù)值實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，來找出這兩個(gè)變實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，來找出這兩個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系的近似表達(dá)式通常把這樣得到量的函數(shù)關(guān)系的近似表達(dá)式通常把這樣得到的函數(shù)的近似表達(dá)式叫做經(jīng)驗(yàn)公式的函數(shù)的近似表達(dá)式叫做經(jīng)驗(yàn)公式. .一、經(jīng)驗(yàn)公式一、經(jīng)驗(yàn)公式問題：如何得到經(jīng)驗(yàn)公式，常用的方法是什么？問題：如何得到經(jīng)驗(yàn)公式，常用的方法是什么？二、最小二乘法二、最小二乘法例例1 1為了測(cè)定刀具的磨損速度，我們做這樣的為了測(cè)定刀具的磨損速度，我們做這樣的實(shí)驗(yàn)：經(jīng)過一定時(shí)間實(shí)驗(yàn)：經(jīng)過一定時(shí)間( (如每隔一小時(shí)如每隔一小時(shí)) )，測(cè)量一，測(cè)量一次刀具

2、的厚度次刀具的厚度, ,得到一組試驗(yàn)數(shù)據(jù)如下：得到一組試驗(yàn)數(shù)據(jù)如下：順序編號(hào)順序編號(hào)i01234567時(shí)間時(shí)間it(小時(shí)小時(shí))01234567刀具厚度刀具厚度iy(毫米毫米)27.0 26.8 26.5 26.3 26.1 25.7 25.3 24.3試試根根據(jù)據(jù)上上面面的的試試驗(yàn)驗(yàn)數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)建建立立y和和t之之間間的的經(jīng)經(jīng)驗(yàn)驗(yàn)公公式式)(tfy . . 觀觀察察可可以以認(rèn)認(rèn)為為)(tfy 是是線線性性函函數(shù)數(shù), ,并并設(shè)設(shè),)(battf 其其中中a和和b是是待待定定常常數(shù)數(shù). .tyo1 247356824252627如圖，在坐標(biāo)紙上畫出如圖，在坐標(biāo)紙上畫出這些點(diǎn)，這些點(diǎn)，因?yàn)檫@些點(diǎn)本來不在

3、一條直線上，我們只因?yàn)檫@些點(diǎn)本來不在一條直線上，我們只能要求選取這樣的能要求選取這樣的 ，使得，使得 在在 處的函數(shù)值與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處的函數(shù)值與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù) 相相差都很小差都很小ba,battf )(710,ttt710,yyy解解首先確定首先確定)(tf的類型的類型. .就是要使偏差就是要使偏差 )7 , 2 , 1 , 0()( itfyii都很小都很小.因此可以考慮選取常數(shù)因此可以考慮選取常數(shù) ，使得，使得 ba, 702)(iiibatyM定義這種根據(jù)偏差的平方和為最小的條件來選定義這種根據(jù)偏差的平方和為最小的條件來選擇常數(shù)擇常數(shù) 的方法叫做最小二乘法的方法叫做最小二乘法ba,這種確定常數(shù)的方

4、法是通常所采用的這種確定常數(shù)的方法是通常所采用的.最小來保證每個(gè)偏差的絕對(duì)值都很小最小來保證每個(gè)偏差的絕對(duì)值都很小M把看成自變量把看成自變量 和和 的一個(gè)二元函數(shù)，的一個(gè)二元函數(shù)，ab那么問題就可歸結(jié)為求函數(shù)那么問題就可歸結(jié)為求函數(shù) 在那在那些點(diǎn)處取得最小值些點(diǎn)處取得最小值.),(baMM 7070; 0)(2, 0)(2iiiiiiibatybMtbatyaM令令即即 7070. 0)(, 0)(iiiiiiibatytbaty將括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)進(jìn)行整理合并，并把未知數(shù)將括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)進(jìn)行整理合并，并把未知數(shù) 和和 分離出來，便得分離出來，便得ab)1(.8,70707070702 iiiiiiiii

5、iiybtatytbta計(jì)算得計(jì)算得,2870 iit,140702 iit, 5 .20870 iiy0 .71770 iiity代入方程組（代入方程組（1）得）得 . 5 .208828,71728140baba解此方程組，得到解此方程組，得到.125.27,3036. 0 ba這樣便得到所求經(jīng)驗(yàn)公式為這樣便得到所求經(jīng)驗(yàn)公式為)2(.125.273036. 0)( ttfy由（由（2）式算出的函數(shù)值）式算出的函數(shù)值 與實(shí)測(cè)與實(shí)測(cè) 的有的有一定的偏差一定的偏差.現(xiàn)列表比較如下：現(xiàn)列表比較如下：)(itfiyit01234567實(shí)實(shí)測(cè)測(cè)iy27.026.826.526.326.125.725.

6、324.3算算得得)(itf27.125 26.821 26.518 26.214 25.911 25.607 25.303 25.000偏偏差差-0.125-0.021 -0.018-0.0860.1890.093-0.003-0.200偏差的平方和偏差的平方和 ，它的平方根它的平方根 108165. 0 M329. 0 M我們把我們把 稱為均方誤差，它的大小在一定稱為均方誤差，它的大小在一定程度上反映了用經(jīng)驗(yàn)公式來近似表達(dá)原來函數(shù)關(guān)程度上反映了用經(jīng)驗(yàn)公式來近似表達(dá)原來函數(shù)關(guān)系的近似程度的好壞系的近似程度的好壞M例例2 2 在研究單分子化學(xué)反應(yīng)速度時(shí)，得到下列數(shù)據(jù)：在研究單分子化學(xué)反應(yīng)速度時(shí)

7、，得到下列數(shù)據(jù)：ii iy其中其中 表示從實(shí)驗(yàn)開始算起的時(shí)間，表示從實(shí)驗(yàn)開始算起的時(shí)間， 表示時(shí)刻表示時(shí)刻反應(yīng)物的量試定出經(jīng)驗(yàn)公式反應(yīng)物的量試定出經(jīng)驗(yàn)公式 y).( fy 解解)( fy 由化學(xué)反應(yīng)速度的理論知道，由化學(xué)反應(yīng)速度的理論知道， 應(yīng)是應(yīng)是指數(shù)函數(shù)：指數(shù)函數(shù)：, mkey 其中其中 和和 是待定常數(shù)是待定常數(shù).km12345678369121518212457.641.931.022.716.612.28.96.5由于由于所以仿照例所以仿照例1中的討論中的討論,通過求方程組通過求方程組)3(lg8,lg81818181812 iiiiiiiiiiiybayba 的解的解,把把 確定出

8、來確定出來.ba,lgbay 討論：討論：通過計(jì)算得通過計(jì)算得,10881 ii ,1836812 ii , 3 .10lg81 iiy.122lg81 iiiy 將他們代入方程組（將他們代入方程組（3）得）得 . 3 .108108,1221081836baba解這方程組，得解這方程組，得 .8964. 1lg,045. 04343. 0kbma.78.78,1036. 0 km因此所求經(jīng)驗(yàn)公式為因此所求經(jīng)驗(yàn)公式為.78.781036. 0 ey三、小結(jié)三、小結(jié)用的一種用的一種，其中最小二乘法是常，其中最小二乘法是常作曲線擬合有多種方法作曲線擬合有多種方法，給定平面上一組點(diǎn)給定平面上一組點(diǎn)), 3 , 2 , 1(),(niyxii 最小二乘法的原理：最小二乘法的原理： 達(dá)到最小達(dá)到最小，使，使求求 niiibatyMtf12)()(注意：計(jì)算機(jī)與數(shù)據(jù)擬合注意：計(jì)算機(jī)與數(shù)據(jù)擬合（參看高等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課講義郭錫伯徐安農(nóng)編）（參看高等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課講義郭錫伯徐安農(nóng)編）練練 習(xí)習(xí) 題題:(%)0的數(shù)據(jù)如下表的數(shù)據(jù)如下表與與，由實(shí)驗(yàn)測(cè)得，由實(shí)驗(yàn)測(cè)得為為，其溶解溫度，其溶解溫度為為比比某種合金