剛體定軸轉(zhuǎn)動定律

1、剛體定軸轉(zhuǎn)動定律剛體定軸轉(zhuǎn)動定律 剛體的基本運動可以分為剛體的基本運動可以分為平動平動和和轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動，剛體的，剛體的各種復(fù)雜運動都可以看成是這兩種運動的合成。各種復(fù)雜運動都可以看成是這兩種運動的合成。 剛體的平動是指剛體在運剛體的平動是指剛體在運動過程中其中任意兩點的連動過程中其中任意兩點的連線始終保持原來的方向（或線始終保持原來的方向（或者說，在運動的各個時刻始者說，在運動的各個時刻始終保持彼此平行）。終保持彼此平行）。 特點：其中各點在任意相同的時間內(nèi)具有相同的位特點：其中各點在任意相同的時間內(nèi)具有相同的位移和運動軌跡，也具有相同的速度和加速度。因而移和運動軌跡，也具有相同的速度和加速度。因

2、而剛體上任一點的運動都可代表整個剛體的運動。剛體上任一點的運動都可代表整個剛體的運動。平動的剛體可看作質(zhì)點。平動的剛體可看作質(zhì)點。剛體的轉(zhuǎn)動比較復(fù)雜，我們只研究定軸轉(zhuǎn)動。剛體的轉(zhuǎn)動比較復(fù)雜，我們只研究定軸轉(zhuǎn)動。 剛體的定軸轉(zhuǎn)動是指剛體的定軸轉(zhuǎn)動是指剛體上各點都繞同一直線剛體上各點都繞同一直線作圓周運動，而直線本身作圓周運動，而直線本身在空間的位置保持不動的在空間的位置保持不動的一種轉(zhuǎn)動，這條直線稱為一種轉(zhuǎn)動，這條直線稱為轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸。剛體定軸轉(zhuǎn)動的特點：剛體定軸轉(zhuǎn)動的特點： 1. 1.剛體上各個質(zhì)點都在作圓周運動，但各質(zhì)點圓周剛體上各個質(zhì)點都在作圓周運動，但各質(zhì)點圓周運動的半徑不一定相等。運動的半

3、徑不一定相等。 2. 2.各質(zhì)點圓周運動的平面垂直于轉(zhuǎn)軸線，圓心在軸各質(zhì)點圓周運動的平面垂直于轉(zhuǎn)軸線，圓心在軸線上，這個平面我們稱為線上，這個平面我們稱為轉(zhuǎn)動平面轉(zhuǎn)動平面。 3. 3.各質(zhì)點的位矢在相同的時間內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度是相同的。各質(zhì)點的位矢在相同的時間內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度是相同的。o 描寫剛體轉(zhuǎn)動位置的物理量。描寫剛體轉(zhuǎn)動位置的物理量。Px在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)，過在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)，過O O點作點作一極軸，設(shè)極軸的正方向一極軸，設(shè)極軸的正方向是水平向右，則是水平向右，則OPOP與極與極軸之間的夾角為軸之間的夾角為 。1.1.角坐標(biāo)角坐標(biāo) 根據(jù)定軸轉(zhuǎn)動剛體的特點，我們用角量來描述剛根據(jù)定軸轉(zhuǎn)動剛體的特點，我們用角量

4、來描述剛體的定軸轉(zhuǎn)動較為方便，而且只要描寫轉(zhuǎn)動平面內(nèi)體的定軸轉(zhuǎn)動較為方便，而且只要描寫轉(zhuǎn)動平面內(nèi)從圓心到某一質(zhì)點矢徑的轉(zhuǎn)動情況就足夠了。從圓心到某一質(zhì)點矢徑的轉(zhuǎn)動情況就足夠了。 角稱為角稱為角坐標(biāo)（或角位置）角坐標(biāo)（或角位置）。角坐標(biāo)為標(biāo)量。但可有正負(fù)。角坐標(biāo)為標(biāo)量。但可有正負(fù)。2.2.角位移角位移描寫剛體位置變化的物理量。描寫剛體位置變化的物理量。角坐標(biāo)的增量角坐標(biāo)的增量：稱為剛體的稱為剛體的角位移角位移xyP p2v1vR3.3.角速度角速度描寫剛體轉(zhuǎn)動快慢和方向描寫剛體轉(zhuǎn)動快慢和方向的物理量。的物理量。tt0limdtd角速度角速度方向：方向：滿足右手定則，沿剛體轉(zhuǎn)動方向右旋大拇指指向。

5、滿足右手定則，沿剛體轉(zhuǎn)動方向右旋大拇指指向。 角速度是矢量，但對于剛體定軸角速度是矢量，但對于剛體定軸轉(zhuǎn)動角速度的方向只有兩個，在表轉(zhuǎn)動角速度的方向只有兩個，在表示角速度時只用角速度的正負(fù)數(shù)值示角速度時只用角速度的正負(fù)數(shù)值就可表示角速度的方向，不必用矢就可表示角速度的方向，不必用矢量表示。量表示。剛體上任一質(zhì)元的速度表示為：剛體上任一質(zhì)元的速度表示為：rvvr4.4.角加速度角加速度tt0limdtdrv,rdtdrdtdvat剛體上任一質(zhì)元的切向加速度和法向加速度表示為：剛體上任一質(zhì)元的切向加速度和法向加速度表示為：22,rrvan00 角加速度是矢量，但對于角加速度是矢量，但對于剛體定軸轉(zhuǎn)

6、動角加速度的方剛體定軸轉(zhuǎn)動角加速度的方向只有兩個，在表示角加速向只有兩個，在表示角加速度時只用角加速度的正負(fù)數(shù)度時只用角加速度的正負(fù)數(shù)值就可表示角加速度的方向，值就可表示角加速度的方向，不必用矢量表示。不必用矢量表示。說明：說明： 角坐標(biāo)、角位移、角坐標(biāo)、角位移、角速度和角加速度等角量角速度和角加速度等角量是用來描述定軸轉(zhuǎn)動剛體是用來描述定軸轉(zhuǎn)動剛體的整體運動，也可用來描的整體運動，也可用來描述質(zhì)點的曲線運動；述質(zhì)點的曲線運動；1 . .力對固定點的矩力對固定點的矩FrM 這種情況相當(dāng)于質(zhì)點繞固定這種情況相當(dāng)于質(zhì)點繞固定點點O O轉(zhuǎn)動的情形。轉(zhuǎn)動的情形。2 . .力對固定軸的矩力對固定軸的矩（

7、1）力垂直于轉(zhuǎn)軸）力垂直于轉(zhuǎn)軸OPdrrFM（2）力與轉(zhuǎn)軸不垂直）力與轉(zhuǎn)軸不垂直FF轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸o rFz轉(zhuǎn)動平面轉(zhuǎn)動平面 可以把力分解為平行于轉(zhuǎn)軸可以把力分解為平行于轉(zhuǎn)軸的分量和垂直于轉(zhuǎn)軸的分量。的分量和垂直于轉(zhuǎn)軸的分量。 平行轉(zhuǎn)軸的力不產(chǎn)生轉(zhuǎn)動效果，平行轉(zhuǎn)軸的力不產(chǎn)生轉(zhuǎn)動效果，該力對轉(zhuǎn)軸的力矩為零。該力對轉(zhuǎn)軸的力矩為零。FrM大?。捍笮。簊inrFMa) 必須指明是對誰的角動必須指明是對誰的角動量量；大小：大?。篖 r m v sin 方向：方向：右手螺旋定則判定右手螺旋定則判定質(zhì)點對一固定參考點的角動量：質(zhì)點對一固定參考點的角動量：v vm mr rP Pr rL LmoprP PP Lro

8、b)作圓周運動的質(zhì)點的角動量作圓周運動的質(zhì)點的角動量 L r m v c)角動量是描述轉(zhuǎn)動狀態(tài)的物理量角動量是描述轉(zhuǎn)動狀態(tài)的物理量；d)質(zhì)點的角動量又稱為動量矩質(zhì)點的角動量又稱為動量矩。注意：注意：LdtvmrddtLd)(dtvmdrvmdtrd)(FrirPov在以角速度在以角速度作定軸轉(zhuǎn)動的剛體作定軸轉(zhuǎn)動的剛體內(nèi)取一質(zhì)點內(nèi)取一質(zhì)點 mi ，則其對則其對OZOZ軸軸的角動量為：的角動量為：對于整個剛體，各質(zhì)點對定軸的角動量都具有相同的對于整個剛體，各質(zhì)點對定軸的角動量都具有相同的方向。則定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量就是對組成剛體的所方向。則定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量就是對組成剛體的所有質(zhì)點的角動量求和。

9、有質(zhì)點的角動量求和。iiiirvmL)(iiirvmL)(2iirm)(2iirmJ2iirmJ稱為剛體對轉(zhuǎn)軸的稱為剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量對于定軸轉(zhuǎn)動剛體對于定軸轉(zhuǎn)動剛體dtdLM JM 剛體定軸轉(zhuǎn)動定理：剛體定軸轉(zhuǎn)動定理：amFdtJdM)(對對進(jìn)行處理得到：進(jìn)行處理得到：00000)(JJJdMdtJJtt剛體定軸轉(zhuǎn)動角動量定理剛體定軸轉(zhuǎn)動角動量定理dtJd)(J剛體的轉(zhuǎn)動慣量的定義是：剛體的轉(zhuǎn)動慣量的定義是：六、轉(zhuǎn)動慣量六、轉(zhuǎn)動慣量niiirmJ12若剛體為連續(xù)體，則用積分代替求和：若剛體為連續(xù)體，則用積分代替求和：dmrJ2JM amF,比較以下兩個式子：比較以下兩個式子：轉(zhuǎn)動慣

10、量是表示轉(zhuǎn)動慣性的量。轉(zhuǎn)動慣量是表示轉(zhuǎn)動慣性的量。例例1、長為長為 l、質(zhì)量為質(zhì)量為 m 的勻質(zhì)細(xì)桿，繞與桿的勻質(zhì)細(xì)桿，繞與桿垂直的質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動，求轉(zhuǎn)動慣量垂直的質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動，求轉(zhuǎn)動慣量 J。xo解：解：建立坐標(biāo)系，分割質(zhì)量元建立坐標(biāo)系，分割質(zhì)量元dxxdmxJ22121ml222lldxlmx例例2、長為長為 l、質(zhì)量為質(zhì)量為 m 的勻質(zhì)細(xì)桿，繞細(xì)桿的勻質(zhì)細(xì)桿，繞細(xì)桿一端軸轉(zhuǎn)動，求轉(zhuǎn)動慣量一端軸轉(zhuǎn)動，求轉(zhuǎn)動慣量 J。解：解：xodxxdmxJ2ldxlmx02231mlJ 與剛體質(zhì)量、質(zhì)量分布、軸的位置有關(guān)與剛體質(zhì)量、質(zhì)量分布、軸的位置有關(guān)例例3：在無質(zhì)輕桿的在無質(zhì)輕桿的 b 處與處與 3b 處

11、各系質(zhì)量為處各系質(zhì)量為 2m 和和 m 的質(zhì)點，可繞的質(zhì)點，可繞 o 軸轉(zhuǎn)動，求：質(zhì)點軸轉(zhuǎn)動，求：質(zhì)點系的轉(zhuǎn)動慣量系的轉(zhuǎn)動慣量J。解：解：221iiirmJ22)3(2bmmb211mbbb3omm2例例4、半徑為半徑為 R 質(zhì)量為質(zhì)量為 M 的圓環(huán)，繞垂直于圓環(huán)平面的圓環(huán)，繞垂直于圓環(huán)平面的質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動，求轉(zhuǎn)動慣量的質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動，求轉(zhuǎn)動慣量J。RModmdmRJ2解：解：2MRRM例例5、半徑為半徑為 R 質(zhì)量為質(zhì)量為 M 的圓盤，繞垂直于圓的圓盤，繞垂直于圓盤平面的質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動，求轉(zhuǎn)動慣量盤平面的質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動，求轉(zhuǎn)動慣量 J。rdr解：解：分割圓盤為圓環(huán)分割圓盤為圓環(huán)rdrRMdm22dmrJ22

12、21MRRrdrRMr0222定理表述：定理表述：剛體繞平行于質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量剛體繞平行于質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量 J，等于繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量等于繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量 JC 加上剛體質(zhì)量與加上剛體質(zhì)量與兩軸間的距離平方的乘積：兩軸間的距離平方的乘積：2mdJJC 剛體繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量最小剛體繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量最小CJJmR221mRJC如：如：2mRJJC2221mRmR dmxJy2,dmrJz2dmxdmy22yxJJdmyx)(22zyxodmxyrdmyJx2證明：證明：定理表述：定理表述：質(zhì)量質(zhì)量平面分布平面分布的剛體，繞垂直于的剛體，繞垂直于平面軸的轉(zhuǎn)動慣量等于平面內(nèi)兩正交軸的轉(zhuǎn)平面軸的轉(zhuǎn)

13、動慣量等于平面內(nèi)兩正交軸的轉(zhuǎn)動慣量之和：動慣量之和：yxzJJJ例例6、半徑為半徑為 R 質(zhì)量為質(zhì)量為 M 的圓盤，求繞直徑軸的圓盤，求繞直徑軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動慣量Jy。解：解：圓盤繞垂直于盤面的質(zhì)心圓盤繞垂直于盤面的質(zhì)心 z 軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動慣量為：動慣量為：221MRJzyxzJJJzyJJ21zyJ2241MRyx例例7、長為長為 l、質(zhì)量為質(zhì)量為 m 的細(xì)桿，初始時的角速度的細(xì)桿，初始時的角速度為為 0，由于細(xì)桿與桌面，由于細(xì)桿與桌面的摩擦，經(jīng)過時間的摩擦，經(jīng)過時間 t 后桿后桿靜止，求摩擦力矩靜止，求摩擦力矩 M阻阻。lo解：解：由勻變速轉(zhuǎn)動公式由勻變速轉(zhuǎn)動公式: :t

14、0t0細(xì)桿繞一端的轉(zhuǎn)動慣量細(xì)桿繞一端的轉(zhuǎn)動慣量231mlJ摩擦阻力矩為：摩擦阻力矩為：JM阻tml02311m2mRM,1mgm11TRM,1T2T2T2m解：解：amTgm111 （1）amT22 （2 2）JRTT)(21（3 3）221MRJ例例8 8、質(zhì)量為質(zhì)量為 m1 和和m2 兩個物兩個物體，跨在定滑輪上體，跨在定滑輪上 m2 放在光放在光滑的桌面上，滑輪半徑為滑的桌面上，滑輪半徑為 R，質(zhì)量為質(zhì)量為 M，求：求：m1 下落的加下落的加速度，和繩子的張力速度，和繩子的張力 T1、T2。Ra（4 4）聯(lián)立方程，求解得：聯(lián)立方程，求解得：2/211Mmmgma2/)2/(21211MmmgMmmT2/21212MmmgmmT當(dāng)當(dāng) M= =0 時：時：212121mmgmmTT1m2mRM