第一節(jié)導數的概念(2課時)

1、一、引例一、引例二、導數的定義二、導數的定義五、五、導數的基本公式導數的基本公式三、導數的幾何意義三、導數的幾何意義四、函數的可導性與連續(xù)性的關系四、函數的可導性與連續(xù)性的關系第三章第三章導數與微分導數與微分 第三章第三章 第一節(jié)第一節(jié) 導數的概念導數的概念 一、導數概念的引例一、導數概念的引例例例1 1 變速直線運動的速度 ?)(0tv)(tss 0s-)(0ttsttsttsv)()(00時，0 t vtvt00lim)(0tvv )(0ts-ttsttst)()(lim000例例2 曲線的切線斜率曲線的切線斜率xoy)(xfy C NM T1.何為切線？何為切線？如圖，如圖，如果割線MN

2、繞點 M旋轉而趨向極限位置MT,直線直線MTMT就稱為曲線就稱為曲線C C在點在點M M處的處的切線切線。切線：切線：割線的極限割線的極限播放播放MNT切線：切線：割線的極限割線的極限MTN切線：切線：割線的極限割線的極限MTN切線：切線：割線的極限割線的極限MTN切線：切線：割線的極限割線的極限MTN切線：切線：割線的極限割線的極限MTN切線：切線：割線的極限割線的極限MTN切線：切線：割線的極限割線的極限MTN切線：切線：割線的極限割線的極限MTN切線：切線：割線的極限割線的極限MTN切線：切線：割線的極限割線的極限MTN2. 曲線的切線斜率曲線的切線斜率)(,(),(,(00 xfxNx

3、fxM設的斜率為割線MN曲線曲線)(:xfyC在在 M 點處的切線點處的切線割線割線 M N 的極限位置的極限位置 M Txoy)(xfy C NM Tx0 x00 xxyykMN,)()(00 xxxfxf,MNC沿曲線的斜率為切線MT00)()(limlim0 xxxfxfkkxxMNMNMT,MTMNkk兩個問題的兩個問題的共性共性:xyx0limso)(0ts)(0tts瞬時速度瞬時速度 lim00ttv)()(00tsttst切線斜率切線斜率xyo)(xfy CNT0 xMx lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx 所求量為所求量為函數增量函數增量與與自變量增量之比自變量增量之

4、比的極限的極限 .tst0lim0ttt0二、導數的定義二、導數的定義00)()(lim0 xxxfxfxx)()(0 xfxfy0 xxx記作記作:;0 xxy; )(0 xf ;dd0 xxxy0d)(dxxxxf即即)(0 xf xyx0limxxfxxfx)()(lim000hxfhxfh)()(lim000 xyx0lim存在存在,若若1定義定義 . 設函數設函數)(xfy 在點在點0 x的某鄰域內有定義的某鄰域內有定義 , )(xf則稱函數則稱函數在點在點0 x處處可導可導, 并稱此極限為并稱此極限為)(xfy 在點在點0 x的的導數導數。 00)()(lim0 xxxfxfxx處

5、不可導。處不可導。 0 x注：注：若上若上述極限不述極限不存在，存在，就說函數在點就說函數在點 右導數右導數: :左導數左導數: :;)()(lim)()(limlim)(00000000 xxxfxfxxfxxfxyxfxxxx;)()(lim)()(limlim)(00000000 xxxfxfxxfxxfxyxfxxxx2.單側導數單側導數 定理定理1 1 函數在點 處可導 左導數和右導數都存在且相等. 0 x解：解：1( )(1)(1)lim1xf xffx3111(1)(1)3 3limlimlim (1)211xxxx xxxxx xxx 1( )(1)(1)lim1xf xffx

6、112(1)21 3limlim211xxxxxx 3.導函數導函數.),)(,),)(1內可導在（就稱函數內每個點都可導（在區(qū)間：設）開區(qū)間內的可導函數（baxfbaxfy .,)(,),)(2上可導在閉區(qū)間存在左導數，則稱函數點處存在右導數，在右端且在左端點內可導（在開區(qū)間：設）閉區(qū)間內的可導函數（baxfbxaxbaxfy0)()(0 xxxfxf注：注：的函數值。在處的導數等于其導函數即函數在00 xx) 1 ()(32fxxf求已知例)(xf 則稱的導函數，簡稱導數。對自變量為函數xxfy)(dxxdfdxdyxfy)(),(,或記作（3）導函數的定義）導函數的定義存在，則)(,xf

7、Ix、半開區(qū)間）可以是開區(qū)間、閉區(qū)間（在區(qū)間設函數IIxfy)(上可導，xxfxxfxyxx)()(lim00lim三、導數的幾何意義三、導數的幾何意義).)(000 xxxfyy oxy)(xfy T0 xM)(,tan)(,)(,()()(0000為傾角為傾角即即切線的斜率切線的斜率處的處的在點在點表示曲線表示曲線 xfxfxMxfyxf切線方程為切線方程為:法線方程為法線方程為:. 0)()()(10000 xfxxxfyy，例例3.23.2例例4 4.,)4 , 2(2方程和法線方程并寫出在該點處的切線處的切線的斜率在點求曲線xy 解解 由導數的幾何意義可知，由導數的幾何意義可知，2x

8、yk切切線方程為：切線方程為：法線方程為：法線方程為：),2(44xy),2(414xy. 044 yx即. 0184 yx即2)(2xx422切線斜率為：切線斜率為：2)2(xx四、可導與連續(xù)的關系四、可導與連續(xù)的關系結論：結論： 可導必連續(xù)可導必連續(xù)、連續(xù)不一定可導。連續(xù)不一定可導。證證,)(0可可導導在在點點設設函函數數xxf)(lim00 xfxyx )(0 xfxyxxxfy )(0)(limlim000 xxxfyxx 0 .)(0連續(xù)在點則函數xxf)0(0 x 例例5處連續(xù)性與可導性。在討論函數0)(xxxf解解xy xyoxxxxxfxffxxx000limlim0)0()(

9、lim)0(, 1 . 1 ),0()0( ff即即.0)(點不可導點不可導在在函數函數 xxfy處連續(xù)在有定義0)()0(0lim)(lim)0(0lim)(lim0)0(0000 xxxffxxffxxffxxxxxxxxxfxffxxx000limlim0)0()(lim)0( 這就是常值函數的導數公式常值函數的導數公式，利用該公式可以求出具體的常值函數的導數五、導數的基本公式五、導數的基本公式這就是正弦函數的導數公式正弦函數的導數公式0()( )( )limxf xxf xfxx 0sin() sinlimxxxxx 02sincos()22limxxxxx 0sin2limcos22

10、xxxxx cosx即(sin )cosxxxxsin)(cos 同樣地，即0()( )( )limxf xxf xfxx 0log ()loglimxxxxaax 0log1limxxaxx 01limlog (1)xxxaxxx 01lim log1xxxxaxx 1log eax1lnxa1(log)lnxaxa這就是對數函數的導數公式對數函數的導數公式xx1)(ln 特別地，特別地，222222111)cot16)(arc 11)(arctan1511)arccos14)( 11)(arcsin131)(ln 12) ln1)(log11)( 10) ln)( )9cotcsc)(csc 8) tansec)sec( )7csc)(cot 6) sec)(tan )5sin)cos( 4) cos)(sin )3)( 2) 0)( 1xxxxxxxxxxaxxeeaaaxxxxxxxxxxxxxx