基本不等式(第二課時)

1、普通高中課程標準試驗教科書人教A版數學必修5a ab ba a b b2 2 ( (第二課時第二課時) )第三章第三章 不等不等式式1. 掌握掌握“兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數”的定理的定理.了解它的變式：了解它的變式：(1)a2+b22ab(a，bR)； (2) (a，bR+)；(3) (ab0)； (4) (a，bR).以上各式當且僅當以上各式當且僅當ab時取等號，并注意各式中字母的取時取等號，并注意各式中字母的取值要求值要求. abba22baab22222baba2.理解四個理解四個“平均數平均數”的大小關系；的大小關系；a，bR

2、+，則，則 其中當且僅當其中當且僅當ab時取等號時取等號.2222babaabbaab2復習復習: 變式變式 x 0 , 所以2121xxxx 當且僅當 時, 即x =1時取等號, 所以當 x =1時, 的值最小, 最小值為2.xx1xx1 練習練習 1. x0 , 當當 x 取什么值時取什么值時, 的值的值最小最小?最小值是多少最小值是多少?xx1解解: 因為因為 x 0. 2)1()(2)1()(xxxx 當且僅當當且僅當 時時, 即即 x = - 1時取等號時取等號, 所以當所以當 x = - 1時時, 的值最大的值最大, 最大值為最大值為 - 2.xx1xx12)1()(1 xxxx故

3、 變式變式 x 0 , 當 x 取什么值時, 的值最大? 最大值是多少?xx1已知x,y都是正數, 求證:(1)如果積 xy 是定值P,那么當x =y時,和 x+y有最小值(2)如果和 x+y是定值S,那么當x =y時,積 xy 有最大值; 2 P.412S證明:x, y都是正數, .2xyyx(1)積xy為定值P時, 有.2 ,2PyxPyx上式當x=y時取”=”號, 因此,當x=y時,和x+y有最小值; 2 P(2)和x+y為定值S時, 有.41 ,22Sxyyxxy上式當x=y時取”=”號, 因此,當x=y時,積xy有最大值.412S極值定理極值定理:(1)(1)如如果果積積xyxy是是

4、定定值值P,P,那那么么當當xyxy時時, ,和和xyxy有有最最小小值值2 P;2 P; 2 2(2)(2)如如果果和和xyxy是是定定值值S,S,那那么么當當xyxy時時, ,1 1積積xyxy有有最最大大值值S .S .4 4注意：用均值不等式求最值的條件注意：用均值不等式求最值的條件: 一正二定三相等一正二定三相等用均值不等式求最值的規(guī)則用均值不等式求最值的規(guī)則: 和定積最和定積最大大,積定和最積定和最小小例例1:2 22 28 81 1. . 已已知知x x0 0, ,求求x x的的最最小小值值. .x x 解解:, 0 x,81,22Rxx1881281,2222xxxx得由平均不

5、等式,3,8122時當且僅當xxx.188122的最小值為xx 如果給定條件為如果給定條件為X X4 4結論有變化嗎結論有變化嗎? ? 的是下列函數中，最小值為4xxxfA4)(.xxxfBsin4sin)(.xxxfC343)(. ( )lg4log 10 xD f xxC,E練習練習:1. ( )(2)2E f xxxx225. ( )1xF f xx極值定理可以理解為極值定理可以理解為:;22)(,) 1 (minPxyyxyxyxPxyyx有最小值和時且是定值的積與當兩個正數.41)2()(,)2(22maxSyxxyxyyxSyxyx有最大值積時且為定值的和當兩個正數用極值定理求最值

6、的三個必要條件用極值定理求最值的三個必要條件 :一一“正正”、二、二“定定”、三、三“相等相等”.,最大值定值相加最小值定值相乘2 2a ab b( (1 1) ) 已已知知a a, ,b b, ,x x, ,y yR R 且且1 1, ,x xy y求求證證：x xy y( ( a ab b) ). . 解解:ybxxaybaybxayxyxyx)(1)(2)(2bayxbxayba2min)()( ,bayxbayxyxbxay時即當且僅當例例2:,21,1132 2,x yRxyxy(2)已知且求證：并指出等號成立的條件。練習練習1:.)21 (,210的最大值求函數已知xxyx解解:,

7、210 x2x,12x0,2x,12x0,)21 (221xxy.81)2212(212xx.,41,212等號成立時當且僅當xxx.81,41函數的最大值為時當 x練習練習2:40,2 3.xxx已知求的最大值是_證明證明,4,3, 0Rxxx, 3443243xxxx, 342)43(2432xxxx. 342432 ,332,43的最大值是時當且僅當xxxxx,3_.a bababab2.若均為正數，且，則的取值范圍是, , ,()()_.acbda b c dbdac1.若均為正數，則的最小值為4ab92220,0,1,21babaab3.設求的最大值。練習練習3:D例例3:其容積體無

8、蓋貯水池某工廠要建造一個長方,?,1201,1501,3,4800223最低總造價是多少造價最低問怎樣設計水池能使總元的造價為池壁每元的造價為如果池底每深為為mmmm解解:,34800,元水池總造價為則另一邊的長為為設水池底面一邊的長度ymxxm)348003232(12034800150 xxxxy得依題意,)1600(720240000 xx.29760016002720240000 xx.297600,40,1600有最小值時即當且僅當yxxx.297600,40,元最低總造價為水池的總造價最低的正方形時當水池的底面是邊長為因此mAAAAAB練習練習3:一段長為一段長為Lm的籬笆圍成一個

9、一邊靠墻的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園的矩形菜園,問這個矩形的長問這個矩形的長,寬各為多少時寬各為多少時,菜菜園的面積最大園的面積最大,最大面積是多少最大面積是多少?xxl2解解:,)2(,mxlxm則另一邊為設矩形靠墻一邊的長為)2(xlxS依題意矩形的面積為)2(221)2(xlxxlxS.81)22(412122lxlx.,4,22矩形的面積最大時當且僅當lxxlx練習練習4:.21,:2dd這個正方形的面積等于大的為正方形面積最的圓的內接矩形中在直徑為求證dx22,xdx則另一邊長為設矩形的一邊長為如圖證明一證明一)(22222xdxxdxS面積2222221)2(dxdx.22,2

10、22時等號成立當且僅當dxxdx.21,2d其最大面積為時即當這個矩形為正方形練習練習:.21,:2dd這個正方形的面積等于大的為正方形面積最的圓的內接矩形中在直徑為求證證明二證明二dcossin,dd和則矩形的兩邊分別為角為設矩形一邊與直徑的夾如圖cossinddS矩形的面積,2sin21cossin22122dd2max21,4, 12sindS時當且僅當.21,2d其最大面積為時即當這個矩形為正方形練習練習:.21,:2dd這個正方形的面積等于大的為正方形面積最的圓的內接矩形中在直徑為求證.,222xySdyxyx面積則設矩形的邊長為如圖證明三證明三2max21,dSyx 時當且僅當.21,2d其最大面積為時即當這個矩形為正方形dxy,222xyyx222212dyxxyS算術平均數與幾何平均數算術平均數與幾何平均數 個數的算術平均數叫做這nnaaan21個數的幾何平均數叫做這naaann21 n個正數的算術平均數個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數不小于它們的幾何平均數 2 23 3求求函函數數y