探索勾股定理

1、 探索勾股定理（探索勾股定理（1）1 勾股定理勾股定理千古第一定理千古第一定理 在古代，許多民族發(fā)現(xiàn)了這個事實，即直角三角形的三條邊長在古代，許多民族發(fā)現(xiàn)了這個事實，即直角三角形的三條邊長為為a,b,ca,b,c，則，則 ，其中，其中 a,b a,b是直角邊長，是直角邊長，c c是斜邊長，我是斜邊長，我國的算術(shù)國的算術(shù)周髀算經(jīng)周髀算經(jīng)中，就有勾股定理的記載，為了紀念我國古中，就有勾股定理的記載，為了紀念我國古人的偉大成就，就把這個定理命名為人的偉大成就，就把這個定理命名為“勾股定理勾股定理”或或“商高定理商高定理”，在，在西方，被稱為西方，被稱為“畢達哥拉斯畢達哥拉斯”定理或定理或“百牛百牛”

2、定理。不管怎么說，勾股定理。不管怎么說，勾股定理都是數(shù)學中的偉大定理，它給人們的巨大力量可說是難以估量，定理都是數(shù)學中的偉大定理，它給人們的巨大力量可說是難以估量，乎所有的生產(chǎn)技術(shù)和科學研究都離不開它。它的重要性主要表現(xiàn)在：乎所有的生產(chǎn)技術(shù)和科學研究都離不開它。它的重要性主要表現(xiàn)在： （1 1）勾股定理是聯(lián)系數(shù)學最基本的，也是最原始的兩個對象）勾股定理是聯(lián)系數(shù)學最基本的，也是最原始的兩個對象數(shù)與形的第一定理；數(shù)與形的第一定理； （2 2）勾股定理導致無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，這就是所謂的第一次數(shù)學危機；）勾股定理導致無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，這就是所謂的第一次數(shù)學危機； （3 3）勾股定理開始把數(shù)學由計算與測量的技術(shù)

3、轉(zhuǎn)變?yōu)樽C明和推理）勾股定理開始把數(shù)學由計算與測量的技術(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)樽C明和推理的科學；的科學； （4 4）勾股定理中的公式是第一個不定方程，有許許多多組數(shù)滿足）勾股定理中的公式是第一個不定方程，有許許多多組數(shù)滿足這個方程，也是最早得出完整解答的不定方程，它一方面引導出各這個方程，也是最早得出完整解答的不定方程，它一方面引導出各式各樣的不定方程，包括著名的費馬大定理，另一方面也為不定方式各樣的不定方程，包括著名的費馬大定理，另一方面也為不定方程的解題程序樹立了一個范式。程的解題程序樹立了一個范式。222abcABC圖圖1-2BC圖圖1-1A（圖中每個小方格代表一個單位面積）（圖中每個小方格代表一個單位面

4、積）（1）觀察圖）觀察圖1-1 正方形正方形A中含中含有有 個小方格，即個小方格，即A的面積是的面積是 個單個單位面積；位面積； 正方形正方形B中含中含有有 個小方格，即個小方格，即B的面積是的面積是 個單個單位面積；位面積； 正方形正方形C中含中含有有 個小方格，即個小方格，即C的面積是的面積是 個單個單位面積。位面積。 正方形正方形A，B，C的面積之間有什么的面積之間有什么關(guān)系嗎？關(guān)系嗎？看看 一一 看看 99189918ABC圖圖1-3ABC圖圖1-4做做一一做做（1）觀察圖）觀察圖1-3，圖，圖1-4，并填寫下表：，并填寫下表：A的面積的面積（單位面積）（單位面積）B的面積的面積（單位

5、面積）（單位面積）C的面積的面積（單位面積）（單位面積）圖圖1-3圖圖1-4（2）三個正方）三個正方形形A，B，C的的面積之間有什面積之間有什么關(guān)系？么關(guān)系？169254913議一議議一議（1）你能用三角形的邊長表示正方形）你能用三角形的邊長表示正方形的面積嗎？的面積嗎？（2）你能發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊長度之）你能發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊長度之間存在什么關(guān)系嗎？間存在什么關(guān)系嗎？做一做做一做 分別以分別以5厘米、厘米、12厘厘米為直角三角形的直角米為直角三角形的直角邊做出一個直角三角形，邊做出一個直角三角形，并測量斜邊的長度并測量斜邊的長度.前面得到的規(guī)律對這個三角形還成立嗎？前面得到的規(guī)律對這個三角形

6、還成立嗎？勾股定理勾股定理 如果直角三角形兩直角邊分別為如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜，斜邊為邊為c，那么，那么a2 + b2 = c2即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.問題解決問題解決問題情境問題情境 某樓房三樓失火，消防隊員趕來救火，某樓房三樓失火，消防隊員趕來救火，了解到每層樓高了解到每層樓高3米，消防隊員取來米，消防隊員取來6.5米長米長的云梯的云梯,如果梯子的底部離墻基的距離是如果梯子的底部離墻基的距離是2.5米米,請問消防隊員能否進入三樓滅火請問消防隊員能否進入三樓滅火? 歐幾里得歐幾里得（Euclid of Alexan

7、dria; 約約 325 B.C. 約約 265 B.C.） 歐幾里的歐幾里的的幾何原本的幾何原本是用公理方法建立演繹是用公理方法建立演繹數(shù)學體系的最早典范數(shù)學體系的最早典范 幾何原本第一卷的幾何原本第一卷的第第 47 命題也有對勾股定命題也有對勾股定理的證明。理的證明。 加菲（James A. Garfield； 1831 1881） 1881 年成為美國第 20 任總統(tǒng) 1876 年提出有關(guān)證明想一想想一想 小明媽媽買了一部小明媽媽買了一部29英寸（英寸（74厘米）的厘米）的電視機電視機.小明量了電視機的屏幕后，發(fā)現(xiàn)屏幕小明量了電視機的屏幕后，發(fā)現(xiàn)屏幕只有只有58厘米長和厘米長和46厘米寬

8、，他覺得一定是售厘米寬，他覺得一定是售貨員搞錯了貨員搞錯了.你同意他的想法嗎？你能解釋這你同意他的想法嗎？你能解釋這是為什么嗎？是為什么嗎？練一練練一練 1. 如圖，根據(jù)以下數(shù)學情境，你可以提出多少個如圖，根據(jù)以下數(shù)學情境，你可以提出多少個數(shù)學問題？你能解決所提出的問題嗎？數(shù)學問題？你能解決所提出的問題嗎？35x2. 若正方形的面積為若正方形的面積為2cm2，則它的對角線長，則它的對角線長是是 .3. 一個直角三角形的三邊為三個連續(xù)偶數(shù)，則它的三邊一個直角三角形的三邊為三個連續(xù)偶數(shù)，則它的三邊長分別為長分別為 .4 .在在 ABC中中, C=90, (1)若若a=5,b=12,則則c=_. (

9、2)若若a=15,c=25,則則b=_. (3)若若c=61,b=60,則則a=_. (4)若若a:b=3:4,c=10,則則a=_,b=_.5 .在直角在直角 ABC中中,a=5,c=13,則則 ABC的面積的面積 S=_.6. 在直角在直角 ABC中中, C=90,c=20,b=15,則則 a=_.1. 如圖如圖1.1-1,求圖中字母求圖中字母M所代表的正方形的面積所代表的正方形的面積. 圖圖1.1-1 圖圖1.1-22. 如圖如圖1.1-2,在四邊形在四邊形ABCD中中, BAD=90, CBD=90,AD=4,AB=3,BC=12,求正方形求正方形DCEF的面積的面積. ?M?75?4

10、5?F?E?D?C?B?A辨析：辨析：ABC的兩邊為的兩邊為3和和4，求第三邊，求第三邊解：由于三角形的兩邊為解：由于三角形的兩邊為3、4所以它的第三邊的所以它的第三邊的c應滿足應滿足=25 即：即：c=5 辨析：（辨析：（1）要用勾股定理解題，首先應具備直角三角）要用勾股定理解題，首先應具備直角三角形這個必不可少的條件，可本題形這個必不可少的條件，可本題 ABC并未說明它是否并未說明它是否是直角三角形，所以用勾股定理就沒有依據(jù)。是直角三角形，所以用勾股定理就沒有依據(jù)。 （2）若告訴）若告訴ABC是直角三角形，第三邊是直角三角形，第三邊C也不一定也不一定 滿足勾股定理，因為題目中并未交待滿足勾股定理，因為題目中并未交待c是斜邊是斜邊 綜上所述這個題目條件不足，第三邊無法求得。綜上所述這個題目條件不足，第三邊無法求得。如果直角三角形兩直角邊分別為如果直角三角形兩直角邊分別為a a，b b，斜邊斜邊為為c c，那么那么 a2 + b2 = c2 即直角三角形兩直角即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方邊的平方和等于斜邊的平方(勾股定理