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文檔簡(jiǎn)介

1、本章主要內(nèi)容: v隨機(jī)信號(hào)通過(guò)線性系統(tǒng)時(shí)域分析 v色噪聲的產(chǎn)生與白化濾波器v白噪聲通過(guò)線性系統(tǒng)第四章 隨機(jī)信號(hào)通過(guò)線性系統(tǒng)v等效噪聲帶寬v隨機(jī)信號(hào)通過(guò)線性系統(tǒng)頻域分析 v線性系統(tǒng)輸出端隨機(jī)信號(hào)的概率分布系統(tǒng)可分為: (1)線性系統(tǒng):線性放大器、線性濾波器 (2)非線性系統(tǒng):限幅器、平方律檢波器對(duì)于線性系統(tǒng):已知系統(tǒng)特性和輸入信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性,可以求出系統(tǒng)輸出信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性隨機(jī)信號(hào)通過(guò)線性系統(tǒng)的分析隨機(jī)信號(hào)通過(guò)線性系統(tǒng)的分析 下面的分析限定系統(tǒng)是單輸入單輸出(響應(yīng))的、連續(xù)或離散時(shí)不變下面的分析限定系統(tǒng)是單輸入單輸出(響應(yīng))的、連續(xù)或離散時(shí)不變的、線性的和物理可實(shí)現(xiàn)的穩(wěn)定系統(tǒng)。的、線性的和物理可實(shí)

2、現(xiàn)的穩(wěn)定系統(tǒng)。連續(xù)時(shí)間系統(tǒng):系統(tǒng)的輸入和輸出都是連續(xù)時(shí)間信號(hào);連續(xù)時(shí)間系統(tǒng):系統(tǒng)的輸入和輸出都是連續(xù)時(shí)間信號(hào);離散時(shí)間系統(tǒng):系統(tǒng)的輸入和輸出都是離散時(shí)間信號(hào)。離散時(shí)間系統(tǒng):系統(tǒng)的輸入和輸出都是離散時(shí)間信號(hào)。連續(xù)與離散系統(tǒng):連續(xù)與離散系統(tǒng):(1)線性性:線性性:(2)時(shí)不變:)時(shí)不變: 線性時(shí)不變系統(tǒng):線性時(shí)不變系統(tǒng):1212( )( ) ( )( )L ax tbx taL x tbL x t稱作算子L00() ()y ttL x tt4.1 線性系統(tǒng)基本理論復(fù)習(xí)線性系統(tǒng)基本理論復(fù)習(xí)一、一般線性系統(tǒng)一、一般線性系統(tǒng)輸入輸出)(txk)()(txLtykk線性系統(tǒng)中線性算子 滿足齊次性, 疊加性

3、:L)()(1txLatyknkk)()(1txatxknkk若輸入則輸出L 二、線性時(shí)不變系統(tǒng)二、線性時(shí)不變系統(tǒng))()(tytxL當(dāng)輸入 x(t) 有一個(gè)時(shí)移 時(shí),輸出y(t)也有一個(gè)時(shí)移 )(tx)(ty1、 線性時(shí)不變系統(tǒng)的沖激響應(yīng)線性時(shí)不變系統(tǒng)的沖激響應(yīng)L)(t)(th( ) ( )( )( )h tLtth t沖激響應(yīng)輸出dhtxdthxthtxtxLty)()()()()()()()()(tx)(tx)(ty)(tyt0t02、系統(tǒng)傳遞函數(shù)、系統(tǒng)傳遞函數(shù)( )( ) ()( )()( )( )( )( )( )y thx tdhx tdx tAy tAhdy tBhd ,若 要有

4、界 , 則 必 須)()()()()()(HXYdteththFHtj三、穩(wěn)定的物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)三、穩(wěn)定的物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)1、穩(wěn)定系統(tǒng)的條件、穩(wěn)定系統(tǒng)的條件若對(duì)任意有界輸入,其輸出也有界,則系統(tǒng)穩(wěn)定。dtth)(tdthxdtxhty)()()()()(02、物理可實(shí)現(xiàn)性(因果性)、物理可實(shí)現(xiàn)性(因果性)在輸入信號(hào)到來(lái)前 ,系統(tǒng)不產(chǎn)生響應(yīng)。既:h(t)=0, t0 。( )( ) ()( ) ()( )00()00y thx tdxh tdhh ttt由于;,0)()(dtstethsH傳遞函數(shù)為:0)()(dtethHtj若以s代替j,傳遞函數(shù)在復(fù)頻域中表示為:由因果性則輸出為:)(1sH3、穩(wěn)

5、定的物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)條件、穩(wěn)定的物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)條件dtth0)(jjdsstesHjth)(21)(系統(tǒng)1: 的極點(diǎn) ,在左半平面。0;)(1tteth則傳遞函數(shù)H(s)的所有極點(diǎn)都應(yīng)位于s平面的左半平面(不含虛軸)例如:由于:1211( )( )(0)H sH sss,)(2sHs系統(tǒng)1穩(wěn)定dtth0)(滿足系統(tǒng)2: 的極點(diǎn) ,在右半平面。s0;)(2ttethdtth0)(系統(tǒng)2不穩(wěn)定4.2 隨機(jī)信號(hào)通過(guò)線性系統(tǒng)隨機(jī)信號(hào)通過(guò)線性系統(tǒng)二、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù)二、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù)1212120121200122( , )( ) ( )( )( )()( ) ( )()(

6、)( ,)( , )( )(425)XYXXRt tE X t Y tE X th u X tu duh u E X t X tu duh u Rt tu duRt th t4.2.1 時(shí)域分析法時(shí)域分析法一、輸出的均值:一、輸出的均值:0)()()()()(dhtXthtXtY)()()()()()(00tmdhtmdhtXEtYEYX0( )( )( )() ( )ytth tthd系統(tǒng)輸出:系統(tǒng)輸出:隨機(jī)過(guò)程確定的時(shí)間函數(shù)確定的二元函數(shù)1212120121( , ) ( )( )( )(, )( , )( )(426)YXXXRt tE Y t X th u Rtu t duRt th

7、t同理:三,系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)三,系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)12121200120012001212( ,)( )()( )()( )()( ) ( )()()( ) ( )(,)( )()( ,)(424)YXXRttE Y t Y tEh u X tu duh v X tv dh u h v E X tu X tvdudvh u h v Rtu tv dudvh th tRtt 確定的二元函數(shù)確定的二元函數(shù)上式可以用下圖表示:比較式(4-25),式(4-26)與式(4-24)則有:),()(),()(),(21221121ttRthttRthttRYXXYY),(21ttRYX),(21ttR

8、XY)(1th),(21ttRY),(21ttRX),(21ttRY),(21ttRX)(2th)(1th)(2th4.2.2 物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)輸出隨機(jī)過(guò)程的分析物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)輸出隨機(jī)過(guò)程的分析)()0(),(),()(21221tXERttRttRmtmXXXXX常數(shù)輸入雙側(cè)隨機(jī)信號(hào)時(shí)輸入雙側(cè)隨機(jī)信號(hào)時(shí)()xt( )xt)(ht0t000( )() ( )() ( )( )() ( )() ( )ytxthdxthdY tX thdX thd因X(t)平穩(wěn),則有:于是,據(jù)式(4-23)有00 ( )() ( )( )XXYE Y tmthdmhdm(常數(shù))( )X tt ,1、若、若X(t)平

9、穩(wěn),則輸出平穩(wěn)。平穩(wěn),則輸出平穩(wěn)。據(jù)式(4-24),(4-25) ,(4-26)有)()()()()(),()(),(002121XYXXXXYRhRduuRuhduuttRuhttR)()()()()(),()(),(002121YXXXXYXRhRduuRuhdututRuhttR12120000( ,)( ) ( )(,)( ) ( )()( )YXXYRt th u h v Rtu tv dudvh u h v Rvu dudvR 000000002|)(|)(|)0(|)(|)(|)0()(|)(|)(|)()()()0()0()(dvvhduuhRdudvvhuhRdudvvuRv

10、huhdudvvuRvhuhRRtYEXXXXYY由此可見(jiàn),輸出Y(t)是寬平穩(wěn)過(guò)程。)(2tYE此外,輸出的均方值為因?yàn)橄到y(tǒng)是穩(wěn)定的,dtth0)(所以有:0 ( )( )( )( )( )( )( )()( )( )( )()( )( )()( )( )( )XXYXYXXYXYXYYYXE Y tmh t dtRRhRRhRRhhRRhRRh若輸入X(t)是寬平穩(wěn)的,則穩(wěn)定線性系統(tǒng)的輸出Y(t)也是寬平穩(wěn)的,且輸入與輸出聯(lián)合寬平穩(wěn)。且有如下關(guān)系:結(jié)論:結(jié)論:2 2、若輸入、若輸入X(t)是嚴(yán)平穩(wěn)的,則輸出是嚴(yán)平穩(wěn)的,則輸出Y(t)也是嚴(yán)平穩(wěn)的。也是嚴(yán)平穩(wěn)的。證明:時(shí)不變系統(tǒng) ,有()()

11、Y tL X t( )( )Y tL X tX(t)是嚴(yán)平穩(wěn), 與X(t)具有相同的n維概率密度,由于系統(tǒng)算子不變,則 與Y(t)也具有相同的n維概率密度函數(shù),所以Y(t)也是嚴(yán)平穩(wěn)的也是嚴(yán)平穩(wěn)的。)(tX)(tY)()()(,)(XXRtXtXmtX則輸出Y(t)的時(shí)間平均YXTTTTTTTTTmduuhmduuhdtutXTdtduutXuhTdttYTtY000)()()(21lim)()(21lim)(21lim)(3、若輸入、若輸入X(t)是寬各態(tài)歷經(jīng)的,則輸出是寬各態(tài)歷經(jīng)的,則輸出Y(t)也是寬各態(tài)歷經(jīng)。也是寬各態(tài)歷經(jīng)。 證明:由X(t)的各態(tài)歷經(jīng)定義0000001( ) ()li

12、m( ) ()21lim( )()( )()21( ) ( )lim()() 2( ) ( )()( )TTTTTTTTTXYY t Y tY t Y tdtTh u X tu duh v X tv dv dtTh u h vX tu X tv dt dudvTh u h v Ruv dudvR 及時(shí)間自相關(guān)函數(shù) 故而Y(t)是寬各態(tài)歷經(jīng)的。是寬各態(tài)歷經(jīng)的。習(xí)題:習(xí)題:44)(20N)(XYR)(YXR三,應(yīng)用舉例三,應(yīng)用舉例例例4.4RC)(tX)(tY分析:這是一個(gè)低通的RC電路,該電路的沖激響應(yīng)見(jiàn)附錄四。)()(,101)(tUbtbethRCbtRCteRCth則;若令,X(t)是相關(guān)

13、函數(shù)為 的白噪聲求:輸出的平均功率)(YR解:1)由題意知0( )( )2XNR 輸出自相關(guān)函數(shù) 00)()()()(dvduuvRuhvhRXY000000000000( )( )()( )2( )()()2( ) ()()2( ) ()( )()22YNRh uuvh v dv duNh uhuuv dv duNh u huuv dv duNNh u hu duhh 00當(dāng)輸入是白噪聲時(shí),該系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)正比于單位沖激響應(yīng)函數(shù)的卷積。上式要分別按 與 兩種情況求積分:當(dāng) 時(shí)上式中被積函數(shù)總是存在,所以有:000()( )() ()2YNbubuRbebedu20002( )024YN

14、 bN bbbubRebedue,合并 和 的結(jié)果,得到輸出自相關(guān)函數(shù):0( )()04YYN bbRRe,0000| |( )|4YN bbRe ,利用自相關(guān)函數(shù)的偶對(duì)稱性,則當(dāng) 時(shí)有:0()00huuu 當(dāng)時(shí),若要,則需,積分麻煩所以注意到b是時(shí)間常數(shù)(RC)的倒數(shù),它也與系統(tǒng)的半功率帶寬 有關(guān)。事實(shí)上:1(HZ)222bfbfRC,20( )2YNE YtfP2)在上式中令 ,即可得輸出的平均功率為20( )(0)4YYN bE Y tRP0由此可見(jiàn),該系統(tǒng)的輸出平均功率隨著系統(tǒng)的帶寬變寬而線性的增大。于是輸出平均功率又可寫(xiě)為f上式的結(jié)果給出了一個(gè)測(cè)量(估計(jì))線性系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)h(t)

15、的方法。0000( )() ( )( )( )222XYNNN bbRu h u duheU 0000( )() ( )()()222YXNNN bbRu h u duheU 3)根據(jù)式4-37有:同理延時(shí))(th)(tX)(tY)(tX( , )Z t( )Z低通濾波器白噪聲測(cè)量系統(tǒng)( , )()( )Z tX tY t( )( , )ZZ t直流分量如果低通濾波器的帶寬充分地小帶寬充分地小,那么其輸出將幾乎是幾乎是Z(t)地直流地直流成分,成分,只有很少的隨機(jī)成分附加于輸出上。若輸入X(t)是是各態(tài)歷經(jīng)的,由前面的結(jié)論可知Z(t)也是各態(tài)歷經(jīng)的。而各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程Z(t)的直流分量就是Z(t)

16、的時(shí)間平均,因此有.( , ) ( , )() ( )( )XYaeZ tE Z tE X tY tR( ),0h ( )( , )ZZ t又因?yàn)楦鲬B(tài)歷經(jīng)過(guò)程的時(shí)間平均與統(tǒng)計(jì)平均相等又因?yàn)楦鲬B(tài)歷經(jīng)過(guò)程的時(shí)間平均與統(tǒng)計(jì)平均相等.( , ) ( , )aeZ tE Z t直流分量0.( , )( )( ),02XYaeNZ tRh對(duì)于物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng) 則有,000222( )( )( , )( )XYhRZ tZNNN由此可見(jiàn),低通濾波器輸出端的直流分量正比于系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)。只要連續(xù)的改變 ,就能測(cè)出線性系統(tǒng)得完整單位沖激響應(yīng)。這就是所謂的系統(tǒng)辨識(shí)問(wèn)題。所以系統(tǒng)沖激響應(yīng)的估計(jì)為 通常,只要輸入信

17、號(hào)功率譜密度的帶寬,比被測(cè)系統(tǒng)的帶寬大上 10 倍左右,利用上述測(cè)量系統(tǒng)就能很好的測(cè)出被測(cè)系統(tǒng)的沖激響應(yīng),及測(cè)出輸入信號(hào)與被測(cè)系統(tǒng)輸出信號(hào)的互相關(guān)函數(shù)。02( )( )( )( )XYhZNRZ系統(tǒng)輸入與輸出的互相關(guān)函數(shù)的估計(jì)為002000|( )() ( ) ( )4YXu vbubvRRuv h u h v dudvNeb eedvdu 0|( )4XNReb0在 例4.4 中假設(shè)X(t)的自相關(guān)函數(shù)為 式中 ,求輸出的自相關(guān)函數(shù)。解:例例4.5當(dāng) 時(shí),)()u vuvuvevueevu ,00udvdvdvu因自相關(guān)函數(shù)為 的偶函數(shù),所以 時(shí)的 表達(dá)式直接能直接由 時(shí)的表達(dá)式 寫(xiě)出:20

18、22( )()(),04()YYbN bRReebb0)(YR0)(YR2002022()()( )04()04()YuvbuuvbububN buReeedveedv duuN beebb ,則:022()| | |1( )141/YbbbNReebb 上式中第一個(gè)因子是例4.4中白噪聲輸入時(shí)系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)為了作比較,可將上式寫(xiě)為:2022|( )()4()YbN bReebb 綜合結(jié)果是:b正比于系統(tǒng)的帶寬01|( )4YbNbRef由于X(t)有0|( )4XNRe 正比于輸入信號(hào)X(t)的功率譜帶寬。b022()0011()| | |lim( )141/| |( )4YbYbNb

19、bReebbbNbeR 可見(jiàn),當(dāng) 比值很小時(shí), 近似白噪聲通過(guò)系統(tǒng)時(shí)輸出的自相關(guān)函數(shù)。因此,盡管輸入X(t)是非白噪聲,只要其功率譜帶寬 遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于系統(tǒng)帶寬 ,就可以把輸入X(t)看作白噪聲。()0b)(YR可見(jiàn),當(dāng) 時(shí),b 例如,在帶寬為 的放大器中,最重要的噪聲是熱噪聲,這種熱噪聲的帶寬可以達(dá)到 ,由于 ,如果用白噪聲來(lái)近似熱噪聲,則其誤差不超過(guò) 1 。10MHz()0.01b1000MHz()x()xt( )xt)(ht0t0當(dāng)輸入單側(cè)隨機(jī)信號(hào)時(shí)對(duì)于物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)tdtXhtYtdtxhty00)()()()()()( )0X tt ,因?yàn)榧词筙(t)是寬平穩(wěn),但因01212002120

20、( )( )( )(444)( , )()( )( )(445)( , )()( )(446)XYYXXYXtE Y tmh u dum tttR t tRuvh vh u dvdutRt tRvh v dv 1120200( , )() ( )(447)( )() ( ) ( )(448)YXXXtRt tRu h u dut tE YtRuv h v h u dvdu 則輸出響應(yīng)Y(t)也是非平穩(wěn)的。 這是由于實(shí)際系統(tǒng)輸入信號(hào)為X(t)U(t)(單側(cè)信號(hào))是非平穩(wěn)的緣故。關(guān)于這一點(diǎn),我們可以這樣來(lái)說(shuō)明,如圖所示的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的開(kāi)關(guān)K在t=0時(shí)剛一閉合,由于系統(tǒng)惰性的影響,隨機(jī)輸出就像確定輸出那

21、樣有一個(gè)建立的過(guò)程,這個(gè)過(guò)程是瞬態(tài)的,正是這個(gè)瞬態(tài)分量導(dǎo)致了非平穩(wěn)輸出。因此,前面討論的輸出的平穩(wěn)性、各態(tài)歷經(jīng)等性質(zhì)在此不再成立了。但若令 而 保持有限時(shí),式444至447各式就幾乎與時(shí)間 t 或時(shí)間起點(diǎn)無(wú)關(guān)。此時(shí)輸出Y(t)稱為漸進(jìn)平穩(wěn)的。12ttt、12tt 今后,對(duì)所研究的問(wèn)題除非特殊說(shuō)明,均指均指雙側(cè)信號(hào)在 t= 時(shí)施加于系統(tǒng)所得到的輸出響應(yīng)。圖4.9 X(t)在t=0時(shí)刻作用于系統(tǒng))(th)(tX)(tYK4.2.3 頻域分析法頻域分析法一、系統(tǒng)輸出的均值一、系統(tǒng)輸出的均值000( )( )(0)YXXXjmmhdmhedmH2)()()()()()()()()()(HGHHGGhh

22、RRXXYXY二、系統(tǒng)輸出的功率譜密度二、系統(tǒng)輸出的功率譜密度2)(H系統(tǒng)的功率傳遞函數(shù)系統(tǒng)的功率傳遞函數(shù)(當(dāng)輸入為平穩(wěn)雙側(cè)信號(hào)時(shí))( )()hH由 于 實(shí) 系 統(tǒng) :例例4.6、 利用頻域分析法重做例4.4 解:因?yàn)?)()(2)(00NGNRXX211( )( )( )22YYXGdGHdPjbbHtUbtbeth)()()(三、系統(tǒng)輸出的互譜密度三、系統(tǒng)輸出的互譜密度)()()()()()(.)()()()()()(HGGhRRHGGhRRXYXXYXXXYXXY四、系統(tǒng)輸出的平均功率四、系統(tǒng)輸出的平均功率例例4.7 ,利用頻域分析法重做例4.5|4)(0eNRX2022( )2 ()X

23、NG222222202222220222)(4)(2)()()(bbbbbNbbNGHGXY所以222022)()()(bbNHGGXY2222)(bbHbebNRY4)(0所以解:對(duì)上式兩邊取富氏反變換得:121102222222022( )( )224()|4()YYRFGbNbFFbbbbNbeebb 4.2.4 多個(gè)隨機(jī)信號(hào)通過(guò)線性系統(tǒng)多個(gè)隨機(jī)信號(hào)通過(guò)線性系統(tǒng)( )X t設(shè): 與 聯(lián)合平穩(wěn),兩個(gè)隨機(jī)信號(hào)同時(shí)輸入線性系統(tǒng)。若:12121221( )( )( )( )( )XXXXXXX XX XmmmRRRRR1( )X t2( )Xt由于線性系統(tǒng)具有疊加性,則有121212( )( )

24、( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )Y tX th tXtXth tXth tXth tY tYt1122( )( )( )( )( )( )Y tX th tY tX th t因?yàn)?平穩(wěn),所以121212000 ( )()( )( )( )XXXXYYYE Y tmmhdmhdmhdmmm輸出輸出Y(t) 的均值的均值121221( )( )( )()( )( )( )( )( )()YXXXX XX XRRhhRRRRhhY(t)的自相關(guān)函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)12122122( )( ) |( )|( )( )( )( ) |( )|YXXXX XX XGGHGGGGHY

25、(t)的功率譜密度的功率譜密度2( )Xt1( )X t當(dāng) 與 之間互不相關(guān),且至少有一個(gè)是零均值時(shí):12( )( )( )( )()YXXRRRhh122( )( )( ) |( )|YXXGGGH習(xí)題:習(xí)題:47、413、4174.3 色噪聲的產(chǎn)生和白化濾波器色噪聲的產(chǎn)生和白化濾波器在復(fù)頻域中表達(dá)為:( )YG根據(jù)輸出構(gòu)造系統(tǒng))()()()(1)()(2HHHHHGY22()()()()()中的代替用中的代替用YYGsjHssHsHsG利用頻域分析法,解決兩個(gè)問(wèn)題:一,產(chǎn)生色噪聲的系統(tǒng)( )XG根據(jù)輸入構(gòu)造系統(tǒng)使輸出為白噪聲輸入色噪聲輸入白噪聲使輸出為需要的色噪聲)(YG1)(NG在輸入白

26、噪聲條件下 ,構(gòu)造一穩(wěn)定的系統(tǒng) ,使輸出為色噪聲)(H例4.8 設(shè)計(jì)一穩(wěn)定的線性系統(tǒng),使其在具有單位譜的白噪聲激勵(lì)下輸出功率譜為:9104925)(242YG)(YG9102549)(242ssssGY)3)(1 ()57()3)(1 ()57()9)(1 ()57)(57()(22sssssssssssGY由于構(gòu)造的系統(tǒng)必須穩(wěn)定,所以構(gòu)造 時(shí),必須使其所有極點(diǎn)都位于s的左半平面。因此:)(sH( )( )()( )()YYYG sG s GsH sHs)()(sGsGYY的復(fù)頻域表達(dá)式為進(jìn)行譜分解有:解:選 中極點(diǎn)位于s的左半平面的做為)(sH進(jìn)行譜分解:)3)(1(57)(ssssGY31

27、32ss75( )( )(1)(3)YsGsH sss) 3)(1(57)(jjjH令:即為所要設(shè)計(jì)的系統(tǒng)。因此選)3)(1()57()(ssssGY極點(diǎn)位于S的右半平面極點(diǎn)位于S的左半平面3132ss因此有1)()()(2HGGXY211( )( )()( )( )XXHHHGG)()()(sGsGsGXXX分解成并將111( )()( )( )()XXXH sHsGsGsGs二,白化濾波器二,白化濾波器)(H)(XG1)(YG則有:由于:在任意輸入 條件下,構(gòu)造一穩(wěn)定的系統(tǒng) ,使輸出為白噪聲)()(sGGXX換成將選擇 , 中一個(gè)極點(diǎn)位于S的左半平面的做為)(1sGX)(1sGX)(sH習(xí)

28、題:習(xí)題:4-11、 4-12 4.4 4.4 白噪聲通過(guò)線性系統(tǒng)的分析與“等效噪聲帶寬”4.4.1 白噪聲通過(guò)線性系統(tǒng)白噪聲通過(guò)線性系統(tǒng)( )( )XXGF2020( )|( )|2( )|( )|0YYNGHFNH,可見(jiàn),白噪聲通過(guò)線性系統(tǒng)后,輸出信號(hào)的功率譜密度主要由系統(tǒng) 來(lái)決定。不再是白噪聲。一,輸出信號(hào)的功率譜密度一,輸出信號(hào)的功率譜密度2| )(|H)(H2)(0NGX0)(H0.707半功率點(diǎn)帶寬2f(角頻率)000( )XFN( )YF( )YG在時(shí)域求2200011( )( )( ) cos222YNjRHedN Hd 0000( )( )( )()( )()22( ) ()

29、2YNNRhhhhNh u h udu 二,輸出信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)二,輸出信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)在頻域求三,輸出信號(hào)的平均功率三,輸出信號(hào)的平均功率220000( )( )22YNNHdhu duP在頻域求在時(shí)域求)(YG4.4.2 等效噪聲帶寬等效噪聲帶寬)(H)(IH( )YIG實(shí)際理想輸入白噪聲輸出限帶白噪聲等效等效在輸入白噪聲的情況下,若用在輸入白噪聲的情況下,若用一個(gè)理想系統(tǒng)去等效一個(gè)理想系統(tǒng)去等效一個(gè)一個(gè)實(shí)際系統(tǒng)實(shí)際系統(tǒng),那么那么理想系統(tǒng)輸出的限帶白噪聲則等效該實(shí)際系統(tǒng)的輸出理想系統(tǒng)輸出的限帶白噪聲則等效該實(shí)際系統(tǒng)的輸出。由于去。由于去等效等效實(shí)際系統(tǒng)實(shí)際系統(tǒng),那么實(shí)際系統(tǒng)的那么實(shí)際系統(tǒng)的

30、“帶寬帶寬”就決定了就決定了這個(gè)這個(gè)理想系統(tǒng)理想系統(tǒng)的的“帶寬帶寬” ,也決定了,也決定了等效的限帶白噪聲功率譜密度的等效的限帶白噪聲功率譜密度的“帶寬帶寬”。這等效的限帶白噪聲帶寬這等效的限帶白噪聲帶寬 稱為實(shí)際系統(tǒng)的稱為實(shí)際系統(tǒng)的“等效噪聲帶寬等效噪聲帶寬”。ee2)(0NGNe1、等效的等效的理想系統(tǒng)輸出的平均功率必須等于實(shí)際系統(tǒng)輸出的平均理想系統(tǒng)輸出的平均功率必須等于實(shí)際系統(tǒng)輸出的平均 MaxIHKH)()(一、等效的原則一、等效的原則二、等效噪聲帶寬的計(jì)算(二、等效噪聲帶寬的計(jì)算(等效的限帶白噪聲 的“帶寬”)200|( )|2YNHdP2220000020( )222( )2eII

31、eeMaxNNNHdK dKNHPIYPP令:200222( )( )( )YMaxMaxHdNeHHP有:IYPP功率功率2、等效的理想系統(tǒng)的增益必須等于實(shí)際系統(tǒng)的最大增益、等效的理想系統(tǒng)的增益必須等于實(shí)際系統(tǒng)的最大增益低通濾波器的等效噪聲帶寬為:帶通濾波器的等效噪聲帶寬為:2002)()(HdHe202)0()(HdHe由于1、在頻域中計(jì)算、在頻域中計(jì)算2、利用、利用 計(jì)算計(jì)算200222( )( )( )YMaxMaxh u duNeHHP則:2200002( )( )2YYNhu duhu duNPP( )h t對(duì)低通濾波器而言對(duì)帶通濾波器而言2002)()(dtthdtthe000)

32、()()0(dtthdtethHtj000)()(dtethHtj20020)()(dtethdtthetj三、隨機(jī)信號(hào)的三、隨機(jī)信號(hào)的等效噪聲帶寬等效噪聲帶寬據(jù)等效原則 由此,平穩(wěn)過(guò)程就可以等效一個(gè)“限帶白噪聲限帶白噪聲”。2| )(|1)(HGXMaxXMaxGH)(| )(|2(1)我們把任一個(gè)平穩(wěn)過(guò)程 看作是一白噪聲通過(guò)系統(tǒng)的輸出。(2)將此系統(tǒng) 等效一個(gè)理想系統(tǒng) 。)(H白噪聲1)(NG)(XGe( )H( )IH( )H( )IH限帶白噪聲20|( )|2MaxYeNHP20002|() |()()|() |() |() |XXMaxXMaxXMaxHdGdFdeHGF因此,平穩(wěn)過(guò)

33、程的等效噪聲帶寬平穩(wěn)過(guò)程的等效噪聲帶寬為:(3)當(dāng)輸入白噪聲 時(shí),系統(tǒng)輸出的平均功率 也可以由其等效噪聲帶寬 來(lái)求。YPe0( )2NNG例例4.9解:2222( )( )(0)1( )( )()MaxbHHHbjbbbHHHbjbjb對(duì)前(例4.6)中的RC電路,求其等效噪聲帶寬。feef2.222| )(| )(|0222202bdbbHdHeMax12bfRC 系統(tǒng)的半功率點(diǎn)帶寬三、三、 與與 的比較的比較ee系統(tǒng)半功率點(diǎn)的通頻帶(角頻率形式),用來(lái)表示系統(tǒng)在頻域上對(duì)信號(hào)振幅振幅及相位相位的選擇范圍。等效噪聲帶寬(角頻率形式),用來(lái)表示系統(tǒng)在頻域上對(duì)信號(hào)的平均功率平均功率的選擇范圍。因此

34、, 均由系統(tǒng)本身決定。同一系統(tǒng)的這兩個(gè)不同參數(shù)有著密切聯(lián)系。圖4.14給出了7種不同濾波器的 與 之間,eee濾波器在不同階次n下的比值 。由圖可見(jiàn),當(dāng)濾波器的級(jí)數(shù)越多時(shí), 就越接近 。eeeOSNPPSY輸出信號(hào)平均功率輸出噪聲平均功率X0)(0H| )(|0HXY2220|()|11SXHYP四,用等效噪聲帶寬來(lái)計(jì)算信噪比四,用等效噪聲帶寬來(lái)計(jì)算信噪比輸出信噪比:01、在頻域、在頻域設(shè):信號(hào)調(diào)諧在 上, 上的 增益為 。輸出信號(hào)的有效值輸出信號(hào)的平均功率輸入信號(hào)的有效值當(dāng)輸入噪聲為 的白噪聲時(shí),輸出噪聲的平均功率:20N200|()|2eYNHP22202000|()|()|22SeOeY

35、XHSXNNHNPP則輸出信噪比:輸入噪聲的功率譜密度:)(1022)(2200HzVNGX6010)(H)(101023Hzfee問(wèn):當(dāng)輸出信噪比為100時(shí),輸入信號(hào)的有效值 應(yīng)是多少?例例4.10 某接收機(jī)在調(diào)諧頻率上的電壓增益系統(tǒng)等效噪聲帶寬解:22041420100 2 102 104 10()2eONSXVN 272 10 ( )XXV X2、在時(shí)域(、在時(shí)域(輸入信號(hào)為輸入信號(hào)為 確定信號(hào)或?yàn)楦鲬B(tài)歷經(jīng)隨機(jī)信號(hào)時(shí))確定信號(hào)或?yàn)楦鲬B(tài)歷經(jīng)隨機(jī)信號(hào)時(shí)) 設(shè):輸出信號(hào)為 ,輸出噪聲為)(tSo)(tNo)()(22tNEtSNSoooTToTodttSTtS)(21lim)(22則輸出信噪比

36、:其中 隨機(jī)噪聲的平均功率隨機(jī)噪聲的平均功率確定信號(hào)或各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)信號(hào)確定信號(hào)或各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)信號(hào)的平均功率的平均功率(0)NR22( )( )oooE StSNE Nt隨機(jī)信號(hào)的平均功率隨機(jī)信號(hào)的平均功率4.4.3 白噪聲通過(guò)理想線性系統(tǒng)白噪聲通過(guò)理想線性系統(tǒng)一一. 白噪聲通過(guò)理想低通系統(tǒng)白噪聲通過(guò)理想低通系統(tǒng)2)(0NGX數(shù)學(xué)上物理上| )(|H| )(|H)(YG)(YF0)(NFX222222000000AA2200,0,0 |( )( )2220,0,YYN AN AGF其他其他2、輸出信號(hào)的自相關(guān)函數(shù):、輸出信號(hào)的自相關(guān)函數(shù):200020/211( )( )coscos22sin24

37、2YYRFdN AdN A 1、輸出信號(hào)的功率譜密度:、輸出信號(hào)的功率譜密度:5、輸出信號(hào)的相關(guān)時(shí)間、輸出信號(hào)的相關(guān)時(shí)間220( )4YN AE YtPsin( )2( )(0)2YYYCC 000sin12( )22Yddf 3、輸出信號(hào)的平均功率、輸出信號(hào)的平均功率4、輸出信號(hào)的自相關(guān)系數(shù)、輸出信號(hào)的自相關(guān)系數(shù) 劇烈輸出信號(hào)隨時(shí)間變化越越短輸出信號(hào)相關(guān)時(shí)間0緩慢輸出信號(hào)隨時(shí)間變化越越長(zhǎng)輸出信號(hào)相關(guān)時(shí)間00輸出信號(hào)的相關(guān)時(shí)間 與理想系統(tǒng)的帶寬 成反比。即與實(shí)際系統(tǒng)的等效噪聲帶寬 成反比。系統(tǒng)帶寬 越寬 系統(tǒng)帶寬 越窄e0二、白噪聲通過(guò)理想帶通系統(tǒng)二、白噪聲通過(guò)理想帶通系統(tǒng)AA2)(0NGX0)(NFX0220AN020AN0000200000000注:“窄帶”的定義1、窄帶系統(tǒng)窄帶系統(tǒng):系統(tǒng)的中心頻率 系統(tǒng)帶寬。2,窄帶隨機(jī)信號(hào)窄帶隨機(jī)信號(hào):其功率譜密度的中心頻率 e0等效噪聲帶寬。0e000)(XG)(H20002000,|( )2220,( )220,YYN AGN AF其他其他1、輸出的功率譜密度、輸出的功率譜密度( )2( )( )YYaRR低通)帶通)其中為 的包絡(luò)。002200220000(11( )( )coscos22sin22cos( ) cos422(

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