高等計算流體力學-01

1、高等計算流體力學任玉新目標 了解和掌握計算流體力學主流和前沿計算方法 提高算法設(shè)計和編程能力 鍛煉文獻調(diào)研，自學，結(jié)果分析及整理的能力舉一舉一反三反三注重注重實踐實踐參考書 1 E. F. Toro, Riemann solvers and numerical methods for fluid dynamics, Springer, 1997 (First edition) 2 J.D. Anderson, Computational fluid dynamics: basics with applications, Springer (清華大學出版社影印版清華大學出版社影印版) 3 Bar

2、th and Deconinck (eds.) High order method for computational physics, Lecture Notes in Computational Science and Engineering, 9. Springer, 1999 4 T. J. Chung, Computational fluid dynamics, Cambridge University Press, 2002 5 任玉新，陳海昕，計算流體力學基礎(chǔ)，清華大學出任玉新，陳海昕，計算流體力學基礎(chǔ)，清華大學出版社版社2006。訓練考核內(nèi)容 平時作業(yè)（包括上機作業(yè)）平時作業(yè)（

3、包括上機作業(yè)） 課程課程Project （分組分組？） 專題論文專題論文 口試口試教師與助教 教師：教師：任玉新任玉新 電話：電話：85543， Email： 地址：逸夫樓地址：逸夫樓1505 助教：郭晨曦助教：郭晨曦 電話：電話：97713， Email： 地址地址：逸夫樓：逸夫樓1505主要內(nèi)容 可壓縮流動的數(shù)值方法基礎(chǔ)可壓縮流動的數(shù)值方法基礎(chǔ) 不可壓縮流動不可壓縮流動得數(shù)值方法基礎(chǔ)得數(shù)值方法基礎(chǔ) 計算計算流體流體程序設(shè)計程序設(shè)計實習實習 專題選講專題選講 緊緊致（致（Compact）格式格式及其他高分辨率格式及其他高分辨率格式 非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格上的非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格上的數(shù)值方法數(shù)值方法 ENO/WEN

4、O格式格式 Discontinuous Galerkin格式格式 不可壓縮流動數(shù)值方法的進一步不可壓縮流動數(shù)值方法的進一步討論討論第一部分概述與回顧概述與回顧概念框架流體力學問題基本方程和定解條件數(shù)值方法 網(wǎng)格生成 計算計算方法方法計算程序、軟件 程序設(shè)計 調(diào)試 軟件工程數(shù)值計算 計算機 并行計算數(shù)據(jù)處理和分析驗證及確認理論流體力學計算流體力學基本方程基本方程第一講NavierStokes方程方程 流體力學的基本方程是計算流體力學的基流體力學的基本方程是計算流體力學的基礎(chǔ)。流體的運動滿足質(zhì)量守恒，動量守恒礎(chǔ)。流體的運動滿足質(zhì)量守恒，動量守恒和能量守恒的規(guī)律。在牛頓流體范圍內(nèi)，和能量守恒的規(guī)律。

5、在牛頓流體范圍內(nèi)，這些規(guī)律可以用這些規(guī)律可以用NavierStokes方程描述方程描述（在（在CFD中常把連續(xù)方程、動量方程和能量中常把連續(xù)方程、動量方程和能量方程通稱方程通稱NavierStokes方程）。方程）。積分型和微分型方程積分型和微分型方程 上面所述的積分型方程直觀地反映了質(zhì)量、動量的守恒關(guān)上面所述的積分型方程直觀地反映了質(zhì)量、動量的守恒關(guān)系，稱為守恒型積分方程。系，稱為守恒型積分方程。 由守恒型積分方程直接應(yīng)用由守恒型積分方程直接應(yīng)用Gauss定理，并考慮到控制體定理，并考慮到控制體形狀的任意性后得到的微分型方程稱為守恒型微分方程。形狀的任意性后得到的微分型方程稱為守恒型微分方程

6、。顯然，上面給出的微分型方程即為守恒型微分方程。顯然，上面給出的微分型方程即為守恒型微分方程。 守恒型微分方程的特點是：所有空間導數(shù)項均為散度的形守恒型微分方程的特點是：所有空間導數(shù)項均為散度的形式。守恒的微分和積分型方程，都可以稱作守恒律式。守恒的微分和積分型方程，都可以稱作守恒律（conservation law）?？臻g導數(shù)不是散度形式的微分型方）。空間導數(shù)不是散度形式的微分型方程，稱為非守恒型方程。程，稱為非守恒型方程。0SddStV n()0ddt V()0tV0t VV非守恒型方程積分型方程和微分型方程的差別積分型方程和微分型方程的差別 積分型方程允許在控制體內(nèi)部流動參數(shù)有間斷；積分

7、型方程允許在控制體內(nèi)部流動參數(shù)有間斷； 而微分型方程假定流動參數(shù)是可微的，因而是連而微分型方程假定流動參數(shù)是可微的，因而是連續(xù)的。續(xù)的。 當從積分型方程推導微分型方程時，這一點可以看得當從積分型方程推導微分型方程時，這一點可以看得很清楚：在推導過程中我們要利用很清楚：在推導過程中我們要利用Gauss公式，而使用公式，而使用Gauss公式的條件是變量是連續(xù)可微的。公式的條件是變量是連續(xù)可微的。 積分型方程可以認為是比微分型方程更為基本的積分型方程可以認為是比微分型方程更為基本的方程，尤其是流場中確實存在間斷（如激波）時。方程，尤其是流場中確實存在間斷（如激波）時。守恒型方程的意義守恒型方程的意義

8、 流體力學基本方程可以寫成多種形式，包括守恒型和非守流體力學基本方程可以寫成多種形式，包括守恒型和非守恒型。恒型。 從理論流體力學的角度，各種形式的方程都是等價的。從理論流體力學的角度，各種形式的方程都是等價的。 從計算流體力學角度，基于守恒型方程的數(shù)值方法可以直從計算流體力學角度，基于守恒型方程的數(shù)值方法可以直接用來計算有間斷（如激波）的流場，而不用對間斷進行接用來計算有間斷（如激波）的流場，而不用對間斷進行任何特殊處理，這種基于守恒型方程的數(shù)值方法稱為任何特殊處理，這種基于守恒型方程的數(shù)值方法稱為激波捕捉（shockcapturing）方法。）方法。 而基于非守恒型方程的數(shù)值方法一般不能正

9、確的計算有激而基于非守恒型方程的數(shù)值方法一般不能正確的計算有激波間斷的流場。為了處理有間斷的流動，基于非守恒型方波間斷的流場。為了處理有間斷的流動，基于非守恒型方程的數(shù)值方法必須與一種稱為程的數(shù)值方法必須與一種稱為激波裝配（shockfitting）的方法聯(lián)合使用。的方法聯(lián)合使用。激波裝配與激波捕捉方法激波裝配與激波捕捉方法 激波裝配，就是把激波從流場中分離出來，當作激波裝配，就是把激波從流場中分離出來，當作邊界處理。邊界處理。 激波裝配方法的優(yōu)點是可以準確的計算激波的位置，激波裝配方法的優(yōu)點是可以準確的計算激波的位置，缺點是非常復雜且不夠通用。缺點是非常復雜且不夠通用。 激波捕捉，直接求解守

10、恒型方程計算流場，無需激波捕捉，直接求解守恒型方程計算流場，無需對間斷進行任何特殊處理。對間斷進行任何特殊處理。 激波捕捉方法非常簡單，但是計算出的激波不是理想激波捕捉方法非常簡單，但是計算出的激波不是理想的間斷，而是有幾個網(wǎng)格的厚度的大梯度結(jié)構(gòu)。的間斷，而是有幾個網(wǎng)格的厚度的大梯度結(jié)構(gòu)。 隨著現(xiàn)代高精度、高分辨率數(shù)值方法的發(fā)展，激波捕隨著現(xiàn)代高精度、高分辨率數(shù)值方法的發(fā)展，激波捕捉方法的質(zhì)量不斷提高，已經(jīng)占有主導地位。捉方法的質(zhì)量不斷提高，已經(jīng)占有主導地位。邊界條件邊界條件CFD中流體力學方程常用的計算形式：中流體力學方程常用的計算形式：直角坐標系下的守恒型方程直角坐標系下的守恒型方程 ()

11、()()0vvvtxyzUFFGGHHNS：守恒變量（守恒變量（conservative variables） uvwE U222()()()uvwupvuuwuvvpvwuwvwwpEp uEp vEp wFGH無粘通量000 xyxxxzyyxyzyvvvyzxzzzxyyyyzxxxyxzxzzyzzTTTuvwkuvwkuvwkyxzFGH粘性通量0EulertxyzUFGH忽略NS方程的粘性和熱傳導，所得到的方程為方程Euler：N-S方程的無量綱化方程的無量綱化采用無量綱方程的優(yōu)缺點采用無量綱方程的優(yōu)缺點 無量綱方式可以無量綱方式可以任意任意)/(,/,/,/,/,/2*UppTT

12、TLUttUuuLxxzGyGxGzUFyUFxUFtU321321)()()(EwvuU)()(21pEuuwuvpuuUF)()(22pEvvwpvuvvUF)()(23pEwpwwvwuwUF1312111312111Re0)(wvuxTPCUGrp2322212322212RePr0)(wvuyTCUGp3332313332313RePr0)(wvuzTCUGpjidivVxujixuxuiiijjiij),322(Re),(Re),2(222wvueE出現(xiàn)的無量綱參數(shù)： *ReLU)(,*2*TRaaUMa 不同的無量綱方式得到的方程的形式不同無量綱狀態(tài)方程：TMap2121Copy

13、right by Li XinliangN-S方程的簡化方程的簡化1） 不可壓情況下2） 無粘(無熱傳導)（Euler方程）0 V11)(pFVVVt通常：const0dtd2/ )()(VVVVVVVV變形：V1假設(shè)粘性系數(shù)為常數(shù)（溫度變化較小的情況）22Copyright by Li Xinliang 2.2 偏微方程的分類及特征偏微方程的分類及特征1. 一階偏微方程一階偏微方程),(),(),(yxcyuyxbxuyxa采用特征線法，可轉(zhuǎn)化為常微分方程采用特征線法，可轉(zhuǎn)化為常微分方程)();(syysxx考慮曲線G:)();(syysxxdsdyyudsdxxusu顯然， 沿著該曲線G有

14、：如果該曲線G滿足：bdsdyadsdx則有：cyubxuasu偏微方程在特征線上變成了常微分方程偏微方程在特征線上變成了常微分方程特征線特征線特征相容關(guān)系特征相容關(guān)系23Copyright by Li Xinliang 特例：常系數(shù)線性單波方程特例：常系數(shù)線性單波方程0 xuatu特征線G ： 0atx特征關(guān)系式 ： 或 .constuG0Gsu擾動沿特征線以有限速度傳播的方程稱為擾動沿特征線以有限速度傳播的方程稱為“雙曲型雙曲型”方程方程 基本特征：基本特征： 擾動以有限速度傳播擾動以有限速度傳播 局部依賴關(guān)系局部依賴關(guān)系 - “ 依賴域依賴域”、 “影響域影響域”24Copyright

15、by Li XinliangTmuuuxt),.,(021UUAU2. 一階常系數(shù)偏微方程組一階常系數(shù)偏微方程組如果矩陣如果矩陣A 可以被對角化：可以被對角化：SSA1),.,(21mdiagSUV 0 xtUSSU10 xtUSUS令：有0 xtVV即： 0 xvtvjjjm個方程完全解耦，解耦， 可獨立求解可獨立求解有有m 條特征線：條特征線：0txjm個特征相容關(guān)系式個特征相容關(guān)系式：.constvjG如果矩陣如果矩陣A能夠（相似變換）對角化，則原方程是能夠（相似變換）對角化，則原方程是雙曲型雙曲型的的25Copyright by Li Xinliang 如果矩陣如果矩陣A 具有具有m個

16、實特征值，個實特征值， 這些特征值共具有這些特征值共具有m個線性無關(guān)的個線性無關(guān)的特征向量，特征向量， 則稱為則稱為雙曲型方程雙曲型方程 一階擬線性偏微分方程組和m條特征線上的m個特征相容關(guān)系（常微分方程）等價。 如果如果A A的特征值為的特征值為m m重根，而且對應(yīng)的獨立特征向量數(shù)小于重根，而且對應(yīng)的獨立特征向量數(shù)小于m m，則稱為，則稱為拋拋物型物型方程。方程。 如果其如果其A A的特征值均為復數(shù)，則稱為的特征值均為復數(shù)，則稱為橢圓型橢圓型方程方程組合情況：組合情況： 雙曲雙曲- -橢圓型橢圓型 雙曲雙曲- -拋物型拋物型思考題：思考題： 如果如果A為變系數(shù)情況？為變系數(shù)情況？26Copy

17、right by Li Xinliang3. 高階偏微方程高階偏微方程 可轉(zhuǎn)化為一階方程組可轉(zhuǎn)化為一階方程組) 1 (22222dyfcyxfbxfayfvxfu,原方程化為一階方程組：原方程化為一階方程組：)2(yuxvdyvcyubxua0/01/advuyacabvux轉(zhuǎn)化為一階偏微方程組轉(zhuǎn)化為一階偏微方程組01/acabA矩陣矩陣) 3(002cbaAI00042acb特征方程（特征方程（3）有兩個互異實根）有兩個互異實根 - 矩陣矩陣A可對角化可對角化 - 雙曲型雙曲型 特征方程（特征方程（3） 有兩個相同實根，且無法對角化有兩個相同實根，且無法對角化 - 拋物型拋物型特征方程（特征

18、方程（3）無實根）無實根 - 橢圓型橢圓型對于變系數(shù)情況，對于變系數(shù)情況， 局部討論局部討論27Copyright by Li Xinliang4. 討論討論Euler方程組方程組0Utxf(U)(2pEupuuEuf(U)UxxUAf(U)uucucuuu22232223112)2(1)3(2/)3(010UfA將矩陣將矩陣A對角化對角化SSA1321000000cucuu321,一維非定常一維非定常Euler方程轉(zhuǎn)化為方程轉(zhuǎn)化為三個單波方程三個單波方程 擾動波分別以速度擾動波分別以速度 傳播傳播一維非定常流動：28Copyright by Li Xinliang二維二維非定常非定常Eule

19、r方程組方程組0yxtg(U)f(U)f(U)xxUAf(U)SSA1),(4321diagcucuuu4321,29Copyright by Li Xinliang二維定常二維定常Euler方程方程2222222222222122222222221,23,42222200()0()100000ABCxyxyvvuvuuauau uauvavuauauaCA Bvuuvauuvuauauavuva uvaCIuuauvaWWWW特征方程：，特征值：，2222221 (0101MuvaMuvaM超音速） 四個獨立特征向量雙曲型（亞音速）一對復根橢圓-雙曲型（音速）兩組重根，第二組重根退化拋物-雙

20、曲型30Copyright by Li Xinliang模型方程及其數(shù)學性質(zhì)簡化的模型方程：簡化的模型方程：l 線性單波方程線性單波方程 最簡單的雙曲型方程最簡單的雙曲型方程l 熱傳導方程熱傳導方程 拋物型拋物型l Laplace方程方程橢圓型橢圓型l Burgers方程方程拋物型拋物型目的：目的： 通過簡化模型方程，研究流體力學方程組的數(shù)學性質(zhì)及計算方法通過簡化模型方程，研究流體力學方程組的數(shù)學性質(zhì)及計算方法偏微分方程的分類：DyCyxBxA22222042 ACB橢圓型042 ACB拋物型042 ACB雙曲型31Copyright by Li Xinliang1. 線性單波方程線性單波方程

21、0 xuctu)()0 ,(xxu方程的精確解：方程的精確解：)(),(ctxtxu含義：含義： 以常速度以常速度c向右傳播。向右傳播。 波形，振幅保持不變波形，振幅保持不變ABc0 擾動波向右傳播：擾動波向右傳播： 左端左端(A)需要給定邊界條件；需要給定邊界條件； 右端右端(B)只能被動接受，無法給定邊界條件只能被動接受，無法給定邊界條件 （即使給定，對計算域也無任何影響（即使給定，對計算域也無任何影響, 且造成且造成B端的非適定性）。端的非適定性）。c0 擾動波向左傳播：擾動波向左傳播： 右端右端(B)需要給定邊界條件；需要給定邊界條件； 左端左端(A)無需給定無需給定線性單波方程的邊界

22、條件線性單波方程的邊界條件:對于初值問題，如果微分方程解的定解域中存在、唯一、且連續(xù)依賴對于初值問題，如果微分方程解的定解域中存在、唯一、且連續(xù)依賴于初始值，則稱數(shù)學問題的提法是于初始值，則稱數(shù)學問題的提法是適定的適定的。對流方程的典型模型對流方程的典型模型32Copyright by Li XinliangxtxaxbAdxadtdxadt (,)PPP xtPPxatPPxat1)波動方程有兩條特征線和兩個特波動方程有兩條特征線和兩個特征相容關(guān)系；每個特征相容關(guān)系攜征相容關(guān)系；每個特征相容關(guān)系攜帶了偏微分方程的部分信息，在相帶了偏微分方程的部分信息，在相應(yīng)的特征線上傳播，信息傳播的速應(yīng)的特

23、征線上傳播，信息傳播的速度就是相應(yīng)特征值。度就是相應(yīng)特征值。 特點特點:2)兩條特征線上的特征相容關(guān)系綜合起來，和原來的兩條特征線上的特征相容關(guān)系綜合起來，和原來的偏微分方程是等價的。利用特征相容關(guān)系和初始值，偏微分方程是等價的。利用特征相容關(guān)系和初始值，我們可以得到波動方程初值問題的解。這種求解雙曲我們可以得到波動方程初值問題的解。這種求解雙曲型方程的方法稱為特征線法。型方程的方法稱為特征線法。 0dxffaadttxdxuuaafdttx 沿特征線，有沿特征線，有22222uuatx33Copyright by Li XinliangxtxaxbAdxadtdxadt (,)PPP xtP

24、PxatPPxat4)邊界條件邊界條件邊界條件個數(shù)=邊界處指向求解域內(nèi)的特征線條數(shù)5）時間變量的單向性）時間變量的單向性 2112tttt如，則 處的解不受 處的解的影響雙曲型方程可沿時間方向推進求解。34Copyright by Li Xinliang2. 熱傳導方程熱傳導方程 拋物型方程拋物型方程, 022xutu0 const)()0 ,(xxu0, txdtxttxu)(4)(exp41),(2精確解精確解：特點： 擾動解瞬時傳遍整個計算域擴散方程的典型模型擴散方程的典型模型35Copyright by Li Xinliang拋物型方程特點拋物型方程特點由于拋物型方程獨立的特征向量數(shù)少

25、于特征值數(shù)，因此，特征相容關(guān)由于拋物型方程獨立的特征向量數(shù)少于特征值數(shù)，因此，特征相容關(guān)系所包含的信息少于原拋物型偏微分方程的信息，即拋物型方程不可系所包含的信息少于原拋物型偏微分方程的信息，即拋物型方程不可能用特征線方法求解。能用特征線方法求解。 依賴域。由于特征相容關(guān)系的個數(shù)少于擬線性方程組未知量的個數(shù)，依賴域。由于特征相容關(guān)系的個數(shù)少于擬線性方程組未知量的個數(shù)，拋物型方程不存在有限的依賴域。因此，每一的解依賴于拋物型方程不存在有限的依賴域。因此，每一的解依賴于 整個整個求解域。求解域。拋物型方程的特征值均為實數(shù)，時間變量（或類似時間變量）有單向拋物型方程的特征值均為實數(shù)，時間變量（或類似