高中數(shù)學(xué) 正余弦定理1教學(xué)課件 新人教A版必修5

1、教學(xué)目標(biāo)：教學(xué)目標(biāo)：1、進(jìn)一步熟悉正余弦定理內(nèi)容、進(jìn)一步熟悉正余弦定理內(nèi)容;2、能夠應(yīng)用正余弦定理進(jìn)行邊角關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化、能夠應(yīng)用正余弦定理進(jìn)行邊角關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化;3、能夠利用正余弦定理判斷三角形的形狀、能夠利用正余弦定理判斷三角形的形狀;4、能夠利用正余弦定理證明三角形中的三角恒等式。、能夠利用正余弦定理證明三角形中的三角恒等式。教學(xué)重點(diǎn)：利用正余弦定理進(jìn)行邊角互換。教學(xué)重點(diǎn)：利用正余弦定理進(jìn)行邊角互換。難點(diǎn)：難點(diǎn)：1、利用正余弦定理進(jìn)行邊角互換時(shí)的轉(zhuǎn)化方向、利用正余弦定理進(jìn)行邊角互換時(shí)的轉(zhuǎn)化方向2、三角恒等式證明中結(jié)論與條件之間、三角恒等式證明中結(jié)論與條件之間 的內(nèi)在聯(lián)系的內(nèi)在聯(lián)系的尋求。

2、的尋求。正余弦定理正余弦定理abc=sinAsinBsinC正正弦弦定定理理：a a2 2=b=b2 2+c+c2 2-2bccosA-2bccosAb b2 2=a=a2 2+c+c2 2-2accosB-2accosBc c2 2=a=a2 2+b+b2 2-2abcosC-2abcosC222222222b +c -acosA=2bca +c -bcosB=2aca +b -ccosC=2ab余弦定理余弦定理解三角形中常用關(guān)系式解三角形中常用關(guān)系式 A+B+C=sin A+B =sinC, cos A+B =-cosC A+BCA+BCsin=cos cos=sin2222，2ABC1S

3、=absinC=2R sinAsinBsinC2 D DC CB BA A1 2BDAB=CDAC角平分線性質(zhì)角平分線性質(zhì)D DC CB BA A圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)A+ C= B+ D= 隨堂練習(xí)隨堂練習(xí) abc1ABC=k,k=sinAsinBsinC1 A 2R B R C 4R DR 2 RABC 、在在中中，那那么么、是是外外接接圓半徑圓半徑A2 2、在、在ABCABC中，中，bcosA=acosB,bcosA=acosB,則三角形為則三角形為 A A、直角三角形、直角三角形 B B、銳角三角形、銳角三角形 C C、等腰三角形、等腰三角形 D D、等邊三角形、等邊

4、三角形C3 3、在、在ABCABC中，若中，若a=6,b=7,c=8,a=6,b=7,c=8,則則ABCABC的形狀是的形狀是 A A、銳角三角形、銳角三角形 B B、鈍角三角形、鈍角三角形 C C、直角三角形、直角三角形 D D、無(wú)法確定、無(wú)法確定A4 4、在、在ABCABC中，下列命題正確的是中，下列命題正確的是11AsinA=A=30 BcosA=A=3022 、若若、若若C C、若、若a=7,b=6,c=10,a=7,b=6,c=10,則則C C為銳角為銳角D D、滿足、滿足a=18,b=20,A=150a=18,b=20,A=150o o的的ABCABC一定不存在一定不存在D5 5、

5、在、在ABCABC中，中，cosAcosBsinAsinB,cosAcosBsinAsinB,則則ABCABC為為 A A、等邊三角形、等邊三角形 B B、直角三角形、直角三角形 C C、等腰三角形、等腰三角形 D D、等腰三角形或直角三角形、等腰三角形或直角三角形C（事實(shí)上，（事實(shí)上，C為鈍角，只有為鈍角，只有C項(xiàng)適合）項(xiàng)適合）6 6、在、在ABCABC中，中，sinsin2 2A=sinA=sin2 2B+sinBsinC+sinB+sinBsinC+sin2 2C,C,則則A A等于等于 A A、3030o o B B、6060o o C C、120120o o D D、150150o

6、o7ABCB=30 ,b=50 3,c=150,ABC 、在在中中，已已知知那那么么是是A A、等邊三角形、等邊三角形 B B、直角三角形、直角三角形C C、等腰三角形、等腰三角形 D D、等腰三角形或直角三角形、等腰三角形或直角三角形DC18ABCA30sinA2 、在在中中，“”是是“”的的A A、充分不必要條件、充分不必要條件 B B、必要不充分條件、必要不充分條件C C、充要條件、充要條件 D D、既不充分也不必要條件、既不充分也不必要條件BtanAsinA9ABC=,_tanBsinB 、中中，那那么么三三角角形形是是等腰三角形等腰三角形1010、在、在ABCABC中，中，A A、B

7、 B均為銳角，且均為銳角，且cosAsinB,cosAsinB,則則ABCABC是是_鈍角三角形鈍角三角形11ABCsinA=2cosBsinC,ABC_ 、在在中中，那那么么是是等腰三角形等腰三角形22222212ABCAB= a +b ,AC= a +c ,BC= b +c ,a,b,c0,ABC_ 、已已知知中中，其其中中那那么么是是角角三三角角形形。銳銳0sin(90)sinAB即ABC1ABCa=4,b=5,S=5 3,c 例例 、在在中中，已已知知求求 的的值值。1S=absinC, a=4,b=5,S=5 32解解：2S3sinC=C=60120ab2 或或222C=60c =a

8、 +b -2abcosC=16+25-20=21 c= 21222C=120c =a +b -2abcosC=16+25+20=61 c= 61（三維）（三維）例例2 2、已知圓內(nèi)接四邊形、已知圓內(nèi)接四邊形ABCDABCD的邊長(zhǎng)分別為的邊長(zhǎng)分別為AB=2AB=2，BC=6BC=6，CD=DA=4CD=DA=4，求四邊形，求四邊形ABCDABCD的面積。的面積。D DC CB BA A解：連接解：連接BDBDABCDABDBCDS=S+S11=AB ADsinA+BC CDsinC22A+C=180sinA=sinC ABCD1S=AB AD+BC CD sinA=16sinA222222BD

9、=AB +AD -2AB ADcosA=CB +CD +2CB CDcosA22222 +4 -224cosA=6 +4 +264cosA 13cosA=-sinA=22ABCDS=8 3（例（例1變式）變式）222c13ABCb +c -bc=a=+ 3,AtanBb2 例例 、在在中中，和和求求 和和的的值值。222b +c -a1cosA=2bcA02=6 解解： 31cosB+sinBsin 120 -B1csinC22+ 3=2bsinBsinBsinB 131+ 3=cotB+2221tanB=2（三維）（三維）ABC14S=1 tanB=,tanC=-2,ABC2 例例 、已已知

10、知，求求的的邊長(zhǎng)和外接圓面積。邊長(zhǎng)和外接圓面積。152 5tanB=sinB=, cosB=255解解：2 55tanC=-2sinC=, cosC=-55 3sinA=sin B+C =sinBcosC+cosBsinC=5222ABC35 2 512S=1=2R sinAsinBsinC=2R=R55525 25 325R=S=625R =1212 152 15a3, b=, c=2RsinA=33（例（例1變式）變式）222tanA-tanBc-b5ABCa +b -c =ab,=,tanA+tanBc 例例 、在在中中，且且試判斷三角形的形狀。試判斷三角形的形狀。222a +b -c1

11、cosC=C=602ab2 解解： sin A-Bsin A-BtanA-tanBsinAcosB-cosAsinB=tanA+tanBsinAcosB+cosAsinBsin A+BsinC sin A-Bc-bsinC-sinBsinC-sinB=csinCsinCsinC sinB=sinC-sin A-B =sin A+B -sin A-B =2cosAsinB1cosA=A=602 A=B=C=60 三角形三角形ABCABC是正三角形是正三角形（三維）（三維）例例6 6、根據(jù)所給條件，判斷三角形、根據(jù)所給條件，判斷三角形ABCABC的形狀。的形狀。 abc1 acosA=bcosB

12、2 =cosAcosBcosC 1 sinAcosA=sinBcosBsin2A=sin2B解解：2A=2B2A+2B=180A=BA+B=90 或或或或ABCABC是是等腰三角形等腰三角形或或直角三角形直角三角形abcsinAsinBsinC2) =cosAcosBcosCcosAcosBcosCtanA=tanB=tanCtanA=tanB=tanCABCABC是是等邊三角形等邊三角形（例（例1變式）變式）小結(jié)小結(jié)1、正弦定理和余弦定理的每一個(gè)等式中都包含三角形、正弦定理和余弦定理的每一個(gè)等式中都包含三角形的四個(gè)元素，如果其中三個(gè)元素是已知的的四個(gè)元素，如果其中三個(gè)元素是已知的(其中至少有

13、其中至少有一邊一邊)，那么這個(gè)三角形一定可解。，那么這個(gè)三角形一定可解。2、正弦定理和余弦定理的特殊功能是邊角互換，即、正弦定理和余弦定理的特殊功能是邊角互換，即利用它們可以把邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，也可以把角利用它們可以把邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，也可以把角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，從而使許多問(wèn)題得以解決。的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，從而使許多問(wèn)題得以解決。3、判斷三角形的形狀，一般考慮從兩個(gè)方向進(jìn)行變、判斷三角形的形狀，一般考慮從兩個(gè)方向進(jìn)行變形。一個(gè)方向是邊，走代數(shù)變形之路，通常正、余弦形。一個(gè)方向是邊，走代數(shù)變形之路，通常正、余弦定理結(jié)合使用定理結(jié)合使用;另一個(gè)方向是角，走三角變形之路，另一個(gè)方向是角，走三角變形之路，通常是運(yùn)用正弦定理，要注意邊角轉(zhuǎn)化的橋梁通常是運(yùn)用正弦定理，要注意邊角轉(zhuǎn)化的橋梁-正、余弦定理。正、余弦定理。4、根據(jù)條件選用定理可使解題簡(jiǎn)便、根據(jù)條件選用定理可使解題簡(jiǎn)便1)1)已知兩角及其中一個(gè)角的對(duì)邊，選用正弦定理，已知兩角及其中一個(gè)角的對(duì)邊，選用正弦定理，如已知如已知A,B