CP040-計(jì)算物理數(shù)據(jù)擬合

1、實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的擬合n根據(jù)這些數(shù)據(jù)來尋找電阻和溫度兩個(gè)物理量之間近似的解析函數(shù)關(guān)系式或曲線方程解析函數(shù)關(guān)系式或曲線方程,使其到各點(diǎn)的使其到各點(diǎn)的距離盡量小距離盡量小。舉例這就是本章要討論的“擬合問題”n已經(jīng)測(cè)得在某熱敏電阻在不同溫度下的電阻如下： 電阻（歐姆） 600 300 100 50 10 5 溫度（攝氏度）10 30 50 70 90 100數(shù)據(jù)擬合的定義n物理學(xué)研究中，根據(jù)物理實(shí)驗(yàn)的觀測(cè)數(shù)據(jù)，確定物理量之間近似的解析函數(shù)關(guān)系式或曲線方程，這就是人們常說的數(shù)據(jù)擬合或曲線擬合。n數(shù)據(jù)擬合希望數(shù)據(jù)點(diǎn)平均地分布于曲線兩側(cè)，而不是通過所有數(shù)據(jù)。n數(shù)據(jù)擬合一般采用最小二乘原理實(shí)現(xiàn)。一元線性擬合T（攝氏

2、度）0102030190200R（歐姆）4.384.564.704.867.607.78例：已知不同溫度下測(cè)量的金屬電阻如下表所示：例：已知不同溫度下測(cè)量的金屬電阻如下表所示：已知金屬電阻已知金屬電阻R隨溫度隨溫度T變化的關(guān)系為變化的關(guān)系為R=R0(1+aT),試用試用擬合的方法求出擬合的方法求出R0和和a。解：設(shè)解：設(shè)y=R, x=T, 擬合曲線為擬合曲線為Y=A0+A1x。 記第記第i個(gè)測(cè)量值個(gè)測(cè)量值yi和擬合值和擬合值Yi的偏差為：的偏差為： 所有測(cè)量值和擬合值的偏差平方和為：所有測(cè)量值和擬合值的偏差平方和為： iiiYy niiininiiiixAAyYy12102112)()(最小二

3、乘原理要求偏差的平方和最小：一元線性擬合0010AA0)(20)(21010iiiiixxAAyxAAy21010iiiiiixAxAyxxAnAyxAyAxxyxxyA10221一元線性擬合13667675.56.08100nxi擬合計(jì)算表格：擬合計(jì)算表格：nyinyxiinxi2xAyAxxyxxyA10221代入到下式：代入到下式：039. 038. 40R017. 038. 410AA最后得到：最后得到：)0039. 01 (38. 4tRn非線性物理關(guān)系的線性擬合一元線性擬合TDCeR 例：例：TDCR1lnlnDACATxRy10,ln,1,ln令xAAy10問：問：xbaybax

4、xycaxy1.3.2.12如何轉(zhuǎn)化為線性關(guān)系？如何轉(zhuǎn)化為線性關(guān)系？多元線性擬合n已知：已知：變量y隨自變量(x1, x2, , xk)變化而變化，且測(cè)得實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)(x1i, x2i, , xki, yi) i=1,2 ,n, nk)n多元線性擬合的近似方程：多元線性擬合的近似方程： Y=A0+A1x1+A2 x2+ +Ak xk (*)n實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)(x1i, x2i, , xki)代入代入*式，計(jì)算偏差：式，計(jì)算偏差： ),.,2 , 1(.110nixAxAAyYykikiiiii多元線性擬合),.,2 , 1( ,).(),.,(1211010nixAxAAyAAAnikikiikn

5、偏差的平方和：偏差的平方和：要使偏差的平方和的值最小，則令上式對(duì)要使偏差的平方和的值最小，則令上式對(duì)A0，A1，A2，Ak的一階偏導(dǎo)數(shù)均等于的一階偏導(dǎo)數(shù)均等于0，即得到正規(guī)方程組：，即得到正規(guī)方程組：yxyxyAAAxxxxxxxxxxxxxxxknkkkkkk:.:.111022111221121推導(dǎo)見推導(dǎo)見P46P46多元線性擬合n由已知數(shù)據(jù)算出系數(shù)矩陣由已知數(shù)據(jù)算出系數(shù)矩陣X和和Y，代入，代入 到方程組：到方程組：yxyxyAAAxxxxxxxxxxxxxxxknkkkkkk:.:.111022111221121n求解方程組得到求解方程組得到A0，A1，A2，AkY=A0+A1x1+A2

6、 x2+ +Ak xk多元線性擬合n練習(xí)練習(xí)n試編程完成下題：已知一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表所示，試用最小二乘法求它的多元線性擬合曲線。k123456789x1k0.950.8910.8210.9210.9350.0570.1380.2720.445x2k0.2310.7620.4440.7380.9160.3520.2020.1980.931x3k0.6060.4560.6150.1760.410.8130.1980.0150.465x4k0.4850.0180.7910.4050.8930.0090.6030.7460.418yi5.7495.8487.1478.96510.483-0.5334.

7、9667.026.246A0=2.2;A1=4;A2=3;A3=5;A4=4.3;a=rand(4,9);for i=1:9 y(i)=A0+A1*a(1,i)+A2*a(2,i)-A3*a(3,i)+A4*a(4,i);enda=fix(a.*1000)/1000;y=fix(y.*1000)/1000;多元線性擬合n數(shù)據(jù)產(chǎn)生數(shù)據(jù)產(chǎn)生多項(xiàng)式擬合-非線性曲線擬合n已知數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=0,1,2,m)，求作一個(gè)不超過n(nm)次多項(xiàng)式 ，使得：nkkknxaxP0)(mkinixPy02)( 以上問題即為求解關(guān)于ak(k=0,1,m)的超定方程組：)(),.,2 , 1 , 0( ,0nmmiyxankikki 的最小二乘解問題。最小。多項(xiàng)式擬合-非線性曲線擬合n定理：a*為Xa=Y的最小二乘解的充要條件為 XTXa*=XTYmnnmmmnnyyyaaaxxxxxxxxx:.1:.1.11010111110100n超定方程組：多項(xiàng)式擬合-非線性曲線擬合n對(duì)應(yīng)的正規(guī)方程組：iniiiinnininininiiiiniiiyxyxyaaaxxxxxxxxxxxm:.:.1102211322n步驟：n確定擬合多項(xiàng)式的次數(shù)n;n算出正規(guī)方