高中數(shù)學新課程創(chuàng)新教學設(shè)計案例篇直線方程的概念與直線的斜率

1、22直線方程的概念與直線的斜率教材分析這節(jié)內(nèi)容從一個具體的一次函數(shù)及其圖像入手，引入直線方程和方程的直線的概念從研究直線方程的需要出發(fā)，引入直線在平面直角坐標系中的傾斜角和斜率的概念然后建立了過兩點的直線的斜率公式直線方程的概念是通過初中學過的一次函數(shù)的圖像引入的，是將一次函數(shù)與其圖像的關(guān)系轉(zhuǎn)換成直線方程與直線的對應(yīng)關(guān)系對這種關(guān)系的學習，要通過觀察圖像，研究圖像，利用數(shù)形結(jié)合的思想，歸納和概括出什么是直線的方程和方程的直線，使學生對直線和直線方程的關(guān)系有一個初步了解.傾斜角和斜率公式都是反映直線相對于X軸正方向的傾斜程度的，確切地說，傾斜角是直接反映這種傾斜程度的，斜率公式是利用直線上點的坐標

2、來研究直線的傾斜程度的解析幾何是用數(shù)來研究形的，在研究直線時，使用斜率公式比使用傾斜角更方便，因此正確理解斜率的概念，掌握過兩點的直線的斜率公式，是學習這節(jié)內(nèi)容的重點，也是學好平面解析幾何的關(guān)鍵教學目標1. 通過對本節(jié)的學習，了解直線的方程和方程的直線的概念，理解直線的傾斜角和斜率的概念，會準確地表述直線的傾斜角和斜率的意義2. 理解并掌握過兩點的直線的斜率公式，并能用其解決有關(guān)的數(shù)學問題3. 初步培養(yǎng)學生數(shù)形結(jié)合的思想，提高學生聯(lián)系、轉(zhuǎn)化、歸納、概括的思維能力，進一步培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和分析問題、解決問題的能力任務(wù)分析這節(jié)內(nèi)容是在一次函數(shù)的基礎(chǔ)上，通過研究一次函數(shù)和它的圖像的關(guān)系，而引入的直

3、線和方程的關(guān)系對于直線和方程的關(guān)系，學生接受起來可能比較困難，因此在學習時要始終結(jié)合具體的直線方程和它的圖像來研究，以增強直觀性，便于被學生理解直線的傾斜角和斜率是描述直線傾斜程度的，在學習過程中，一方面要注意有關(guān)概念之間的區(qū)別，另一方面要突出它們之間的聯(lián)系，要充分利用圖像進行具體分析，讓學生注意斜率的變化和傾斜角的關(guān)系，特別是當直線的傾斜角為直角時，直線的斜率不存在的情況，進一步強調(diào)：有斜率必有傾斜角與之對應(yīng)；反之，有傾斜角必有斜率與之對應(yīng)是不夠確切的在這節(jié)的學習中，要讓學生體會“形”與“數(shù)”相互轉(zhuǎn)化的思想，培養(yǎng)學生分析、聯(lián)想、抽象、概括的能力教學設(shè)計、問題情境1 .在初中，我們學習過一次函

4、數(shù)y=kx+b,（kw。，知道它的圖彳t是一條直線1,那么滿足y=kx+b的有序?qū)崝?shù)對（x,y）與直線1上的點的坐標有什么關(guān)系？能否把它推廣到一般的二元一次方程和直線？2 .作出函數(shù)y=2x+1的圖像，研究滿足y=2x+1的有序?qū)崝?shù)對與y=2x+1的圖像上點的坐標的關(guān)系二、建立模型1. 學生分析討論，師生共同總結(jié)（1）有序?qū)崝?shù)對（0,1）滿足函數(shù)y=2x+1,在直線1上就有一點A,它的坐標是（0,1）;又如有序?qū)崝?shù)對（2,5）滿足函數(shù)y=2x+1,在直線1上就有一點B,它的坐標是（2,5）（2）在直線1上取一點P（1,3）,則有序?qū)崝?shù)對（1,3）就滿足函數(shù)y=2x+1;又如在直線1上取一點Q（

5、1,1）,則有序?qū)崝?shù)（1,1）就滿足函數(shù)y=2x+1.結(jié)論：一般地，滿足函數(shù)式y(tǒng)=kx+b的每一對x,y的值，都是直線1上的點的坐標；反之，直線1上每一點的坐標（x,y）都滿足函數(shù)式y(tǒng)=kx+b,因此，一次函數(shù)y=kx+b的圖像是一條直線，它是以滿足y=kx+b的每一對x,y的值為坐標的點構(gòu)成的.2. 教師明晰從方程的角度看，函數(shù)y=kx+b可以看作二元一次方程y-kx-b=0,這樣滿足一次函數(shù)y=kx+b的每一對（x,y）的值"，就是上元一次方程ykxb=0的解x,y”;以方程ykxb=0的解為坐標的點就在函數(shù)y=kx+b的圖像上；反過來，函數(shù)y=kx+b的圖像上的任一點的坐標滿足

6、方程y-kx-b=0,這樣直線和方程就建立了聯(lián)系.一般地，如果以一個方程的解為坐標的點都是某條直線上的點；反之，這條直線上點的坐標都是這個方程的解，那么這個方程叫作這條直線的方程；這條直線叫這個方程的直線由于方程y=kx+b的圖像是一條直線，因而我們今后就常說直線y=kx+b.練習：已知方程2x+3y+6=0.（1）把這個方程改寫成一次函數(shù)（2）畫出這個方程對應(yīng)的直線l（3）判定點（，1），（3，0）是否在直線1上.進一步思考如下問題：哪些條件可以確定一條直線？在平面直角坐標系中，過點P的任何一條直線1,對x軸的相應(yīng)位置有哪些情形？如何刻畫它們的相對位置？3. 通過學生討論，師生共同總結(jié)直線相

7、對x軸的情形有四種，如圖所示：通過分析四種情形，師生共同得出：直線相對X軸的位置情形，可用直線l和x軸所成的角來描述我們規(guī)定：x軸正向與直線向上的方向所成的角叫作這條直線的傾斜角，與x軸平行或重合的直線的傾斜角為零度角問題：（1）在直角坐標系中，畫出過點P（1，2），傾斜角分別為45°，150°，0°，90°的四條直線（2）直線的傾斜角的取值范圍是怎樣的？通過討論師生共同明確：直線的傾斜角的取值范圍是0°W4180。.在此范圍的直角坐標平面上的任何一條直線都有唯一的傾斜角，而每一個傾斜角確定一條直線的方向傾斜角直觀地表示了直線相對x軸正方向的傾

8、斜程度從上面的討論可以看出，直線在坐標系中的傾斜程度可以用傾斜角直觀地來表示我們知道，當一條直線上的兩個點確定時，這條直線也就隨之確定了，那么現(xiàn)在的問題是：如果已知直線上兩點Pi（xi,yi）,P2（x2,y2）,那么如何用xi,yi,x2,y來量化直線PiP2的傾斜程度呢？在教師的啟發(fā)下，引導學生作如下探索：直線y=kx+b被其上的任意兩個不同的點唯一確定（如圖22-3）.因此，由該直線上任意兩點A（xi，yi），B（x2，y2）的坐標可以計算出k的值由于x1，y1和x2，y2是直線方程的兩組解，所yi=kxi+b,y2=kx2+b.兩式相減，得y2yi=kx2kx2=k(x2xi).由直線

9、上兩點的坐標求該直線的斜率k與這兩點在直線上的順序無關(guān)，可知如果令Ax=X2xi,Ay=y2yi,則Ax表示變量x的改變量，Ay表示相應(yīng)的y的改變工日量于是因此，我們把直線y=kx+b中的系數(shù)k叫作該直線的斜率.垂直于x軸的直線不存在斜率想想看：（1）在函數(shù)方程y=kx中，如果x表示某物體運動的時間（t）,y表示在時刻x時運動過的距離（m）,那么k表示的意義是什么？k=60,120,的具體意義是什么？（2）如果在函數(shù)方程y=120x中，x表示某商店銷售某個商品的數(shù)量，y表示銷售所得的總收入（元），那么斜率k=120表示的意義是什么？進一步引導學生明確下列事實：除去垂直于x軸的直線外，只要知道直

10、線上兩個不同點的坐標，由（*）式就可以算出這條直線的斜率方程y=kx+b的圖像是通過點（0,b）且斜率為k的直線.對一次函數(shù)確定的直線，它的斜率等于相應(yīng)函數(shù)值的改變量與自變量改變量的比值直觀上可使我們感知到斜率k的值決定了這條直線相對于x軸的傾斜程度當k=0時，直線平行于x軸或與x軸重合，直線的傾斜角等于0°.當k>0時，直線的傾斜角為銳角；k值增大，直線的傾斜角也隨著增大.當k<0時，直線的傾斜角為鈍角；k值增大，直線的傾斜角也隨著增大垂直于x軸的直線的傾斜角等于90°.三、解釋應(yīng)用例題1. 求經(jīng)過A（2，0），B（5，3）兩點的直線的斜率k解：xi=2,x2

11、=5,yi=0,y2=3;Ax=2（-5）=3,A尸03=3.=-1,即k=-1.2. 畫出方程3x+6y8=0的圖像.解：由已知方程解出y,得y=這是一次函數(shù)的表達式，它的圖像是一條直線當x=0時，y=）， B（ 2，在坐標平面內(nèi)描出點A（0，），則經(jīng)過A，B兩點的直線即為所求一次方程的圖像（如圖22-4）3. 若三點A（2，3），B（3，2），C（m）共線，求m的值.解：因為A,B,C三點共線，所以kAc=kAB,思考總結(jié)：研究三點共線的常用方法練習1.經(jīng)過下列兩點的直線的斜率是否存在？如果存在，求其斜率1）（1，1），（3，2）2）（1，2），（5，2）3）（3，4），（2，5）4）（3

12、，0），（0，）2 .已知過點P（2,m）和Q（m,4）的直線的斜率等于1,求m的值.3 .過點P（1，2）的直線l與x軸和y軸分別交于A，B兩點若點P恰為線段ABl的斜率四、拓展延伸1.直線的斜率k與直線的傾斜角”之間的關(guān)系怎樣?2 .已知點Pi(xi,yi),P2(x2,y2),P1P2的斜率為k,求證：|P1P2|=IXiX2I=Iyiy21.3 .某城市出租汽車所收租車費y(元)與行駛路程x(km)之間的關(guān)系可用下列關(guān)系式表示你能用斜率來解釋這一實際問題嗎？點評這篇案例首先通過實例一次函數(shù)的圖像和一次函數(shù)的解析式的關(guān)系，引入了直線的方程和方程的直線的概念，在概念的建立上充分利用了圖像的直觀性，注重了數(shù)形結(jié)合的思想，注意了概念的嚴謹性接著