立體圖形與路徑最短問題

1、趙來福趙來福BA問題情境一問題情境一 在棱長為在棱長為1的立方體的立方體的右下角的右下角A處有一只螞蟻，處有一只螞蟻，欲從立方體的外表面爬行欲從立方體的外表面爬行去吃右上角去吃右上角B處的食物，處的食物，問怎樣爬行路徑最短，最問怎樣爬行路徑最短，最短路徑是多少？它有幾種短路徑是多少？它有幾種爬行方法？（注：每一個爬行方法？（注：每一個面均能爬行）面均能爬行）知識準備知識準備1、什么是線段公理？、什么是線段公理？兩點之間，線段最短兩點之間，線段最短2、勾股定理、勾股定理在在RtABC中，兩直角邊為中，兩直角邊為a、b,斜邊為斜邊為c，則，則a2+b2=c2.思維點撥思維點撥 1、在立體圖形中，怎

2、樣利用線段公理解、在立體圖形中，怎樣利用線段公理解決路徑最短問題？決路徑最短問題？ 2、怎樣展開立方體的表面？展開哪幾、怎樣展開立方體的表面？展開哪幾個面呢？個面呢？ 3、和、和A相連的面有哪幾個？和相連的面有哪幾個？和B相連的面相連的面有哪幾個？有哪幾個？4、最短路徑要走幾個面？怎么走？、最短路徑要走幾個面？怎么走？BA前面前面右面右面上面上面后面后面左面左面下面下面標注六個表面標注六個表面思維方法和過程思維方法和過程A點點前面前面左面左面下面下面上面上面右面右面后面后面B點點從從A到到B走最短路徑要走幾個面？走最短路徑要走幾個面？前面和右面；前面和右面；前面和上面；前面和上面；左面和上面；

3、左面和上面；左面和后面；左面和后面；下面和右面；下面和右面；下面和后面下面和后面.AB1前面前面右面右面B方法一方法一1、展開、展開前面前面和和右面右面2、連接、連接AB1則則AB1為最短路徑為最短路徑由勾股定理得由勾股定理得AB1=51222AB2B前面前面上面上面方法二方法二2、連接、連接AB2則則AB2為最短路徑為最短路徑AB2=512221、展開、展開前面前面和和上面上面由勾股定理得由勾股定理得左面左面上面上面A1B3方法三方法三2、連接、連接A1B3則則A1B3為最短路徑為最短路徑A1B3=512221、展開、展開前面前面和和上面上面由勾股定理得由勾股定理得方法四方法四2、連接、連接

4、AB4則則AB4為最短路徑為最短路徑AB4=512221、展開、展開左面左面和和后面后面由勾股定理得由勾股定理得AB4方法五方法五2、連接、連接AB5則則AB5為最短路徑為最短路徑AB5=512221、展開、展開下面下面和和右面右面由勾股定理得由勾股定理得AB5方法六方法六2、連接、連接AB6則則AB6為最短路徑為最短路徑AB6=512221、展開、展開下面下面和和后面后面由勾股定理得由勾股定理得AB6總結總結從從A到到B共有六種最短路徑共有六種最短路徑最短路徑為最短路徑為5BAAB問題情境二問題情境二 在底面半徑為在底面半徑為1、高、高為為2的圓柱體的左下角的圓柱體的左下角A處有一只螞蟻，欲

5、從圓柱處有一只螞蟻，欲從圓柱體的側面爬行去吃右上角體的側面爬行去吃右上角B處的食物，問怎樣爬行處的食物，問怎樣爬行路徑最短，最短路徑是多路徑最短，最短路徑是多少？少？A B 問題解決問題解決 從從A點向上剪開，則側面展開圖如圖所示，點向上剪開，則側面展開圖如圖所示，連接連接AB，則，則AB為爬行的最短路徑為爬行的最短路徑.2224AB2最短路徑最短路徑： 在底面半徑為在底面半徑為1、高、高為為2的圓柱體的左下角的圓柱體的左下角A處有一只螞蟻，欲從圓柱處有一只螞蟻，欲從圓柱體的側面如圖迂回爬行去體的側面如圖迂回爬行去吃左上角吃左上角B處的食物，問處的食物，問怎樣爬行路徑最短，最短怎樣爬行路徑最短

6、，最短路徑是多少？路徑是多少？AB問題情境三問題情境三A B 問題解決問題解決 從從A點向上剪開，則側面展開圖如圖所示，點向上剪開，則側面展開圖如圖所示，連接連接AB，則，則AB為爬行的最短路徑為爬行的最短路徑.22221244AB22）（最短路徑最短路徑：AB問題情境四問題情境四 在底面半徑為在底面半徑為1、高、高為為2的圓柱體的左下角的圓柱體的左下角A處有一只螞蟻，欲爬行去處有一只螞蟻，欲爬行去吃右上角吃右上角B處的食物，問處的食物，問怎樣爬行路徑最短，最短怎樣爬行路徑最短，最短路徑是多少？路徑是多少？思維分析思維分析1、問題四和問題二的區(qū)別在哪兒？、問題四和問題二的區(qū)別在哪兒？問題二指明

7、在側面爬行；問題四沒有說明問題二指明在側面爬行；問題四沒有說明.2、問題四沒有指明側面會發(fā)生什么變化？、問題四沒有指明側面會發(fā)生什么變化？可能出現(xiàn)可能出現(xiàn)2種情況：種情況：在側面爬行在側面爬行沿沿A向上向上再沿上底面直徑爬行到再沿上底面直徑爬行到BA B 情況一解決情況一解決 從從A點向上剪開，則側面展開圖如圖所示，點向上剪開，則側面展開圖如圖所示，連接連接AB，則，則AB為爬行的最短路徑為爬行的最短路徑.2224AB2最短路徑最短路徑：情況二解決情況二解決ABB 如圖，展開上底面，沿如圖，展開上底面，沿AB爬行是此種情況的最短爬行是此種情況的最短路徑路徑.最短路徑為：最短路徑為：4比較選擇最

8、短路徑比較選擇最短路徑兩個最短路徑兩個最短路徑 和和4哪一個最小呢？哪一個最小呢？24比較大小：比較大?。?4224因此最短路徑為側面爬行的因此最短路徑為側面爬行的是否所有的情況下都是側面爬行路徑最短嗎？是否所有的情況下都是側面爬行路徑最短嗎？高和底面半徑換一些數(shù)據試一試高和底面半徑換一些數(shù)據試一試.AB延伸問題五延伸問題五 在底面半徑為在底面半徑為r、高、高為為h的圓柱體的左下角的圓柱體的左下角A處有一只螞蟻，欲爬行去處有一只螞蟻，欲爬行去吃右上角吃右上角B處的食物，問處的食物，問怎樣爬行路徑最短，最短怎樣爬行路徑最短，最短路徑是多少？路徑是多少？A B 情況一情況一 從從A點向上剪開，則側

9、面展開圖如圖所示，點向上剪開，則側面展開圖如圖所示，連接連接AB，則，則AB為爬行的最短路徑為爬行的最短路徑.rh222AB最短路徑最短路徑：情況二解決情況二解決ABB 如圖，展開上底面，沿如圖，展開上底面，沿AB爬行是此種情況的最短爬行是此種情況的最短路徑路徑.最短路徑為：最短路徑為：h+2r比較與總結比較與總結比較比較 和和 h+2r的大小的大小 rh222rh222=h+2rrh442時，兩種路徑情況一樣當rh442短時，沿側面爬行路徑最當rh442最短向上再沿上底直徑爬行時，沿當A442rh543AB 在長為在長為5、寬為、寬為3、高、高為為4的長方體的右下角的長方體的右下角A處有一只

10、螞蟻，欲從長方處有一只螞蟻，欲從長方體的外表面爬行去吃右上體的外表面爬行去吃右上角角B處的食物，問怎樣爬處的食物，問怎樣爬行路徑最短，最短路徑是行路徑最短，最短路徑是多少？多少？問題情境六問題情境六思維分析思維分析1、長方體和立方體的情況一樣嗎？它們有什么、長方體和立方體的情況一樣嗎？它們有什么相同和不同點呢？相同和不同點呢？和和A相連的面是左面、前面和下面；相連的面是左面、前面和下面；和和B相連的面是上面、右面和后面相連的面是上面、右面和后面.共有六種不同的選擇路徑共有六種不同的選擇路徑這六種不同選擇的路徑大小相同嗎？這六種不同選擇的路徑大小相同嗎？思維方法和過程思維方法和過程A點點前面前面

11、左面左面下面下面上面上面右面右面后面后面B點點543AB543ABB情況一情況一展開前面和右面，連接展開前面和右面，連接AB，此時路徑最短，此時路徑最短.5480AB4822543ABB情況二情況二 展開前面和上面，連展開前面和上面，連接接AB，此時路徑最短，此時路徑最短.74AB5722543ABBA情況三情況三 展開左面和上面，連接展開左面和上面，連接AB，此時路，此時路徑最短徑最短.10390AB3922比較和總結比較和總結比較三種情況的最短路徑比較三種情況的最短路徑1035474且另三種情況與上述三種情況結果分別相同且另三種情況與上述三種情況結果分別相同因此爬行的最短路徑為因此爬行的最

12、短路徑為74ABC問題情境七問題情境七 如圖如圖, ,圓錐的底面半徑為圓錐的底面半徑為1,1,母線長為母線長為4,4,一一只螞蟻要從底面圓周上一點只螞蟻要從底面圓周上一點B B出發(fā)出發(fā), ,沿圓錐側面沿圓錐側面爬行一圈再回到點爬行一圈再回到點B,B,問它爬行的最短路線是多問它爬行的最短路線是多少少? ?ABCB思維分析思維分析 圓錐的側面展開圓錐的側面展開圖如圖所示，連接圖如圖所示，連接BB，則，則BB為螞蟻為螞蟻爬行的最短路徑爬行的最短路徑.ABC41B解解: :設圓錐的側面展開圖為扇形設圓錐的側面展開圖為扇形ABB, BAB=nABB, BAB=n ABBABB是直角三是直角三角形角形解得

13、解得: n=90: n=90 圓錐底面半徑為圓錐底面半徑為1, 1,母線長為母線長為4 4連接連接BB,BB,即為螞蟻爬行的最短路線即為螞蟻爬行的最短路線 2 2= 4n 4n180180問題解決問題解決 BB= BB=244422答答: :螞蟻爬行的最短路線為螞蟻爬行的最短路線為 . .24 如如圖，圓錐的底面半徑為圖，圓錐的底面半徑為1 1，母線長為，母線長為3 3，一只螞蟻要從底面圓周上一點一只螞蟻要從底面圓周上一點B B出發(fā)，沿圓出發(fā)，沿圓錐側面爬到過母線錐側面爬到過母線ABAB的軸截面上另一母線的軸截面上另一母線ACAC上，問它爬行的最短路線是多少？上，問它爬行的最短路線是多少？AB

14、C問題情境八問題情境八. 323323. 3,60.60120360.它爬行的最短路線是答中在垂足為作過點的中點是則點展開成扇形將圓錐沿解：BDABBAD，ABCRtBADlrBBADAC，BDB，BBC，BABAB：=. 323323. 3,60.60120360. 它爬行的最短路線是答中在垂足為作過點的中點是則點展開成扇形將圓錐沿解：BDABBAD，ABCRtBADlrBBADAC，BDB，BBC，BABAB：. 323323. 3,60.60120360.它爬行的最短路線是答中在垂足為作過點的中點是則點展開成扇形將圓錐沿解：BDABBAD，ABCRtBADlrBBADAC，BDB，BBC，BABAB：=. 323323. 3,60.60120360.它爬行的最短路線是答中在垂足為作過點的中點是則點展開成扇形將圓錐沿解：BDABBAD，ABCRtBADlrBBADAC，BDB，BBC，BABAB：=. 323323. 3,60.60120360.它爬行的最短路線是答中在垂足為作過點的中點是則點展開成扇形將圓錐沿解：BDABBAD，ABCRtBADlrBBADAC，BDB，BBC，BABAB：=. 323323. 3,60.60120360.它爬行的最短路線是答中在垂足為作過點的中點是則點展開成扇形將圓錐沿解：BDABBAD，ABCRtBADlrBBADA