線(xiàn)性代數(shù) 行列式性質(zhì)

1、上課 手機(jī)手機(jī) 關(guān)了嗎？關(guān)了嗎？2022-3-19第一章 行列式2111212122212nnnnnnaaaaaaDaaa 1 21 21 12 2()()( 1)nnn ni iij jji ji ji jaaa1 2121 2()12( 1)nnnj jjjjnjj jjaaa復(fù)習(xí)：行列式定義復(fù)習(xí)：行列式定義 從理論上說(shuō)，利用定義可求任一行列式的值從理論上說(shuō)，利用定義可求任一行列式的值,但對(duì)但對(duì)n階行列式，要作階行列式，要作n!1次加減法，每項(xiàng)要次加減法，每項(xiàng)要作作n1次乘法，總共作次乘法，總共作n!(n1)次乘法。次乘法。如如n5，需，需119次減次減法，法，480次乘法。故高于次乘法。

2、故高于3階階的行列式常利用性質(zhì)轉(zhuǎn)化為特殊行列式再計(jì)算的行列式常利用性質(zhì)轉(zhuǎn)化為特殊行列式再計(jì)算. .2022-3-19第一章 行列式31.2 行列式的性質(zhì)行列式的性質(zhì)111212122212nnnnnnaaaaaaDaaa 112111222212nnTnnnnaaaaaaDaaa 稱(chēng)為稱(chēng)為D的轉(zhuǎn)置行列式的轉(zhuǎn)置行列式 T turn D中的中的aij在在DT中的位置中的位置: :即即: :D與與DT互為轉(zhuǎn)置行列式?；檗D(zhuǎn)置行列式。 j行行i列列(DT)TD2022-3-19第一章 行列式4性質(zhì)性質(zhì)1: 行列式與其轉(zhuǎn)置行列式的行列式與其轉(zhuǎn)置行列式的值值相等相等.即即:注注:這里行列式的值相等這里行列

3、式的值相等; 而而(DT)TD形式也相同形式也相同.該性質(zhì)由行列式定義易理解、證明。該性質(zhì)由行列式定義易理解、證明。 由此，行列式的行和列地位相同，由此，行列式的行和列地位相同，故對(duì)故對(duì)行行成立的性質(zhì)對(duì)成立的性質(zhì)對(duì)列列也成立。也成立。111212122212nnnnnnaaaaaaaaa112111222212nnnnnnaaaaaaaaa DDT2022-3-19第一章 行列式5性質(zhì)性質(zhì)2: 互換行列式的兩行互換行列式的兩行(列列),行列式變號(hào)行列式變號(hào).證證:左一般項(xiàng)左一般項(xiàng)112()12( 1)isnisnjjjjjjijsjnjaaaaa 其其n個(gè)元素也是右行列式不同行不同列元素個(gè)元素

4、也是右行列式不同行不同列元素, ,符號(hào)符號(hào): :11(12)()()( 1)( 1)isnisnsinjjjjjjjj 1112111121121212121212nniiinsssnsssniiinnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa i行行i行行s行行s行行2022-3-19第一章 行列式6性質(zhì)性質(zhì)3:注注: 常以常以ri表示行列式的第表示行列式的第i行行(row),以以ci表示行列式的第表示行列式的第i列列(column).ijrrijcc記號(hào)記號(hào):推論推論:兩行兩行(列列)完全相同完全相同, 行列式值為行列式值為零零.111211212niiinnnnnaa

5、akakakaaaa111211212niiinnnnnaaaaaakaaa 即即:行列式任一行行列式任一行(列列)的公因子可提到行列式之的公因子可提到行列式之外外.或：用常數(shù)或：用常數(shù)k乘行列式任意一行乘行列式任意一行(列列)的諸元素的諸元素,等于用等于用k乘這個(gè)行列式乘這個(gè)行列式. (由行列式定義易證由行列式定義易證)DD記號(hào)記號(hào):()iirk ck()iirk ck推論推論: 行列式中如果有兩行行列式中如果有兩行(列列)元素成比例元素成比例,則此行列式等于零則此行列式等于零.性質(zhì)性質(zhì)4:11121112212niiiiininnnnnaaaabababaaa1112112nnnnnaaa

6、aaa 1112112nnnnnaaaaaa 1ia2iaina1ib2ibinb注注:性質(zhì)性質(zhì)3,性質(zhì)性質(zhì)4又稱(chēng)為線(xiàn)性性質(zhì)又稱(chēng)為線(xiàn)性性質(zhì)即即: :行列式某行行列式某行( (列列) )所有元素均為所有元素均為兩數(shù)之和，則行列式可寫(xiě)為兩行兩數(shù)之和，則行列式可寫(xiě)為兩行列式之和列式之和. . (由行列式定義易證由行列式定義易證)性質(zhì)性質(zhì)5:行列式中某行行列式中某行(列列)元素的元素的k倍加到另一行倍加到另一行(列列)的對(duì)應(yīng)元素上去，行列式的值不變的對(duì)應(yīng)元素上去，行列式的值不變.11121121212niiinjjjnnnnnaaaaaaaaaaaa 1112112112212niiinjijijni

7、nnnnnaaaaaaakaakaakaaaa 記號(hào)記號(hào):jirkr jickc (右右 左左)該性質(zhì)用得較多，它使行列式在等值該性質(zhì)用得較多，它使行列式在等值變形前提下出現(xiàn)零元素，便于計(jì)算。變形前提下出現(xiàn)零元素，便于計(jì)算。 性質(zhì)性質(zhì)4性質(zhì)性質(zhì)3推論推論2311451331531201D 2131414,3( 2)12010131105500711rr rrrr 4211020111300550026rr 141201451331532311rr 例例12411020111300550117cc432511020111300550008rr 402022-3-19第一章 行列式10123111

8、2311223112321123110nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaxaaaaaaaxaaaaaaaxaaaaaaax 例例2. 解方程解方程分析分析n1 1次方程次方程! !關(guān)鍵是計(jì)算左邊的關(guān)鍵是計(jì)算左邊的n階行列式階行列式.(注：該行列式第一列元素均相注：該行列式第一列元素均相同，其第一個(gè)元同，其第一個(gè)元素沒(méi)有遵循對(duì)角線(xiàn)上元素的規(guī)律素沒(méi)有遵循對(duì)角線(xiàn)上元素的規(guī)律)首行乘以首行乘以-1-1加到下面各行，即加到下面各行，即化為上三角形化為上三角形.123111231122311232112311nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaxaaaaaaaxaaaaaaaxaaaaaaax

9、解解112311()22,210000000000000000innrrinnnaaaaaaxaxaxax 2022-3-19第一章 行列式12原方程為原方程為:是原是原n1 1次方程的次方程的n 1 1個(gè)根個(gè)根. .xaaaaaxaaaaaxaaDaaaxaaaaax例例3. 計(jì)算計(jì)算n階行列式階行列式a1(a1x)(a2x)(an-2x)(an-1x)a1(a1x)(a2x)(an-2x)(an-1x)0故故 x1a1， x2 a2， ， xn-2 an-2，xn-1 an-12022-3-19第一章 行列式13分析分析若若a11a，題型同上例，題型同上例. 這里這里a11不與該列不與該列

10、其它元素相同，而與主對(duì)角線(xiàn)上其它元素相同其它元素相同，而與主對(duì)角線(xiàn)上其它元素相同!每行元素之和相同！每行元素之和相同！ 將第將第2n列加至首列列加至首列,則首列元素均相同則首列元素均相同, 轉(zhuǎn)化為上例題型轉(zhuǎn)化為上例題型.12,(1)(1)(1)(1)(1)iccinxnaaaaaxnaxaaaxnaaxaaDxnaaaxaxnaaaax 解：解：2022-3-19第一章 行列式1412,(1)0000000000000000irrinxnaaaaaxaxaxaxa x(n1)a (xa)n-1例例4(箭形行列式箭形行列式)012111100(0,1001,2, )100inaaaDaina11

11、011()1(2,3,1)21111000000000iiniiccainnaaaDaa 12011()nniia aa aa解解計(jì)算有的行列式計(jì)算有的行列式可利用性質(zhì)化為可利用性質(zhì)化為“箭形行列式箭形行列式”，然后再化為上，然后再化為上三角形行列式三角形行列式.例例5計(jì)算計(jì)算2324323631063abcdaababcabcdDaababcabcdaababcabcd 解解:433221rrrrrr 002320363abcdaababcaababcaababc4332rrrr 0002003abcdaababcaabaab 43rr 0002000abcdaababcaaba (注注:首

12、行乘以首行乘以(-1)加至下各行，如加至下各行，如此下去亦可成功此下去亦可成功)a4D1112132122233132331aaaaaaaaa例例6. 設(shè)設(shè), 求求13111223212233313210625353aaaaaaaaa1311121112132321222122233331323132331062621053355335aaaaaaaaaaaaaaaaaa 解解1112132122233132332223 5aaaaaaaaa 11121321222331323315 ( 2)aaaaaaaaa 301333332333333333333Dn例例7. 計(jì)算行列式計(jì)算行列式分析分

13、析 n階數(shù)字行列式階數(shù)字行列式. . 根據(jù)其數(shù)字排列規(guī)律根據(jù)其數(shù)字排列規(guī)律, ,考慮利用第考慮利用第3行所有元素均為行所有元素均為3這一特點(diǎn)作變形這一特點(diǎn)作變形. .1323( 1)( 1)20000010000033300003ccccn 解解3( 1)1,2,4,20000010003333300003irrinDn (n3)!6由定義亦可得結(jié)由定義亦可得結(jié)論論2022-3-19第一章 行列式19 例例8. 證明奇數(shù)階反對(duì)稱(chēng)行列式的值為證明奇數(shù)階反對(duì)稱(chēng)行列式的值為0注注 對(duì)稱(chēng)行列式：滿(mǎn)足對(duì)稱(chēng)行列式：滿(mǎn)足aijaji ；反對(duì)稱(chēng)行列式：滿(mǎn)足反對(duì)稱(chēng)行列式：滿(mǎn)足aij-aji1213112232132331230000nnnnnnaaaaaaDaaaaaa 證：設(shè)證：設(shè)則由行列式性質(zhì)則由行列式性質(zhì)1及性質(zhì)及性質(zhì)3，有：，有：aiiaiiaii0 01213112232132331230000n