排列組合基本知識

1、精品文檔有關(guān)排列組合的基本知識排列與元素的順序有關(guān)，組合與順序無關(guān)如231 與 213 是兩個排列， 2 3 1 的和與2 1 3 的和是一個組合( 一 ) 兩個基本原理是排列和組合的基礎(chǔ)(1) 加法原理： 做一件事，完成它可以有 n 類辦法，在第一類辦法中有 m1種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法， ，在第 n 類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N m1m2 m3 mn種不同方法(2) 乘法原理：做一件事，完成它需要分成n 個步驟，做第一步有m1種不同的方法， 做第二步有m2種不同的方法， ，做第 n 步有 mn種不同的方法，那么完成這件事共有Nm1×m2&

2、#215;m3× ×mn種不同的方法這里要注意區(qū)分兩個原理，要做一件事，完成它若是有n 類辦法， 是分類問題，第一類中的方法都是獨立的， 因此用加法原理； 做一件事， 需要分 n 個步驟， 步與步之間是連續(xù)的，只有將分成的若干個互相聯(lián)系的步驟，依次相繼完成，這件事才算完成，因此用乘法原理這樣完成一件事的分“ 類” 和 “ 步 ” 是有本質(zhì)區(qū)別的，因此也將兩個原理區(qū)分開來( 二 ) 排列和排列數(shù)(1) 排列：從 n 個不同元素中，任取 m(mn) 個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從 n 個不同元素中取出 m個元素的一個排列從排列的意義可知，如果兩個排列相同，不僅這兩個排列

3、的元素必須完全相同，而且排列的順序必須完全相同，這就告訴了我們?nèi)绾闻袛鄡蓚€排列是否相同的方法(2) 排列數(shù)公式： 從 n 個不同元素中取出 m(mn) 個元素的所有排列 , 當(dāng) m n 時，為全排列 Pnn=n(n 1)(n 1)3·2·1 n！( 三 ) 組合和組合數(shù)(1)組合：從n 個不同元素中，任取m(mn) 個元素并成一組，叫做從n 個不同元素中取出 m個元素的一個組合從組合的定義知，如果兩個組合中的元素完全相同，不管元素的順序如何，都是相同的組合；只有當(dāng)兩個組合中的元素不完全相同時，才是不同的組合(2) 組合數(shù)：從n 個不同元素中取出m(mn) 個元素的所有組合的

4、個這里要注意排列和組合的區(qū)別和聯(lián)系，從 n 個不同元素中， 任取 m(mn) 個元素， “ 按照一定的順序排成一列” 與 “ 不管怎樣的順序并成一組” 這是有本質(zhì)區(qū)別的一、排列組合部分是中學(xué)數(shù)學(xué)中的難點之一，原因在于。1歡迎下載精品文檔(1) 從千差萬別的實際問題中抽象出幾種特定的數(shù)學(xué)模型，需要較強的抽象思維能力(2) 限制條件有時比較隱晦， 需要我們對問題中的關(guān)鍵性詞 ( 特別是邏輯關(guān)聯(lián)詞和量詞 )準(zhǔn)確理解；(3) 計算手段簡單， 與舊知識聯(lián)系少， 但選擇正確合理的計算方案時需要的思維量較大；(4) 計算方案是否正確，往往不可用直觀方法來檢驗，要求我們搞清概念、原理，并具有較強的分析能力。二

5、、兩個基本計數(shù)原理及應(yīng)用(1) 加法原理和分類計數(shù)法1加法原理2加法原理的集合形式3分類的要求每一類中的每一種方法都可以獨立地完成此任務(wù)；兩類不同辦法中的具體方法，互不相同 ( 即分類不重 ) ；完成此任務(wù)的任何一種方法，都屬于某一類( 即分類不漏 )(2) 乘法原理和分步計數(shù)法1乘法原理2合理分步的要求任何一步的一種方法都不能完成此任務(wù)，必須且只須連續(xù)完成這n 步才能完成此任務(wù)；各步計數(shù)相互獨立；只要有一步中所采取的方法不同，則對應(yīng)的完成此事的方法也不同 例題分析 排列組合思維方法選講1首先明確任務(wù)的意義例 1.從 1、2、3、 、20 這二十個數(shù)中任取三個不同的數(shù)組成等差數(shù)列，這樣的不同等

6、差數(shù)列有 _個。分析：首先要把復(fù)雜的生活背景或其它數(shù)學(xué)背景轉(zhuǎn)化為一個明確的排列組合問題。設(shè) a,b,c成等差，2b=a+c,可知 b 由 a,c 決定，又 2b 是偶數(shù)，a,c同奇或同偶，即：從1，3， 5， ， 19 或 2， 4， 6， 8， ，20這十個數(shù)中選出兩個數(shù)進(jìn)行排列，由此就可確定等差數(shù)列，因而本題為2=180。例 2.某城市有4 條東西街道和6 條南北的街道，街道之間的間距相同，如圖。若規(guī)定只能向東或向北兩個方向沿圖中路線前進(jìn)，則從M到 N有多少種不同的走法?分析：對實際背景的分析可以逐層深入（一）從M到 N 必須向上走三步，向右走五步，共走八步。（二）每一步是向上還是向右，決

7、定了不同的走法。（三）事實上，當(dāng)把向上的步驟決定后，剩下的步驟只能向右。從而，任務(wù)可敘述為：從八個步驟中選出哪三步是向上走，就可以確定走法數(shù)， 本題答案為：=56。2歡迎下載精品文檔2注意加法原理與乘法原理的特點，分析是分類還是分步，是排列還是組合例 3在一塊并排的10 壟田地中，選擇二壟分別種植A， B 兩種作物，每種種植一壟，為有利于作物生長，要求A， B 兩種作物的間隔不少于6 壟，不同的選法共有_種。分析：條件中 “要求 A、B 兩種作物的間隔不少于6 壟 ” 這個條件不容易用一個包含排列數(shù)，組合數(shù)的式子表示，因而采取分類的方法。第一類： A 在第一壟， B 有 3 種選擇；第二類：

8、A 在第二壟， B 有 2 種選擇；第三類： A 在第三壟， B 有一種選擇，同理 A、 B位置互換，共 12 種。例 4從 6 雙不同顏色的手套中任取4 只，其中恰好有一雙同色的取法有_。(A)240 (B)180 (C)120 (D)60分析：顯然本題應(yīng)分步解決。（一）從6 雙中選出一雙同色的手套，有種方法；（二）從剩下的十只手套中任選一只，有種方法。（三）從除前所涉及的兩雙手套之外的八只手套中任選一只，有種方法；（四）由于選取與順序無關(guān)，因而（二）（三）中的選法重復(fù)一次，因而共240 種。例 5身高互不相同的 6 個人排成 2 橫行 3 縱列，在第一行的每一個人都比他同列的身后的人個子矮

9、，則所有不同的排法種數(shù)為_。分析： 每一縱列中的兩人只要選定， 則他們只有一種站位方法， 因而每一縱列的排隊方法只與人的選法有關(guān)系，共有三縱列，從而有=90 種。例 6在 11 名工人中， 有 5 人只能當(dāng)鉗工， 4 人只能當(dāng)車工， 另外 2 人能當(dāng)鉗工也能當(dāng)車工?，F(xiàn)從 11 人中選出4 人當(dāng)鉗工， 4 人當(dāng)車工，問共有多少種不同的選法?分析：采用加法原理首先要做到分類不重不漏，如何做到這一點？分類的標(biāo)準(zhǔn)必須前后統(tǒng)一。以兩個全能的工人為分類的對象，考慮以他們當(dāng)中有幾個去當(dāng)鉗工為分類標(biāo)準(zhǔn)。第一類：這兩個人都去當(dāng)鉗工，有種；第二類：這兩人有一個去當(dāng)鉗工，有種；第三類：這兩人都不去當(dāng)鉗工，有種。因而

10、共有185 種。例 7現(xiàn)有印著0， l ， 3， 5，7， 9 的六張卡片，如果允許9 可以作 6 用，那么從中任意抽出三張可以組成多少個不同的三位數(shù)?分析：有同學(xué)認(rèn)為只要把0，l ， 3， 5，7， 9 的排法數(shù)乘以2 即為所求，但實際上抽出的三個數(shù)中有 9 的話才可能用6 替換，因而必須分類。抽出的三數(shù)含0，含 9，有種方法；抽出的三數(shù)含0不含 9，有種方法；抽出的三數(shù)含9不含 0，有種方法；抽出的三數(shù)不含9 也不含 0，有種方法。3歡迎下載精品文檔又因為數(shù)字9 可以當(dāng) 6 用，因此共有2×(+)+=144 種方法。例 8停車場劃一排 12 個停車位置，今有 8 輛車需要停放，要

11、求空車位連在一起，不同的停車方法是 _種。分析：把空車位看成一個元素，和8 輛車共九個元素排列，因而共有種停車方法。3特殊元素，優(yōu)先處理；特殊位置，優(yōu)先考慮例 9六人站成一排，求(1) 甲不在排頭，乙不在排尾的排列數(shù)(2) 甲不在排頭，乙不在排尾，且甲乙不相鄰的排法數(shù)分析：（ 1）先考慮排頭，排尾，但這兩個要求相互有影響，因而考慮分類。第一類：乙在排頭，有種站法。第二類：乙不在排頭，當(dāng)然他也不能在排尾，有種站法，共+種站法。（ 2）第一類：甲在排尾，乙在排頭，有種方法。第二類：甲在排尾，乙不在排頭，有種方法。第三類：乙在排頭，甲不在排頭，有種方法。第四類：甲不在排尾，乙不在排頭，有種方法。共+

12、2+=312 種。例 10對某件產(chǎn)品的6 件不同正品和4 件不同次品進(jìn)行一一測試，至區(qū)分出所有次品為止。若所有次品恰好在第五次測試時被全部發(fā)現(xiàn)，則這樣的測試方法有多少種可能?分析： 本題意指第五次測試的產(chǎn)品一定是次品，并且是最后一個次品，因而第五次測試應(yīng)算是特殊位置了，分步完成。第一步：第五次測試的有種可能；第二步：前四次有一件正品有中可能。第三步：前四次有種可能。 共有種可能。4捆綁與插空例 11. 8人排成一隊(1) 甲乙必須相鄰 (2) 甲乙不相鄰(3) 甲乙必須相鄰且與丙不相鄰(4) 甲乙必須相鄰，丙丁必須相鄰(5) 甲乙不相鄰，丙丁不相鄰分析：（ 1）有種方法。（ 2）有種方法。（

13、3）有種方法。（ 4）有種方法。（ 5）本題不能用插空法，不能連續(xù)進(jìn)行插空。用間接解法：全排列- 甲乙相鄰 - 丙丁相鄰 +甲乙相鄰且丙丁相鄰，共-+=23040種方法。4歡迎下載精品文檔例 12.某人射擊8 槍，命中4 槍，恰好有三槍連續(xù)命中，有多少種不同的情況?分析：連續(xù)命中的三槍與單獨命中的一槍不能相鄰，因而這是一個插空問題。另外沒有命中的之間沒有區(qū)別，不必計數(shù)。即在四發(fā)空槍之間形成的5 個空中選出2 個的排列，即。例 13.馬路上有編號為l ， 2， 3， ，10 十個路燈，為節(jié)約用電又看清路面，可以把其中的三只燈關(guān)掉， 但不能同時關(guān)掉相鄰的兩只或三只， 在兩端的燈也不能關(guān)掉的情況下，

14、 求滿足條件的關(guān)燈方法共有多少種 ?分析：即關(guān)掉的燈不能相鄰，也不能在兩端。又因為燈與燈之間沒有區(qū)別，因而問題為在7盞亮著的燈形成的不包含兩端的6 個空中選出3 個空放置熄滅的燈。 共 =20 種方法。5間接計數(shù)法.(1) 排除法例 14.三行三列共九個點，以這些點為頂點可組成多少個三角形?分析：有些問題正面求解有一定困難，可以采用間接法。所求問題的方法數(shù)=任意三個點的組合數(shù)- 共線三點的方法數(shù)， 共種。例 15正方體8 個頂點中取出4 個，可組成多少個四面體?分析：所求問題的方法數(shù)=任意選四點的組合數(shù)- 共面四點的方法數(shù)， 共 -12=70-12=58 個。例 16. l，2， 3， ， 9

15、 中取出兩個分別作為對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，可組成多少個不同數(shù)值的對數(shù) ?分析：由于底數(shù)不能為1。（1）當(dāng) 1 選上時， 1 必為真數(shù)，有一種情況。（2）當(dāng)不選1 時，從 2-9中任取兩個分別作為底數(shù)，真數(shù)，共，其中l(wèi)og24=log39 ，log42=log93, log23=log49, log32=log94.因而一共有53 個。(3) 補上一個階段，轉(zhuǎn)化為熟悉的問題例 17. 六人排成一排，要求甲在乙的前面， ( 不一定相鄰 ) ，共有多少種不同的方法 ? 如果要求甲乙丙按從左到右依次排列呢 ?分析： （一）實際上，甲在乙的前面和甲在乙的后面兩種情況對稱，具有相同的排法數(shù)。因而有 =360

16、種。（二） 先考慮六人全排列； 其次甲乙丙三人實際上只能按照一種順序站位， 因而前面的排法數(shù)重復(fù)了種， 共=120 種。例 18 5 男 4 女排成一排，要求男生必須按從高到矮的順序，共有多少種不同的方法?。5歡迎下載精品文檔分析：首先不考慮男生的站位要求，共種；男生從左至右按從高到矮的順序，只有一種站法，因而上述站法重復(fù)了次。因而有=9×8×7×6=3024 種。若男生從右至左按從高到矮的順序，只有一種站法，同理也有3024 種，綜上，有6048 種。例 19.三個相同的紅球和兩個不同的白球排成一行，共有多少種不同的方法?分析： 先認(rèn)為三個紅球互不相同，共種方法

17、。而由于三個紅球所占位置相同的情況下，共有變化，因而共 =20 種。6擋板的使用例 20 10 個名額分配到八個班，每班至少一個名額，問有多少種不同的分配方法?分析：把10 個名額看成十個元素，在這十個元素之間形成的九個空中，選出七個位置放置檔板，則每一種放置方式就相當(dāng)于一種分配方式。因而共36 種。7注意排列組合的區(qū)別與聯(lián)系：所有的排列都可以看作是先取組合，再做全排列； 同樣，組合如補充一個階段(排序 )可轉(zhuǎn)化為排列問題。例 21. 從 0， l ， 2， ， 9中取出 2個偶數(shù)數(shù)字， 3 個奇數(shù)數(shù)字，可組成多少個無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù) ?分析：先選后排。另外還要考慮特殊元素0 的選取。（一）兩

18、個選出的偶數(shù)含0，則有種。（二）兩個選出的偶數(shù)字不含0，則有種。例 22. 電梯有 7 位乘客，在10 層樓房的每一層停留，如果三位乘客從同一層出去，另外兩位在同一層出去，最后兩人各從不同的樓層出去，有多少種不同的下樓方法?分析：（一）先把 7 位乘客分成3 人， 2 人，一人，一人四組，有種。（二）選擇 10 層中的四層下樓有種。 共有種。例 23.用數(shù)字 0， 1， 2， 3，4， 5 組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，(1) 可組成多少個不同的四位數(shù)?(2) 可組成多少個不同的四位偶數(shù)?(3) 可組成多少個能被 3 整除的四位數(shù) ?(4) 將 (1) 中的四位數(shù)按從小到大的順序排成一數(shù)列，問第85 項是什么 ?分析：（ 1）有個。（ 2）分為兩類： 0 在末位，則有種： 0 不在末位，則有種。 共+種。（ 3）先把四個相加能被 3 整除的四個數(shù)從小到大列舉出來，即先選0，1，2，30，1，3，5。6歡迎下載精品文檔0，2，3，40，3，4，51，2，4，5它們排列出來的數(shù)一定可以被3 整除，再排列，有：4×()+=96 種。（ 4）首位為 1 的有 =60 個。前兩位為 20 的有 =12 個。前兩位為 21 的有 =12 個。因而第 85 項是前兩位為 23 的最小數(shù)，即為