季節(jié)性時間序列模型

1、在第四章中，我們介紹了非平穩(wěn)時間序列模型，但是在前面的討論中，對于時間序列的特性分析，以及模型的統(tǒng)計分析都集中于平穩(wěn)時間序列問題上。本章將介紹幾個非平穩(wěn)時間序列的建模方法，并且分析不同的非平穩(wěn)時間序列模型的動態(tài)性質(zhì)。上海財經(jīng)大學 統(tǒng)計與管理學院18.1.1 ARIMA8.1.1 ARIMA模型的結(jié)構(gòu)模型的結(jié)構(gòu)具有如下結(jié)構(gòu)的模型稱為求和自回歸移動平均(Autoregressive Integrated Moving Average)，簡記為ARIMA(p,d,q)模型： (8.1) 式中：上海財經(jīng)大學 統(tǒng)計與管理學院22( )( )( )0,( ),()0,()0,dtttttsstBXBEVa

2、rEstE Xst 11(1)( )1ARMA(p,q)( )1ARMA(p,q)ddppqqBBBBBBB ，為平穩(wěn)可逆模型的自回歸系數(shù)多項式，為平穩(wěn)可逆模型的移動平滑系數(shù)多項式式(8.1)可以簡記為：式中， 為零均值白噪聲序列。由式(8.2)顯而易見，ARIMA模型的實質(zhì)就是差分運算與ARMA模型的組合。這一關(guān)系意義重大，這說明任何非平穩(wěn)序列只要通過適當階數(shù)的差分運算實現(xiàn)差分后平穩(wěn)，就可以對差分后序列進行ARMA模型擬合了。而ARMA模型的分析方法非常成熟，這意味著對差分平穩(wěn)序列的分析也將是非常簡單、非常可靠的了。 上海財經(jīng)大學 統(tǒng)計與管理學院3( )( )dttBXB(8.2) t例如，

3、設(shè)ARIMA(1,1,1)模型圖8.1是給出的ARIMA(1,1,1)模型一個模擬數(shù)據(jù)，樣本容量為200，可以看出時間趨勢是非常明顯的。圖8.2是經(jīng)過一階差分得到的數(shù)據(jù)。經(jīng)過一階差分我們看到下降的時間趨勢被去掉，新的序列看起來是平穩(wěn)的。上海財經(jīng)大學 統(tǒng)計與管理學院41 0.511 0.3, . .0,1tttBB XBiid N上海財經(jīng)大學 統(tǒng)計與管理學院5圖8.1 ARIMA(1,1,1)模型一個模擬數(shù)據(jù) 圖8.2 模擬數(shù)據(jù)的一階差分數(shù)據(jù) 求和自回歸移動平均模型這個名字的由來是因為階差分后序列可以表示為：式中 ，即差分后序列等于原序列的若干序列值的加權(quán)和，而對它又可以擬合自回歸移動平均(AR

4、MA)模型，所以稱它為求和自回歸移動平均模型。 上海財經(jīng)大學 統(tǒng)計與管理學院611( 1)ddditdtiXC X!()!iddCidi特別地，當d=0時，ARIMA(p,d,q)模型實際上就是ARMA(p,q)模型；當p=0時，ARIMA(o,d,q)模型可以簡記為IAM(d,q)模型；當q=0時，ARIMA(p,d,0)模型可以簡記為ARI(p,d)模型.當d=1,p=q=0時，ARIMA(0,1,0)模型為： (8.3)該模型被稱為隨機游走(Random Walk)模型。上海財經(jīng)大學 統(tǒng)計與管理學院712()0,(),()0,()0,ttttttsstXXEVarEstE Xst 隨機游

5、走模型的產(chǎn)生有一個有趣的典故。它最早于1905年7月由卡爾皮爾遜(Karl Pearson)在自然雜志上作為一個問題提出：假如有一個醉漢醉得非常嚴重，完全喪失方向感，把他放在荒郊野外，一段時間之后再去找他，在什么地方找到他的概率最大呢？考慮到他完全喪失方向感，那么他第步的位置將是他第步的位置再加一個完全隨機的位移。用數(shù)學模型來描述任意時刻這個醉漢可能的位置，即為一個隨即游走模型(8.3)。 上海財經(jīng)大學 統(tǒng)計與管理學院81905年8月，雷利爵士(Lord Rayleigh)對卡爾皮爾遜的這個問題作出了解答。他算出這個醉漢離初始點的距離為至的概率為：且當n很大時，該醉漢離初始點的距離服從零均值正

6、態(tài)分布。這意味著，假如有人想去尋找醉漢的話，最好是去初始點附近找他，該地點是醉漢未來位置的無偏估計值。作為一個最簡單的ARIMA模型，隨機游走模型目前廣泛應用于計量經(jīng)濟學領(lǐng)域。傳統(tǒng)的經(jīng)濟學家普遍認為投機價格的走勢類似于隨機游走模型，隨機游走模型也是有效市場理論(Efficient Market Theory)的核心。上海財經(jīng)大學 統(tǒng)計與管理學院922/22rnler rnl一、平穩(wěn)性一、平穩(wěn)性假如服從ARIMA(p,d,q)模型：式中：記 ， 被稱為廣義自回歸系數(shù)多項式。顯然ARIMA模型的平穩(wěn)性完全由 的根的性質(zhì)決定。上海財經(jīng)大學 統(tǒng)計與管理學院10( )( )dttBXB 11(1)()1

7、()1ddppqqBBBBBBB( )( )dBB ( )B( )0B因為階差分后平穩(wěn)，服從ARMA(p,q)模型，所以不妨設(shè)則 (8.4)由式(8.4)容易判斷，ARIMA(p,d,q)模型的廣義自回歸系數(shù)多項式共有p+d個特征根，其中p個在單位圓內(nèi)，d個在單位圓上。因為有d個特征根在單位圓上而非單位圓內(nèi)，所以當 時，ARIMA(p,d,q)模型不平穩(wěn)。上海財經(jīng)大學 統(tǒng)計與管理學院111( )(1),1;1,2,piiiBBip1( )( )(1)(1)pddiiBBBB 0d 二、方差齊性二、方差齊性對于ARIMA(p,d,q)模型，當 時，不僅均值非平穩(wěn)，序列方差也非平穩(wěn)。以最簡單的隨機

8、游走模型ARIMA(0,1,0)為例：則這是一個時間的遞增函數(shù)，隨著時間趨向無窮，序列 的方差也趨向無窮。但1階差分之后，差分后序列方差齊性上海財經(jīng)大學 統(tǒng)計與管理學院120d 121011 ttttttttXXXX2011()()tttVar XVar XttXttX2()tVarX在掌握了ARMA模型建模的方法之后，嘗試使用ARIMA模型對觀察序列建模是一件比較簡單的事情。它遵循如下的操作流程，如下圖所示： 上海財經(jīng)大學 統(tǒng)計與管理學院13上海財經(jīng)大學 統(tǒng)計與管理學院14圖8.3 ARIMA模型建模流程在最小均方誤差預測原理下，ARIMA模型的預測和ARMA模型的預測方法非常類似。 ARI

9、MA(p,d,q)模型的一般表示方法為： 和ARMA模型一樣，也可以用歷史觀測值的線性函數(shù)表示它：式中 的值由如下等式確定：上海財經(jīng)大學 統(tǒng)計與管理學院15( )(1)( )dttBBXB 1122 ( )tttttXB 12, ( )(1)( )( )dBBBB 如果把 記為廣義自相關(guān)函數(shù)，有容易驗證 的值滿足如下遞推公式：式中那么， 的真實值為：上海財經(jīng)大學 統(tǒng)計與管理學院16*( )B*212()()(1)1dBBBBB 12, 1112112211 jjp djp dj 0,10,1,0jjjjqj；t lX111111()()t lt lt lltltltX 由于 的不可獲得性，所以

10、 的估計值只能為：真實值與預報值之間的均方誤差為：要使均方誤差最小，當且僅當：上海財經(jīng)大學 統(tǒng)計與管理學院1711,t lt lt tlX*01122 ( )ttttx l 2222* 22110( )(1)()t lttl jjjE Xx l *jlj 所以，在均方誤差最小的原則下，期預報值為：期預報誤差為：真實值等于預報值加上預報誤差：期預報的方差為：上海財經(jīng)大學 統(tǒng)計與管理學院181122 ( )tltltltx l ll11111( )ttt llte l 112211111() () = ()()t ll tltlttt lltttXx le l 22211 ( )(1)ttVar

11、e l 例例8.18.1 對1950年2005年我國進出口貿(mào)易總額數(shù)據(jù)（單位：億元人民幣）序列建立ARIMA模型（數(shù)據(jù)見附錄1.15）1. 對原序列（NX）的分析 (1) 做出1950年2005年我國進出口貿(mào)易總額數(shù)據(jù)（NX）的時序圖及自相關(guān)圖，如圖8.4，圖8.5。上海財經(jīng)大學 統(tǒng)計與管理學院19上海財經(jīng)大學 統(tǒng)計與管理學院20 圖圖8.4 圖圖8.5 (2) 對該序列做單位根檢驗，原假設(shè)：；備擇假設(shè)：，檢驗結(jié)果如圖8.4。上海財經(jīng)大學 統(tǒng)計與管理學院21圖圖8.6 根據(jù)圖8.6的檢驗結(jié)果，我們可以認為這一序列非平穩(wěn)。2. 對原序列取對數(shù)并分析 由于這一序列有著非常明顯的指數(shù)趨勢，因此我們對

12、它進行取對數(shù)的運算，以消除指數(shù)趨勢的影響，將取對數(shù)后的序列命名為 ，即 。 作出序列 的時序圖與自相關(guān)圖分別如圖8.7，8.8。上海財經(jīng)大學 統(tǒng)計與管理學院22 圖圖8.7 圖圖8.8tyln()tyNX ty 依然對序列 做單位根檢驗，檢驗結(jié)果如圖8.9。 圖圖8.98.9 根據(jù)這一檢驗結(jié)果，我們看到這一序列依然沒有平穩(wěn)，結(jié)合圖8.7和圖8.8，我們看到在序列 中有著明顯的增長趨勢，因此我們還需要對其進行差分處理。 上海財經(jīng)大學 統(tǒng)計與管理學院23 ty ty 圖圖8.10 8.10 圖圖8.118.11 根據(jù)上述結(jié)果，可以認為這一序列已經(jīng)平穩(wěn)，接下來，可以針對該序列做進一步的建模擬合。上海

13、財經(jīng)大學 統(tǒng)計與管理學院244. 針對平穩(wěn)序列 的建立ARMA模型(1) 畫出序列 的自相關(guān)圖，如圖。根據(jù)該圖，我們可以初步判斷該序列的偏自相關(guān)圖一階截尾，而針對自相關(guān)圖并不能馬上做出判斷。上海財經(jīng)大學 統(tǒng)計與管理學院25tXtX圖圖8.12(2) 針對序列 我們嘗試幾種不同的模型擬合，比如ARMA（1，1），ARMA（1，2），ARMA（1，3）等。經(jīng)過不斷的嘗試，我們最終選擇了ARMA（1，6）模型，并且該模型中移動平均部分的系數(shù)只有MA（6）的系數(shù)是顯著的，這樣我們就把1-5階的系數(shù)全部放棄，最終的估計結(jié)果如圖8.13。 圖圖8.138.13通過圖8.11，我們可以看到最終選擇的模型的整

14、體檢驗效果還是良好的。上海財經(jīng)大學 統(tǒng)計與管理學院26tX (5) 對擬合模型后的殘差序列做純隨機性檢驗，檢驗結(jié)果如圖8.14。 圖圖8.148.14 通過這一檢驗，我們看到殘差序列已經(jīng)可以認為是一個純白噪聲的序列，說明我們的模型已經(jīng)將有用信息充分提取了。 這一模型的整體擬合效果見圖8.15。上海財經(jīng)大學 統(tǒng)計與管理學院27 圖圖8.158.15綜合上述分析過程，實際上我們是針對原序列（NX）：1950年2005年我國進出口貿(mào)易總額數(shù)據(jù)序列，建立了一個ARIMA（1，1，6）模型進行擬合，模型機構(gòu)如下：上海財經(jīng)大學 統(tǒng)計與管理學院28162(1)(ln)0.557897(1)(ln)0.475

15、266( )0( )()00ttttttststBNXBNXEVarEstENXst ，8.2.18.2.1季節(jié)時間序列的重要特征季節(jié)時間序列的重要特征一、季節(jié)時間序列表示一、季節(jié)時間序列表示許多商業(yè)和經(jīng)濟時間序列都包含季節(jié)現(xiàn)象，例如，冰淇淋的銷量的季度序列在夏季最高，序列在每年都會重復這一現(xiàn)象。相應的周期為4。類似地，在美國汽車的月度銷售量和銷售額數(shù)據(jù)在每年的7月和8月也趨于下降，因為每年這時汽車廠家將會推出新的產(chǎn)品；在西方，玩具的銷售量在每年12月份會增加，主要是因為圣誕節(jié)的緣故；在中國，每年農(nóng)歷5月份糯米的銷售量大大地增加，這是因為中國的端午節(jié)有吃粽子的習慣。以上三種情況的季節(jié)周期都是1

16、2個月。由上面的例子可以看到，很多的實際問題中，時間序列會顯示出周期變化的規(guī)律，這種周期性是由于季節(jié)變化或其他物理因素所致，我們稱這類序列為季節(jié)性序列。單變量的時間序列為了分析方便，可以編制成一個二維的表格，其中一維表示周期，另一維表示某個周期的一個觀測值，如表8.1所示。 上海財經(jīng)大學 統(tǒng)計與管理學院29 表表8.1 8.1 單變量時間序列觀測數(shù)據(jù)表單變量時間序列觀測數(shù)據(jù)表例如，19932000年各月中國社會消費品零售總額序列，是一個月度資料，其周期S=12，起點為1993年1月，具體數(shù)據(jù)見附錄。上海財經(jīng)大學 統(tǒng)計與管理學院30二、季節(jié)時間序列的重要特征二、季節(jié)時間序列的重要特征季節(jié)性時間序

17、列的重要特征表現(xiàn)為周期性。在一個序列中，如果經(jīng)過S個時間間隔后觀測點呈現(xiàn)出相似性，比如同處于波峰或波谷，我們就說該序列具有以S為周期的周期特性。具有周期特性的序列稱為季節(jié)時間序列，S為周期的長度，不同的季節(jié)時間序列會表現(xiàn)出不同的周期，季度資料的一個周期表現(xiàn)為一年的四個季度，月度資料的周期表現(xiàn)為一年的12各月，周資料表現(xiàn)為一周的7天或5天。例如，圖8.16的數(shù)據(jù)是1993年1月到2000年12月的中國社會消費品月銷售總額。上海財經(jīng)大學 統(tǒng)計與管理學院31 圖圖8.16 19938.16 1993年年1 1月月20002000年年1212月的中國社會消費品月銷售總月的中國社會消費品月銷售總額額當然

18、影響一個季節(jié)性時間序列的因素除了季節(jié)因素外，還存在趨勢變動和不規(guī)則變動等。我們研究季節(jié)性時間序列的目的就是分解影響經(jīng)濟指標變量的季節(jié)因素、趨勢因素和不規(guī)則因素，據(jù)以了解它們對經(jīng)濟的影響。上海財經(jīng)大學 統(tǒng)計與管理學院3250010001500200025003000350040001993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000SALES上海財經(jīng)大學 統(tǒng)計與管理學院33上海財經(jīng)大學 統(tǒng)計與管理學院34上海財經(jīng)大學 統(tǒng)計與管理學院35上海財經(jīng)大學 統(tǒng)計與管理學院36為了讀者學習起來方便，這里列舉幾個常見的隨機季節(jié)模型，并簡介其生成的過程。在實際問題中，季節(jié)性時間序列所

19、含有的成分不同，記憶性長度各異，因而模型形式也是多種多樣的。這里以季節(jié)周期S=12為例，介紹幾種常見的季節(jié)模型。上海財經(jīng)大學 統(tǒng)計與管理學院37上海財經(jīng)大學 統(tǒng)計與管理學院38上海財經(jīng)大學 統(tǒng)計與管理學院39上海財經(jīng)大學 統(tǒng)計與管理學院40檢驗一個時間序列是否具有季節(jié)性是十分必要的，如果一個時間序列季節(jié)性顯著，那么擬合適應的季節(jié)時間序列模型是合理的，否則會有欠擬合之嫌。如果不是一個具有顯著季節(jié)性的時間序列，即使是一個月度數(shù)據(jù)資料，也不應該擬合季節(jié)性時間序列模型。下面我們討論如何識別一個時間序列的季節(jié)性。一、季節(jié)性時間序列自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)的檢驗一、季節(jié)性時間序列自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)的

20、檢驗根據(jù)Box-Jenkins的建模方法，自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)的特征是識別非季節(jié)性時間序列的工具。從第七章第二節(jié)的討論已經(jīng)看到季節(jié)性時間序列模型實際上是一種特殊的ARIMA模型，不同的是它的系數(shù)是稀疏的，即部分系數(shù)為零，所以對于乘積季節(jié)模型的階數(shù)識別，基本上可以采用Box-Jenkins的方法，考察序列樣本自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)，從而對季節(jié)性進行檢驗。上海財經(jīng)大學 統(tǒng)計與管理學院41上海財經(jīng)大學 統(tǒng)計與管理學院42上海財經(jīng)大學 統(tǒng)計與管理學院43上海財經(jīng)大學 統(tǒng)計與管理學院44上海財經(jīng)大學 統(tǒng)計與管理學院45上海財經(jīng)大學 統(tǒng)計與管理學院46上海財經(jīng)大學 統(tǒng)計與管理學院47例例8.38.3

21、 繪制1993年1月至2000年12月中國社會消費品零售總額序列的自相關(guān)和偏自相關(guān)圖（圖8.17）。 圖圖8.178.17圖8.17顯示中國社會消費品零售總額月度時間序列的自相關(guān)函數(shù)緩慢下降，且在滯后期為周期倍數(shù)時出現(xiàn)峰值，滯后期為12的自相關(guān)函數(shù)為0.645，滯后期為24的自相關(guān)函數(shù)為0.318，說明該時間序列是一個典型的既有趨勢又有季節(jié)變動的序列，由于該序列不是一個平穩(wěn)的時間序列，所以我們不能由其偏自相關(guān)函數(shù)簡單建立一個自回歸模型，該序列建模必須將序列進行差分變化，使其平穩(wěn)化。上海財經(jīng)大學 統(tǒng)計與管理學院48上海財經(jīng)大學 統(tǒng)計與管理學院49上海財經(jīng)大學 統(tǒng)計與管理學院50上海財經(jīng)大學 統(tǒng)計

22、與管理學院51上海財經(jīng)大學 統(tǒng)計與管理學院52上海財經(jīng)大學 統(tǒng)計與管理學院53上海財經(jīng)大學 統(tǒng)計與管理學院54上海財經(jīng)大學 統(tǒng)計與管理學院55上海財經(jīng)大學 統(tǒng)計與管理學院56上海財經(jīng)大學 統(tǒng)計與管理學院57一、一、X-12X-12季節(jié)調(diào)整方法簡介季節(jié)調(diào)整方法簡介X-12-ARIMA方法最早由美國普查局Findley等人在20世紀90年代左右提出，現(xiàn)已成為對重要時間序列進行深入處理和分析的工具，也是處理最常用經(jīng)濟類指標的工具，在美國和加拿大被廣泛使用。其在歐洲統(tǒng)計界也得到推薦，并在包括歐洲中央銀行在內(nèi)的歐洲內(nèi)外的許多中央銀行、統(tǒng)計部門和其他經(jīng)濟機構(gòu)被廣泛應用。X-12-ARIMA方法提供了四個方

23、面的改進和提高，（1）可選擇季節(jié)、交易日及假日進行調(diào)整，包括調(diào)整用戶定義的回歸自變量估計結(jié)果，選擇輔助季節(jié)和趨勢過濾器，以及選擇季節(jié)、趨勢和不規(guī)則因素的分解形式；（2）對各種選項條件下調(diào)整的質(zhì)量和穩(wěn)定性做出新診斷；（3） 對具有ARIMA誤差及可選擇穩(wěn)健估計系數(shù)的線性回歸模型，進行廣泛的時間序列建模和模型選擇能力分析；（4）提供一個新的易于分批處理大量時間序列能力的用戶界面。 X-12-ARIMA方法現(xiàn)已廣泛應用于世界各國的中央銀行、統(tǒng)計部門和其他經(jīng)濟機構(gòu)，并且已成為對重要時間序列進行深入處理和分析的工具。上海財經(jīng)大學 統(tǒng)計與管理學院58二、案例：二、案例：1993-20001993-2000

24、年中國社會消費品零售總額月度序年中國社會消費品零售總額月度序列（單位：億元）列（單位：億元）通過1993-2000年中國社會消費品零售總額月度序列的時序圖（圖8.16），我們可以觀察到該序列有著很強的季節(jié)特征。通過該序列的自相關(guān)函數(shù)圖（圖8.17）及單位根檢驗結(jié)果（圖8.19）的進一步判斷，認為該序列非平穩(wěn)，并且有著很強的季節(jié)特征。上海財經(jīng)大學 統(tǒng)計與管理學院59圖圖8.19上海財經(jīng)大學 統(tǒng)計與管理學院60首先顯示的是Seasonal Adjustment（季節(jié)調(diào)整）模塊（圖8.19），該模塊共有5個選項區(qū)。在X11 Method（X11方法）選項區(qū)選Multiplicative（乘法模型）。在Seasonal Filter（季節(jié)濾子）選項區(qū)選Auto（自動）。在Trend Filter（趨勢濾子）選項區(qū)選Auto（自動）。在Component Series to Save（保存分量）選項區(qū)選季