線性代數(shù)：矩陣2-1矩陣的概念

1、1第第二二章章2第一節(jié)第一節(jié) 矩陣的概念矩陣的概念 由由 個數(shù)個數(shù)排成的排成的 行行 列的數(shù)表列的數(shù)表nm mn njmiaij, 2 , 1;, 2 , 1 mnmmnnaaaaaaaaa212222111211稱為稱為 矩陣矩陣. .簡稱簡稱 矩陣矩陣. .nm nm 記作記作3為了標(biāo)明矩陣的行數(shù)為了標(biāo)明矩陣的行數(shù)m和列數(shù)和列數(shù)n, 可用可用Am n表示表示, mnmmnnaaaaaaaaaA112222111211一般情形下一般情形下, 用大寫黑體字母用大寫黑體字母 A,B,C 等等表示矩陣表示矩陣. .)(nmijaA 或記作或記作4例如例如 34695301是一個是一個 矩陣矩陣,4

2、2 421是一個是一個 矩陣。矩陣。13 9532是一個是一個 矩陣矩陣,41 205224263是一個是一個 矩陣。矩陣。33 5 如果矩陣如果矩陣A=(aij)的行數(shù)與列數(shù)都等于的行數(shù)與列數(shù)都等于n, 則稱則稱A為為 n階矩陣階矩陣(或稱或稱n階方陣階方陣). nnnnnnaaaaaaaaaA112222111211主對角線主對角線副對角線副對角線nnnnnnaaaaaaaaaA112222111211 對于對于n階方陣階方陣A, 對應(yīng)一個行列式對應(yīng)一個行列式, 記作記作|A|或或det A. 注意注意 矩陣與行列式有本質(zhì)區(qū)別：行列式是一個算式矩陣與行列式有本質(zhì)區(qū)別：行列式是一個算式, 一

3、個數(shù)字行列式表示一個一個數(shù)字行列式表示一個數(shù)值數(shù)值, 而矩陣是一個而矩陣是一個數(shù)表數(shù)表, 它它的行數(shù)和列數(shù)可以不同的行數(shù)和列數(shù)可以不同. 對于方陣對于方陣A, 雖有行列式雖有行列式|A|, 但但A和和|A|是不同的概念是不同的概念, 不能混為一談。不能混為一談。6 同型矩陣與矩陣相等的概念同型矩陣與矩陣相等的概念1.1.兩個矩陣的行數(shù)相等兩個矩陣的行數(shù)相等, ,列數(shù)相等時列數(shù)相等時, ,稱為稱為同型矩陣同型矩陣.例如例如 9348314736521與與為為同型矩陣同型矩陣.2.2.兩個矩陣兩個矩陣 為為同型矩陣同型矩陣,并且對應(yīng)并且對應(yīng)元素相等元素相等,即即)()(ijijbBaA 與與 ,

4、2 , 1;, 2 , 1njmibaijij 則稱則稱矩陣矩陣 相等相等, 記作記作BA與與.BA 7例例 設(shè)設(shè),131,213321 zyxBA.,zyxBA求求已知已知 解解,BA . 2, 3, 2 zyx8 元素全為零的矩陣稱為元素全為零的矩陣稱為零矩陣零矩陣， 零矩陣零矩陣記作記作 或或 . .nm nmO o .00000000000000000000 注意注意: 不同階數(shù)的零矩陣是不相等的不同階數(shù)的零矩陣是不相等的.例如例如(一一) 零矩陣零矩陣9(二二) 上三角形矩陣和下三角形矩陣上三角形矩陣和下三角形矩陣方陣中， 如果在主對角線之下的所有元素都是零方陣中， 如果在主對角線之

5、下的所有元素都是零( (即當(dāng)即當(dāng)ji 時，時，0 ija) )， nnnnaaaaaa00022211211即形如即形如的方陣，稱為的方陣，稱為上三角形矩陣上三角形矩陣，類似地，類似地， nnnnaaaaaa212221110000下三角形矩陣下三角形矩陣，OO10 n 00000021(三三) 對角矩陣對角矩陣如如果果方方陣陣中中非非主主對對角角線線上上的的所所有有元元素素都都是是零零( (即即當(dāng)當(dāng)ji 時時，0 ija) )， 即形如即形如的方陣，稱的方陣，稱為為對角矩陣對角矩陣，可記作可記作 .,diag21nA diagonal matrix11 000000(四四) 數(shù)量矩陣，單位矩陣數(shù)量矩陣，單位矩陣即形如即形如的方陣，稱為的方陣，稱為數(shù)量矩陣數(shù)量矩陣，當(dāng)對角矩陣的主對角上的元都相同時，當(dāng)對角矩陣的主對角上的元都相同時，特特別別地地，當(dāng)當(dāng)1 時時，稱稱n階階數(shù)數(shù)量量矩矩陣陣 100010001為為n階階單單位位矩矩陣陣，記記作作nE或或E。 12(五五) 行矩陣與列矩陣行矩陣與列矩陣只有一行的矩陣只有一行的