數(shù)列求和—錯位裂項

1、廣西靈山中學廣西靈山中學 蘇煥貴蘇煥貴中央電視臺的中央電視臺的開心辭典開心辭典欄目，有一次欄目，有一次的最后一題是：的最后一題是：“給出一組數(shù)給出一組數(shù)1，3，6，10，15，則第，則第7個數(shù)是什么？個數(shù)是什么？”你認為第你認為第7個數(shù)個數(shù)是是 .那么，這組數(shù)之間的規(guī)律是那么，這組數(shù)之間的規(guī)律是。 28an=n(n+1)2a2-a1=2a3-a2=3a4-a3=4an-an-1=nan=1+2+3+n求數(shù)列的前求數(shù)列的前n項和，通常要掌握以下解法：項和，通常要掌握以下解法：1、直接法直接法2、公式法公式法3、倒序相加法倒序相加法4、錯位相減法錯位相減法5、分組分組求和求和法法6、裂項相消法裂項

2、相消法1.分組求和法：分組求和法：若數(shù)列 的通項可轉(zhuǎn)化為 的形式，且數(shù)列 ，分別是等差或等比數(shù)列，則可求出前n項和 nannnabc nb nc nanS練習：練習：求：求：1、1+2 、1+2+22、1+2+22+23的的前前n項和項和.2、求：、求：1、1+2 、1+2+22、1+2+22+23的的前前n項和項和.=1-21-2n=2n-1Sn= 1+(1+2)+(1+2+22)+(1+2+22+23) + +=(2-1)+(22 -1)+(23-1)+(24-1)+(2n-1)=(2+22+23+2n)-n錯位相減法錯位相減法解解：記記sn=a+2a2+3a3+(n-1)an-1+nan

3、則asn= a2+2a3+(n-2)an-1+(n-1)an+nan+1（1-a)sn=(a+a2+a3+an)-nan+1 則 sn=1+2+n=2) 1( nn 則sn=anaaaann1)1 ()1 (12注意：注意：q=1時的時的sn。例例1、求和求和 a+2a2+3a3+nan*(,0)nNa 21nn nnnS2181341221112121) 1(161381241121nnnnnS1111(1)111 11122()1224 822212nnnnnnSn nnnnnnnS2212)2211 (211 數(shù)數(shù) 列列 求求 和和錯位相減法錯位相減法解：解：2323131 2 2 23

4、 2221 22 2(1) 22nnnnnSnSnn 錯 位 相 減 法（）：22 ) 1n (S22 ) n1 (2n21)21 ( 22n2222S1nn1n1nn1nn32n 2nndn2.錯位相減法錯位相減法：設數(shù)列 是公差為d的等差數(shù)列（d不等于零），數(shù)列 是公比為q的等比數(shù)列(q不等于1），數(shù)列 滿足： ,則可求 的前n項和nSna nb ncnannncba 例例2.求下列數(shù)列前求下列數(shù)列前n項的和項的和Sn：，11431321211nn111) 1(1nnnn解：)111()4131()3121()211 (nnSn1111nnn11()1nn（裂項相消法）（裂項相消法） 數(shù)數(shù)

5、 列列 求求 和和nnsa求已知,. 121nn13221111, 13. 2nnnaaaaaana求已知：nnsa求已知,21nn11111-nnnn1211212112121nnnn 2111121211nnnnnnn五、公式法求和：五、公式法求和：所給數(shù)列的通項是關(guān)于所給數(shù)列的通項是關(guān)于n n的多的多項式，此時求和可采用公式項式，此時求和可采用公式法求和，常用的公式有：法求和，常用的公式有：121211nnnknk121612122212nnnnknk223331314121nnnknk 一般數(shù)列求和方法總結(jié)一般數(shù)列求和方法總結(jié):1、直接由等差、等比數(shù)列的求和公式求、直接由等差、等比數(shù)列的求和公式求