重積分作業(yè)選解

1、上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)重積分作業(yè)重積分作業(yè)1選解選解1畫出積分區(qū)域，并計(jì)算下列二重積分： （3）22()dDxyx，D由yx，2yx及2y 所圍； 解 1：積分區(qū)域如圖陰影部分所示， 22()dDxyx22202d()dyyyxyxx 232019313()d2486yyy. 上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)重積分作業(yè)重積分作業(yè)1選解選解1畫出積分區(qū)域，并計(jì)算下列二重積分： （3）22()dDxyx，D由yx，2yx及2y 所圍； 解 2：積分區(qū)域如圖陰影部分所示， 原式1222222201d()dd()dxxxxxyxyxxyxy 312322011048()d(32)d333xxxxxxx 136.

2、 上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)重積分作業(yè)重積分作業(yè)1選解選解1畫出積分區(qū)域，并計(jì)算下列二重積分： （4）dxyDe，D由yx，3xy及2y 所圍. 解：積分區(qū)域如圖陰影部分所示， dxyDe321ddxyyyyex221()dyy eey4122ee. 上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)重積分作業(yè)重積分作業(yè)1選解選解2畫出積分區(qū)域，并交換積分次序： （2）22212d( , )dx xxxf x yy； 解：積分區(qū)域如圖陰影部分所示， 22212d( , )dx xxxf x yy211102d( , )dyyyf x yx. 上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)重積分作業(yè)重積分作業(yè)1選解選解2畫出積分區(qū)域，并交換積分次序：

3、 （4）220d( , )dyyyf x yx. 解：積分區(qū)域如圖陰影部分所示， 220d( , )dyyyf x yx 2420222d( , )dd( , )dxxxxf x yyxf x yy. 上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)重積分作業(yè)重積分作業(yè)1選解選解3計(jì)算2230dd1xyIxyy. 解：積分區(qū)域如圖陰影部分所示，交換積分次序得 2300dd1yyIyxy 2230d1yyy 23024133y. 上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)重積分作業(yè)重積分作業(yè)1選解選解4計(jì)算112111224ddddyyyyxxyIyexyex. 解：積分區(qū)域如圖陰影部分所示，交換積分次序得 2112ddyxxxIxey11

4、2()dxx eex 12122xxexxee3182ee. 上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)22()dDVxy 112200d()dxxxyy 123014(2)d33xxxx 16. 5求由平面1xy，曲面22zxy及三坐標(biāo)面所圍立體的體積. 解：所圍立體為曲頂柱體，底區(qū)域?yàn)?: 01, 01Dxyx ， 頂面為22zxy，立體的體積為 重積分作業(yè)重積分作業(yè)1選解選解上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)重積分作業(yè)重積分作業(yè)2選解選解1化下列積分為極坐標(biāo)形式的二次積分： （2）120d( , )dyyyf x yx. 解：積分區(qū)域如圖陰影部分所示. 2yxtan sec，2yx12(sincos )， 原積分12(

5、sincos )40tansecd( cos ,sin )df . 上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)重積分作業(yè)重積分作業(yè)2選解選解2利用極坐標(biāo)計(jì)算下列二重積分： （2）arctandDyx，D由圓周221xy，224xy及直線0y ，yx所圍成的在第一象限內(nèi)的閉區(qū)域； 解：當(dāng)0 x 時(shí)，arctanyx，所以 arctandDyx/4201dd/42033d264 . 上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)（4）22()dDxy，D由22(0)yaxxa，0y 所圍. 提示：20cosdnnI 滿足遞推公式21nnnIIn. 解：22yaxx的極坐標(biāo)方程為2 cosa， 22()dDxy 2 cos3200dda 44

6、204cosda 443 1344 2 24aa. 重積分作業(yè)重積分作業(yè)2選解選解2利用極坐標(biāo)計(jì)算下列二重積分： 上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)重積分作業(yè)重積分作業(yè)3選解選解1化積分( , , )dIf x y zv為三次積分，其中分別是： （1）由222zxy及2232zxy所圍； 解：在xOy面上的投影區(qū)域?yàn)?D221xy，可表示為： 22222211,11,232xxyxxyzxy . 222222113 2112dd( , , )dxxyxxyIxyf x y zz. 上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)重積分作業(yè)重積分作業(yè)3選解選解1化積分( , , )dIf x y zv為三次積分，其中分別是： （2）

7、由2yx，0z 及4zy所圍. 解：在xOy面上的投影區(qū)域D的邊界曲線為2yx和4y ， 投影區(qū)域D可表示為：222,4xxy ， 可表示為：222,4, 04xxyzy . 224420dd( , , )dyxIxyf x y zz. OxzyD4y 2yx4zy上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)重積分作業(yè)重積分作業(yè)3選解選解3求由曲面22zx與222zxy所圍立體的體積. 解：所圍立體在xOy面上的投影區(qū)域?yàn)?2:1D xy， 可表示為：22222, ( , )xyzxx yD. 的體積為 22222dd ddxxyDVvxyz 22(222)d dDxyxy 21200d(22)d . D上頁(yè)下頁(yè)鈴

8、結(jié)束返回首頁(yè)原式24200ddsindzxxzxxyzy 242002d(2 21)sind3zzxzx 34202(2 21)sind9zzz 42 21(1cos)1816. 重積分作業(yè)重積分作業(yè)3選解選解4計(jì)算三重積分4sindxyzv，其中由yx，2yx，2z及zx所圍. 解：可表示為：0, 0,22zxzxyx. 上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)2220ddd dzzzDevezxy 2202dzzez 4(1)e. 重積分作業(yè)重積分作業(yè)4選解選解1計(jì)算三重積分2dzev，其中是由222xyz與2z 所圍區(qū)域. 解：因2dzez不可積出，所以用截面法計(jì)算. 表示為： 02, ( , )zzx

9、yD，其中22:2zDxyz. 上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)22dxz xyv 2/212200ddcos dzz /213500cos d()d 112. 重積分作業(yè)重積分作業(yè)4選解選解2 計(jì)算三重積分22dxz xyv， 其中是由22zxy與2222xyz所圍立體區(qū)域在第一卦限部分. 解：積分區(qū)域用柱面坐標(biāo)表示為： 20, 01,22z. yz2222xyz22zxyxO上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)重積分作業(yè)重積分作業(yè)4選解選解4求由曲面226zxy與22zxy所圍立體的體積. 解：曲面226zxy與22zxy的交線在xOy面上的投影曲線為224xy，由此可知用柱面坐標(biāo)表示為： 2:02 , 02,6

10、z. 立體的體積為 上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)2224000dddsindVvrr 2224000dsinddrr 22 22(1)23 4( 21)3. 重積分作業(yè)重積分作業(yè)4選解選解5求由曲面222zxy與22zxy所圍立體的體積. 解：所圍立體區(qū)域?yàn)?:02 , 0, 024r. 立體的體積為 yz222zxy22zxyxO上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)重積分作業(yè)重積分作業(yè)5選解選解1計(jì)算曲面面積 （2）上半球面224zxy在圓柱面222xyx內(nèi)部的部分； 解：所考慮曲面部分在xOy上的投影區(qū)域?yàn)?2:2D xyx， 曲面面積為 221()() d dxyDAzzxy 222d d4Dxyxy 2c

11、os220022dd4 208(1 sin )d48 . 上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)221()() d dDzzAxyxy 22144d dDxyxy 22200d14d (17 171)6. 重積分作業(yè)重積分作業(yè)5選解選解1計(jì)算曲面面積 （3）旋轉(zhuǎn)拋物面226zxy在圓錐面22zxy內(nèi)部的部分. 解： 兩曲面的交線在xOy面上的投影曲線為224xy， 所考慮曲面部分在xOy面上的投影區(qū)域?yàn)?2:4D xy，曲面面積為 上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)重積分作業(yè)重積分作業(yè)5選解選解2 設(shè)一薄板所占的區(qū)域?yàn)?222:1,0 xyDyab ， 且密度均勻，求此薄板的質(zhì)心. 解：由對(duì)稱性知0 x . 區(qū)域D的面積2abA， 1d dDyyxyA2202ddbaaxaaxyyab 223()daabaxxa43b. 薄板的質(zhì)心為4(0,)3b. 上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)重積分作業(yè)重積分作業(yè)5選解選解3設(shè)是由曲面2222zxy和平面4z 所圍成的有界閉區(qū)域. 一物體占有區(qū)域，且密度均勻，求此物體的質(zhì)心. 解：由對(duì)稱性知0 xy. dVv22200d(42)d4， 1dzz vV22240021ddd4zz 2240018d(82)d43. 物體的質(zhì)心為8(0,0, )3. 上頁(yè)