中國(guó)石油大學(xué)華東線性代數(shù)第3章-向量組

1、1第三章第三章 向量組的線性相關(guān)性與秩向量組的線性相關(guān)性與秩 向量的基本概念和運(yùn)算向量的基本概念和運(yùn)算 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性 向量組的秩和最大無(wú)關(guān)組向量組的秩和最大無(wú)關(guān)組 向量組的秩和矩陣的秩的討論向量組的秩和矩陣的秩的討論 向量空間的基本概念向量空間的基本概念本章將介紹本章將介紹：2引言、引言、 向量的概念向量的概念向量向量)3( n解析幾何解析幾何線性代數(shù)線性代數(shù)既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量有次序的實(shí)數(shù)組成的數(shù)組有次序的實(shí)數(shù)組成的數(shù)組幾何形象：可隨意幾何形象：可隨意平行移動(dòng)的有向線段平行移動(dòng)的有向線段代數(shù)形象：向量的代數(shù)形象：向量的坐標(biāo)表示式坐標(biāo)表示式),(21

2、nTaaaa 3定義定義 n 個(gè)有順序的數(shù)個(gè)有順序的數(shù) 所組成的數(shù)組所組成的數(shù)組naaa,21),(21naaa 叫做叫做 n 維向量維向量， 數(shù)數(shù) 叫做向量的叫做向量的分量分量（或（或坐標(biāo)坐標(biāo)），）， 個(gè)分量個(gè)分量.naaa,21jaj的的第第叫叫做做 3.1 向量及其相關(guān)性向量及其相關(guān)性1. 基本概念基本概念 分量為實(shí)數(shù)的向量稱(chēng)為分量為實(shí)數(shù)的向量稱(chēng)為實(shí)向量實(shí)向量；分量為復(fù)數(shù)的向量；分量為復(fù)數(shù)的向量稱(chēng)為稱(chēng)為復(fù)向量復(fù)向量. 4例如例如 矩陣的一行元素是一個(gè)向量；矩陣的一行元素是一個(gè)向量； 矩陣的一列元素也是矩陣的一列元素也是一個(gè)向量一個(gè)向量. nbbb21 為為列向量列向量.稱(chēng)稱(chēng)),(21na

3、aa 為為行向量行向量;常稱(chēng)常稱(chēng) 每一個(gè)方程中變量的系數(shù)就構(gòu)成一個(gè)每一個(gè)方程中變量的系數(shù)就構(gòu)成一個(gè) n 維行向量維行向量. 000221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa中，中，如方程組如方程組5確定飛機(jī)的狀態(tài)，需確定飛機(jī)的狀態(tài)，需要以下要以下6個(gè)參數(shù)：個(gè)參數(shù)：飛機(jī)重心在空間的位置參數(shù)飛機(jī)重心在空間的位置參數(shù) P(x,y,z)機(jī)身的水平轉(zhuǎn)角機(jī)身的水平轉(zhuǎn)角)20( 機(jī)身的仰角機(jī)身的仰角)22( 機(jī)翼的轉(zhuǎn)角機(jī)翼的轉(zhuǎn)角)( 所以，確定飛機(jī)的狀態(tài)，需用所以，確定飛機(jī)的狀態(tài)，需用6維向量維向量),( zyxa 維向量的實(shí)際意義維向量的實(shí)際意義n6niba

4、ii, 2 , 1, 向量的相等向量的相等.即即兩個(gè)向量相等，就是各個(gè)對(duì)應(yīng)的分量都相等兩個(gè)向量相等，就是各個(gè)對(duì)應(yīng)的分量都相等.),(),(2121nnbbbaaa 設(shè)設(shè)都是都是 n 維向量，則規(guī)定維向量，則規(guī)定:).0,0,0( O即即),(21naaa 零向量零向量 分量都為零的向量稱(chēng)為零向量分量都為零的向量稱(chēng)為零向量,記作記作O. 負(fù)向量負(fù)向量 設(shè)設(shè) 為為 稱(chēng)稱(chēng) 的負(fù)向量的負(fù)向量.),(21naaa 記記7),(),(2121nnbbbaaa ),(2211nnbababa ),()(2211nnbababa 向量的運(yùn)算向量的運(yùn)算行向量和列向量都按照行向量和列向量都按照矩陣的運(yùn)算法則矩陣的

5、運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算進(jìn)行運(yùn)算.定義定義 設(shè)設(shè)都是都是 n 維向量，規(guī)定維向量，規(guī)定的的和和與與為為向向量量稱(chēng)稱(chēng) 定義定義即：即：兩個(gè)向量相加減就是將它們的對(duì)應(yīng)分量相加減兩個(gè)向量相加減就是將它們的對(duì)應(yīng)分量相加減.8定義定義 設(shè) 是 n 維向量，是實(shí)數(shù), 規(guī)定),(21naaa ),(21naaa 注注 向量相加及數(shù)乘兩種運(yùn)算統(tǒng)稱(chēng)為向量相加及數(shù)乘兩種運(yùn)算統(tǒng)稱(chēng)為向量的線性運(yùn)算向量的線性運(yùn)算.即：即：數(shù)乘向量就是用數(shù)乘以向量的每一個(gè)分量數(shù)乘向量就是用數(shù)乘以向量的每一個(gè)分量.9OO )()()( )()()()(1由定義，易證：由定義，易證： 向量的線性運(yùn)算滿足如下運(yùn)算規(guī)律向量的線性運(yùn)算滿足如下運(yùn)算規(guī)律10

6、 000221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa 矩陣形式： AX= 0 數(shù)的形式：其中： 向量形式：0 0 nnxxx 2211 miiiiaaa21 其中 nxxxX21注：齊次線性方程組不同的表示形式：注：齊次線性方程組不同的表示形式：111、線性相關(guān)性 )3(04)2(032)1(02zyxzyxzyx引言引言 設(shè)有方程組設(shè)有方程組易知方程間有關(guān)系易知方程間有關(guān)系 (3)=2(1)+(2), 若記若記:)114(),132(),121(321 3.1.2 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性2132 則則213, 可可由由即即經(jīng)線性運(yùn)算

7、得到經(jīng)線性運(yùn)算得到.12定義定義（線性組合）（線性組合）mmmm 22112121,使使組組數(shù)數(shù)如如果果有有一一對(duì)對(duì)于于向向量量或說(shuō)或說(shuō) 線性表示線性表示.m ,21可可由由m ,21是是則說(shuō)向量則說(shuō)向量 的的線性組合線性組合， 于是知于是知, 方程組中有無(wú)多余方程等價(jià)于在相應(yīng)的向量方程組中有無(wú)多余方程等價(jià)于在相應(yīng)的向量組中是否有某個(gè)向量能由其余向量線性表示組中是否有某個(gè)向量能由其余向量線性表示.13定義定義（線性相關(guān)）（線性相關(guān)）使使不不全全為為零零的的數(shù)數(shù)組組如如果果存存在在一一維維向向量量組組設(shè)設(shè)有有,2121mmn m ,21則說(shuō)向量組則說(shuō)向量組 線性相關(guān)線性相關(guān)，否則稱(chēng)它們，否則稱(chēng)它

8、們線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān).Omm 2211問(wèn)問(wèn): 如何用定義來(lái)驗(yàn)證一組向量線性相關(guān)或線性無(wú)關(guān)如何用定義來(lái)驗(yàn)證一組向量線性相關(guān)或線性無(wú)關(guān)?14 或或k注注 零向量與任一向量線性相關(guān)零向量與任一向量線性相關(guān). ,注注 兩個(gè)非零向量?jī)蓚€(gè)非零向量線性相關(guān)的充要條件線性相關(guān)的充要條件是對(duì)應(yīng)分量成比例，即是對(duì)應(yīng)分量成比例，即O , 來(lái)來(lái)說(shuō)說(shuō)注注 對(duì)單個(gè)向量對(duì)單個(gè)向量 為線性相關(guān)，為線性相關(guān)，O 為線性無(wú)關(guān)為線性無(wú)關(guān).注注 線性無(wú)關(guān)的敘述線性無(wú)關(guān)的敘述OkkkOkkkmmm 212211則則必必有有若若有有 m ,21線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān)關(guān)于定義的幾點(diǎn)注意：關(guān)于定義的幾點(diǎn)注意：15 Okkk 631520111321

9、 Okkkkkkkk 321321316532即即 0650320 32132131kkkkkkkk故故 1113213231kkkkkkk可可取取321, 故故線性相關(guān)線性相關(guān).例例 (P69例例3) 討論向量組線性相關(guān)性討論向量組線性相關(guān)性. Okkk 332211 使使于是得于是得O 321)1(11 631,520,111321 ,321kkk解解 設(shè)有設(shè)有16Oekekeknn 2211證證 設(shè)有設(shè)有neee,21故故線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān).,00021 nkkk即即易知：易知：任一任一n n維維向量可由向量可由n n維單位坐標(biāo)向量組線性表示維單位坐標(biāo)向量組線性表示. .021 nkkk例

10、例 (P68例例1) n 維向量組維向量組 100,010,00121neee結(jié)論結(jié)論 n 維單位坐標(biāo)向量組是線性無(wú)關(guān)的維單位坐標(biāo)向量組是線性無(wú)關(guān)的.稱(chēng)為稱(chēng)為 n 維單位坐標(biāo)向量組維單位坐標(biāo)向量組 。17. , , , 321133322211321線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān)試證試證線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān)已知向量組已知向量組bbbbbb 例3例30 ,332211321 bxbxbxxxx使使設(shè)設(shè)有有, 0)()( 133322211 xxx）（即即, 0)()() 332221131 xxxxxx（亦亦即即線性無(wú)關(guān)，故有線性無(wú)關(guān)，故有，因因321 證證18., 0 321321線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)向向量量組組，

11、所所以以故故方方程程組組只只有有零零解解bbbxxx . 0 , 0 , 0 322131xxxxxx19定理定理 1 向量組向量組 線性相關(guān)線性相關(guān) 的充要條件是其中至少有一個(gè)向量可由其余的充要條件是其中至少有一個(gè)向量可由其余 m-1個(gè)個(gè) 向量線性表示向量線性表示.)2(,21 mm 中中有有一一個(gè)個(gè)向向量量設(shè)設(shè)充充分分性性m ,)(21112211 mmm 證證Ommm )1(112211即即有有能能由由其其余余向向量量線線性性表表示示比比如如,)(m 于于是是不不全全為為零零顯顯然然,)1( ,121 m .,21線線性性相相關(guān)關(guān)m 20即即有有一一組組線線性性相相關(guān)關(guān)因因,21m ,

12、0,21 imkkkk不不妨妨設(shè)設(shè)中中至至少少有有一一個(gè)個(gè)不不為為零零因因（必要性）（必要性）1111)()( iiiiikkkk 則則.能能由由其其余余向向量量線線性性表表示示即即i 證畢證畢.02211 mmkkk 使使不不全全為為零零的的數(shù)數(shù),21mkkk思考：思考： 若若 線性相關(guān)，線性相關(guān)， 是否是否 一定一定 能用其余向量線性表出？能用其余向量線性表出？m ,211 mimiiikkkk )()( 11 （不一定）（不一定）21定理定理 2 設(shè)設(shè) 線性無(wú)關(guān)，而線性無(wú)關(guān)，而 線性相關(guān)，則線性相關(guān)，則 能由能由 線性表示，且表示式是唯一的線性表示，且表示式是唯一的. ,21mm ,21

13、 m ,21, , 11mmkk故故有有線線性性相相關(guān)關(guān)因因證證明明 . 0(*)1 mk式式中中必必有有則則而而其其中中若若反反證證00,(111 mmmkkk (*), 0111 mmmkkk使使不不全全為為 , 01 mk.), 0,11線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)矛矛盾盾這這與與不不全全為為mmkk 22:.設(shè)設(shè)有有兩兩個(gè)個(gè)表表達(dá)達(dá)式式再再證證表表達(dá)達(dá)式式的的唯唯一一性性O(shè)mmm )()(:,111得得兩兩式式相相減減:,1知知線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)由由m 證畢證畢mmmm 1111及及0 0 ii )., 2 , 1(miii 即即.線線性性表表示示可可由由諸諸于于是是i 23 易知，一個(gè)易知，一個(gè)

14、mn 的矩陣的矩陣 Amn 既可以看作是由既可以看作是由 m 個(gè)個(gè) n 維的行向量構(gòu)成；也可以看作是由維的行向量構(gòu)成；也可以看作是由 n個(gè)個(gè) m 維的列向量維的列向量構(gòu)成，反之亦然構(gòu)成，反之亦然. mnmmmnnmnmmnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaA21222212112111212222111211 2 矩陣與向量組矩陣與向量組這里，我們來(lái)建立矩陣與向量組之間的聯(lián)系這里，我們來(lái)建立矩陣與向量組之間的聯(lián)系.24 mnnnnmmaaaaaaaaa21222122121111, 故故A可表示為可表示為 .,2121nmAA 或或 mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211

15、25線線性性相相關(guān)關(guān)n ,21證證有有非非零零解解線線性性方方程程組組02211 nnxxx 結(jié)論結(jié)論 矩陣矩陣 A 的列向量組的列向量組 線性相關(guān)線性相關(guān) 的的充要條件充要條件是齊次線性方程組是齊次線性方程組 Ax=0 有非零解有非零解. 其中其中 n ,21 ,21Tnxxxx ).,(21nA 0, 221121 nnnkkkkkk 使使存存在在一一組組不不全全為為零零的的數(shù)數(shù) 有有非非零零解解02121 nnxxx 有有非非零零解解0 Ax證畢證畢26 類(lèi)似地有，類(lèi)似地有，矩陣矩陣A的行向量組的行向量組 線性線性相關(guān)的充要條件是齊次線性方程組相關(guān)的充要條件是齊次線性方程組 AT x=O

16、 有非零解有非零解. .其中其中 x= =m ,21 Tmxxx21 由上可見(jiàn)，向量間的相關(guān)性問(wèn)題可借助于矩陣或齊次由上可見(jiàn)，向量間的相關(guān)性問(wèn)題可借助于矩陣或齊次線性方程組來(lái)表述線性方程組來(lái)表述. 熟悉同一個(gè)問(wèn)題的不同形式表述，對(duì)于學(xué)好第三章及熟悉同一個(gè)問(wèn)題的不同形式表述，對(duì)于學(xué)好第三章及以后內(nèi)容是很重要的以后內(nèi)容是很重要的.273.2 線性相關(guān)性的判定定理 本節(jié)將討論本節(jié)將討論 從不同的角度（如向量組中向量的從不同的角度（如向量組中向量的個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)、 維數(shù)維數(shù)、以及、以及分量的順序分量的順序）提出向量組線性）提出向量組線性 相關(guān)的判定條件相關(guān)的判定條件 利用矩陣來(lái)判別向量組的線性相關(guān)性利用矩陣

17、來(lái)判別向量組的線性相關(guān)性 28Okkkrr 2211.,21線線性性相相關(guān)關(guān)故故mr Okkkmrrr 0012211從而從而.0 , 0 ,1個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)不不全全為為零零這這因因mkkrmrr ,1,1 r ,21定理定理 3 3 若若 線性相關(guān)，線性相關(guān)， 則則 也線性相關(guān)也線性相關(guān). .r ,21rkkk,21證證 因?yàn)橐驗(yàn)?線性相關(guān)，故有不全為零線性相關(guān)，故有不全為零 的數(shù)的數(shù) 使使29定理定理 4 設(shè)有兩個(gè)設(shè)有兩個(gè) n 維列向量組維列向量組 2121mm,b,bbB:,a,aaA: 即向量即向量 是把是把 的第一、二個(gè)分量對(duì)調(diào)而得，則向的第一、二個(gè)分量對(duì)調(diào)而得，則向 量組量組A與向量組與

18、向量組B的線性相關(guān)性相同的線性相關(guān)性相同.jbja證證 記記 mmbbbBaaaA2121, ,m,j,aaab,aaa anjjjjnjjjj21 1221 其中30,0:021212222111211有有非非零零解解即即方方程程組組線線性性相相關(guān)關(guān)的的充充要要條條件件是是則則向向量量組組 mnmnnmmxxxaaaaaaaaaAxA,0:021211121122221有有非非零零解解即即方方程程組組線線性性相相關(guān)關(guān)的的充充要要條條件件是是向向量量組組 mnmnnmmxxxaaaaaaaaaBxB31 顯然可知，方程組顯然可知，方程組 Ax=O 與方程組與方程組 Bx=O 是同解的，是同解的

19、，故若故若 A 組線性相關(guān)，組線性相關(guān)，B 組也線性相關(guān)；若組也線性相關(guān)；若 A 組線性無(wú)組線性無(wú)關(guān)，關(guān)，B 組也線性無(wú)關(guān)組也線性無(wú)關(guān). 即它們的線性相關(guān)性相同即它們的線性相關(guān)性相同. 定理定理 4/ 設(shè)有兩個(gè)設(shè)有兩個(gè) n 維列向量組維列向量組mjaaabaaaa,b,bB:b,a,aaAjpjpjpjnjjjjmmn, 2 , 1,:21212121 其其中中 其中其中 是是 這這 n 個(gè)自然數(shù)的某個(gè)自然數(shù)的某個(gè)確定的排列，則向量組個(gè)確定的排列，則向量組A與向量組與向量組B的線性相關(guān)性相同的線性相關(guān)性相同.nppp,21n, 2 , 132注注 定理定理4與定理與定理 4/ 對(duì)行向量情形也同

20、樣成立對(duì)行向量情形也同樣成立.定理定理 5 設(shè)有兩個(gè)列向量組設(shè)有兩個(gè)列向量組mjaaaabaaaa,b,bbB:,a,aaA:jrrjjjjrjjjjmm, 2 , 1, ,121212121 其其中中jbja即向量即向量 是由是由 添加一個(gè)分量而得，若向量組添加一個(gè)分量而得，若向量組 A 線線性無(wú)關(guān)，向量組性無(wú)關(guān)，向量組 B 也線性無(wú)關(guān)也線性無(wú)關(guān).33記記定理定理 5 的證明的證明 AAxO則則向向量量組組 線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)的的充充要要條條件件是是方方程程組組 mmbbbB,aaaA2121 11121121222212 :,nnrrrnnaaaxaaaxOaaax即即只只有有零零解解 BB

21、xO向向量量組組 線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)的的充充要要條條件件是是方方程程組組34 由于方程組由于方程組 Bx=O 的前的前 r 個(gè)方程即是個(gè)方程即是 Ax=O 的的 r 個(gè)方個(gè)方程，故方程組程，故方程組 Bx=O 的解一定是的解一定是 Ax=O 的解的解.11121121222212111 21 ,:,nnrrrnnrrrnaaaxaaaxOaaaxaaa即即只只有有零零解解 因?yàn)橄蛄拷M因?yàn)橄蛄拷M A 線性無(wú)關(guān)，所以線性無(wú)關(guān)，所以 Ax=O 只有零解，從而只有零解，從而B(niǎo)x=O 也只有零解也只有零解, 因此向量組因此向量組 B 也線性無(wú)關(guān)也線性無(wú)關(guān).35推論推論 r 維向量組的每個(gè)向量添上維向量組的

22、每個(gè)向量添上 n-r 個(gè)分量，成為個(gè)分量，成為 n 維維 向量組。若向量組。若 r 維向量組線性無(wú)關(guān)，則維向量組線性無(wú)關(guān)，則n 維向量組亦線性維向量組亦線性 無(wú)關(guān)；反過(guò)來(lái)，若無(wú)關(guān)；反過(guò)來(lái)，若 n 維向量組線性相關(guān)，則維向量組線性相關(guān)，則 r 維向量組維向量組 亦線性相關(guān)亦線性相關(guān). 以上我們給出了幾個(gè)判別線性相關(guān)性的定理，為幫助以上我們給出了幾個(gè)判別線性相關(guān)性的定理，為幫助記憶，特總結(jié)成以下幾句話：記憶，特總結(jié)成以下幾句話： 改變向量的個(gè)數(shù)時(shí)，改變向量的個(gè)數(shù)時(shí)，. . 改變向量的維數(shù)時(shí)，改變向量的維數(shù)時(shí)，低維無(wú)關(guān)，高維也無(wú)關(guān)；低維無(wú)關(guān)，高維也無(wú)關(guān)； 高維相關(guān)，低維也相關(guān)高維相關(guān)，低維也相關(guān).

23、同步改變向量的分量順序時(shí)，同步改變向量的分量順序時(shí)，線性相關(guān)性線性相關(guān)性不變不變.36注注 1) 定理的結(jié)論對(duì)定理的結(jié)論對(duì)行行向量情形同樣成立向量情形同樣成立.2) 此定理是從矩陣的角度來(lái)判斷向量組的相關(guān)性此定理是從矩陣的角度來(lái)判斷向量組的相關(guān)性, 無(wú)論無(wú)論 在理論上還是在計(jì)算中都經(jīng)常被用到在理論上還是在計(jì)算中都經(jīng)常被用到.定理定理 6 向量組向量組 線性相關(guān)線性相關(guān)的充分必要條的充分必要條 件是它們所構(gòu)成的矩陣件是它們所構(gòu)成的矩陣 的秩的秩 小于向量的個(gè)數(shù)小于向量的個(gè)數(shù) m, 即即R(A)n 時(shí)，時(shí)，m 個(gè)個(gè) n 維向量維向量 一定線性相關(guān)一定線性相關(guān).特別特別 n+1個(gè)個(gè)n維向量必相關(guān)維向

24、量必相關(guān).39 510231202231,343122321,201332CBA解解 對(duì)對(duì)A，行：，行：3個(gè)個(gè)2 維向量，必相關(guān)維向量，必相關(guān). 列：列：2個(gè)個(gè)3 維向量，兩列不成比例，維向量，兩列不成比例， 對(duì)對(duì)B，行、列皆為，行、列皆為3個(gè)個(gè)3維向量，考察其行列式維向量，考察其行列式. 例例 討論下列矩陣的行、列向量組的線性相關(guān)性討論下列矩陣的行、列向量組的線性相關(guān)性.,2)(的的列列向向量量組組線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)故故AAR 40對(duì)對(duì)C，列：，列：4個(gè)個(gè)3 維向量，必相關(guān)維向量，必相關(guān). 行：行：3個(gè)個(gè)4 維向量維向量 R(C)=23, 故故 C 中行向量組線性相關(guān)中行向量組線性相關(guān). 51

25、0231202231C 000031202231510231202231C02 B因?yàn)橐驗(yàn)镽(B)=3，故，故 B的行、列向量組皆線性無(wú)關(guān)的行、列向量組皆線性無(wú)關(guān).41 1.已知向量組已知向量組 線性相關(guān)，求線性相關(guān)，求 t 值值.,054002121 t3 t 002,112121t 25403 練練 習(xí)習(xí)解題提示：矩陣解題提示：矩陣 的秩的秩 R(A)s ，則由于，則由于 r 個(gè)個(gè) s 維向量必相關(guān)維向量必相關(guān),即即線性相關(guān)，故存在不全為線性相關(guān)，故存在不全為 0 的數(shù)的數(shù) 使使引理證畢引理證畢1212rrKBAO 從從而而 Orr 2121即即故一定有故一定有61證證 設(shè)設(shè) A1 組為組

26、為 A 組的最大無(wú)關(guān)組，組的最大無(wú)關(guān)組，B1 組為組為 B 組的最大組的最大 無(wú)關(guān)組，則無(wú)關(guān)組，則 A1 組、組、B1 組中所含的向量個(gè)數(shù)分別為組中所含的向量個(gè)數(shù)分別為 r1，r2 .證畢證畢定理定理7 設(shè)向量組設(shè)向量組 的秩為的秩為 r1， 向量組向量組 的秩為的秩為 r2， 如果如果A組能由組能由B組線性表示，則組線性表示，則 r1 r2 .rA ,:21sB ,:21 因?yàn)橐驗(yàn)?A 組能由組能由 B 組線性表示，故組線性表示，故 A1 組也能由組也能由 B1 組線性表示組線性表示.（請(qǐng)思考為什么？請(qǐng)思考為什么？）于是由引理知于是由引理知 r1 r2 .62問(wèn)問(wèn): 推論推論 1 的逆命題是

27、否成立？的逆命題是否成立？ 10000100:,0010,0001:2121 BA答答 推論推論1的逆不真，即的逆不真，即等秩組不一定等價(jià)等秩組不一定等價(jià). 則則A組與組與B組的秩皆為組的秩皆為2，但，但A組與組與B組顯然不等價(jià)組顯然不等價(jià).（有關(guān)此命題的進(jìn)一步的結(jié)論可參見(jiàn)習(xí)題（有關(guān)此命題的進(jìn)一步的結(jié)論可參見(jiàn)習(xí)題3）推論推論 1 等價(jià)的向量組有相同的秩等價(jià)的向量組有相同的秩.定理定理7的若干推論的若干推論簡(jiǎn)稱(chēng)為等簡(jiǎn)稱(chēng)為等價(jià)組等秩價(jià)組等秩如如：63定理定理8 矩陣矩陣A的秩等于的秩等于A的行向量組的秩，也等于的行向量組的秩，也等于A的的 列向量組的秩列向量組的秩.（此性質(zhì)常稱(chēng)為（此性質(zhì)常稱(chēng)為三秩

28、相等三秩相等定理定理.）推論推論 2 設(shè)在向量組設(shè)在向量組T中有中有 r 個(gè)向量個(gè)向量 滿足滿足 線性無(wú)關(guān)；線性無(wú)關(guān)； 任取任取 線性線性 表示表示. 則則 即是向量組即是向量組T的一個(gè)最大的一個(gè)最大 無(wú)關(guān)組，數(shù)無(wú)關(guān)組，數(shù) r 即是向量組的秩即是向量組的秩.r ,21r ,21r ,21rT ,21能能由由 3.3.3 向量組的秩與矩陣秩的關(guān)系向量組的秩與矩陣秩的關(guān)系 即即 R(A) = A的的行秩行秩 = A的的列秩列秩.64定理定理8 矩陣矩陣A的秩等于的秩等于A的行向量組的秩，也等于的行向量組的秩，也等于A的的 列向量組的秩列向量組的秩.證證 設(shè)設(shè) A 為為mn矩陣，當(dāng)矩陣，當(dāng)R(A)=

29、0時(shí)，時(shí)，A=O，結(jié)論自然，結(jié)論自然 成立，故下設(shè)成立，故下設(shè)R(A)0.記記 A 的列向量為的列向量為n ,21 由矩陣秩的定義，由矩陣秩的定義，A 中存在一個(gè)中存在一個(gè) r 階子式階子式 Dr0, 由定理由定理 6知，知，Dr 所在的所在的 r 列線性無(wú)關(guān)，又由于列線性無(wú)關(guān)，又由于A中所中所有有 r+1 階子式均為階子式均為 0, 知知 A 中任意中任意 r+1個(gè)列向量線性個(gè)列向量線性相關(guān)，因此相關(guān)，因此 Dr 所在的所在的 r 列就是列就是 A 的列向量組的最大的列向量組的最大無(wú)關(guān)組，所以無(wú)關(guān)組，所以 A 的列秩等于的列秩等于 r. 同理可證同理可證 A 的行秩也等于的行秩也等于 r.)

30、.,(21nA 即即65推論推論 設(shè)矩陣設(shè)矩陣 A 的某個(gè)的某個(gè) r 階子式階子式 Dr 是是 A 的最高階非零的最高階非零 子式，則子式，則 Dr 所在的所在的 r 個(gè)行向量即是個(gè)行向量即是 A 的行向量組的一的行向量組的一 個(gè)最大無(wú)關(guān)組；個(gè)最大無(wú)關(guān)組； Dr 所在的所在的 r 個(gè)列向量即是個(gè)列向量即是 A 的列向量的列向量 組的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組組的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組.例例 求下列向量組的秩，并求一個(gè)最大無(wú)關(guān)組：求下列向量組的秩，并求一個(gè)最大無(wú)關(guān)組： .81507,31312,23123321 解題思路：解題思路：法法 1 從判別向量組的相關(guān)性入手從判別向量組的相關(guān)性入手. 法法 2 構(gòu)造矩陣，先

31、求矩陣的秩構(gòu)造矩陣，先求矩陣的秩. （矩陣的秩可用初等變換法求得）（矩陣的秩可用初等變換法求得）66.2213 解法解法 1 易見(jiàn)易見(jiàn)從從而而線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)又又線線性性相相關(guān)關(guān)故故,21321 ., 2,21為為一一個(gè)個(gè)最最大大無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)組組且且向向量量組組的的秩秩為為知知 .81507,31312,23123321 ,815073131223123321 A記記解法解法 2071223 易知，二階子式易知，二階子式67故知故知 R(A)=2， 815073131223123 A又又 0000031312231232132rrr., , 2 , 21為為一一個(gè)個(gè)最最大大無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)組組且且向向量量

32、組組的的秩秩為為知知由由三三秩秩相相等等定定理理及及推推論論 問(wèn)：能否取問(wèn)：能否取其它的二階其它的二階子式？子式？68例例 證證 設(shè)設(shè) C=AB特別，特別，當(dāng)當(dāng) A可逆時(shí)可逆時(shí)，有，有 當(dāng)當(dāng) B可逆時(shí)可逆時(shí)，有，有)(),(min()(BRARABR )()(ARABR 則知?jiǎng)t知 C的行向量組可由的行向量組可由B的行向量組線性表示的行向量組線性表示; C的列向量組可由的列向量組可由A的列向量組線性表示的列向量組線性表示,從而由定理從而由定理7及三秩相等定理，知及三秩相等定理，知 R(C)R(B)，R(C)R(A) 故命題成立故命題成立.)()(BRABR 69定理定理 9 矩陣矩陣 A 經(jīng)過(guò)初

33、等經(jīng)過(guò)初等行行變換化為矩陣變換化為矩陣 B，則，則 A 、B 的的行行向量組之間等價(jià)，而向量組之間等價(jià)，而 A、B 的的 列列向量組之間有向量組之間有 相同的線性組合關(guān)系相同的線性組合關(guān)系.本定理的證明略去本定理的證明略去, 但要注意此定理在解題中的應(yīng)用但要注意此定理在解題中的應(yīng)用. 43333320126624220121A 1）求矩陣的秩；求矩陣的秩； 2）求其列向量組的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組，）求其列向量組的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組， 3）將其余的列向量用此最大無(wú)關(guān)組線性表示）將其余的列向量用此最大無(wú)關(guān)組線性表示.例例 設(shè)有矩陣設(shè)有矩陣A70)(00000130001223020121B 行行)(0000

34、0311000910321091603101C 行行 43333320126624220121A（思考：從階梯形B 和最簡(jiǎn)形 C 能了解原矩陣的什么信息？）解解 用初等用初等行行變換法可同時(shí)解決題中的幾個(gè)問(wèn)題，變換法可同時(shí)解決題中的幾個(gè)問(wèn)題， 其理論依據(jù)正是定理其理論依據(jù)正是定理9.711）R(A)=R(B)=R(C)=3. )(00000311000910321091603101)(00000130001223020121CB 2）根據(jù)）根據(jù) B、C 的結(jié)構(gòu)可知的結(jié)構(gòu)可知 B、C 的第的第 1、2、4 列線性無(wú)列線性無(wú) 關(guān)，由定理關(guān)，由定理 9 知，知，A的第的第 1、2、4 列也線性無(wú)關(guān)，

35、故列也線性無(wú)關(guān)，故 A 的第的第 1、2、4 三個(gè)列向量是三個(gè)列向量是 A 的列向量組的最大無(wú)的列向量組的最大無(wú) 關(guān)組關(guān)組.723）為將）為將A 的其它的列向量用最大無(wú)關(guān)組表示，記的其它的列向量用最大無(wú)關(guān)組表示，記 54321 C 54321 A421542133191916,03231 421542133191916,03231: 易易見(jiàn)見(jiàn)由由C則在則在A中亦有中亦有 43333320126624220121 0000031100091032109160310173綜上所述，我們有綜上所述，我們有 .)3)2)( ?)()1),(關(guān)關(guān)組組線線性性表表示示大大無(wú)無(wú)將將其其余余的的列列向向量量用

36、用此此最最組組的的列列向向量量組組的的最最大大無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)直直接接看看出出由由可可求求行行最最簡(jiǎn)簡(jiǎn)形形行行ABRARBA .)3)2)( ?)()1),(關(guān)關(guān)組組線線性性表表示示大大無(wú)無(wú)將將其其余余的的行行向向量量用用此此最最組組的的行行向向量量組組的的最最大大無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)直直接接看看出出由由可可求求列列最最簡(jiǎn)簡(jiǎn)形形列列ABRARBA)(?)(),(,BRARBA 可可求求標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)形形列列行行741. 設(shè)有行向量組設(shè)有行向量組 123,312,23321 x?,?,:321321線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān)為何值時(shí)為何值時(shí)線性相關(guān)線性相關(guān)為何值時(shí)為何值時(shí)問(wèn)問(wèn) xx解解 考慮考慮32213321xA 357 x.,

37、5,5321321線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)時(shí)時(shí)線線性性相相關(guān)關(guān)時(shí)時(shí)故故當(dāng)當(dāng) xxCan You Answer Them?75 2 判斷判斷1 若若A組向量與組向量與B組向量等價(jià)，則組向量等價(jià)，則A組與組與B組的線性組的線性 相關(guān)性相同相關(guān)性相同.（）3 若矩陣若矩陣A的行向量組與的行向量組與B的行向量組等價(jià)，則方的行向量組等價(jià)，則方 程組程組AX=0與與BX=0同解同解.（）（）2 若若C=AB，則，則C的行向量組可由的行向量組可由B的行向量組線性的行向量組線性 表示表示, C的列向量組可由的列向量組可由A的列向量組線性表示的列向量組線性表示.Can You Answer Them?763.4 向量空

38、間 本節(jié)將討論：本節(jié)將討論： 向量空間的定義向量空間的定義 向量空間的基和維數(shù)的概念向量空間的基和維數(shù)的概念 用初等變換法驗(yàn)證一組向量是否構(gòu)成向量空用初等變換法驗(yàn)證一組向量是否構(gòu)成向量空 間的基并將其余向量用這組基線性表示間的基并將其余向量用這組基線性表示77所謂運(yùn)算封閉，是指所謂運(yùn)算封閉，是指.,VkkVVVV 則則是是數(shù)數(shù)則則 1. 定義定義（向量空間）（向量空間） 設(shè)設(shè)V為為 n 維向量的集合，如果集合維向量的集合，如果集合V非空，且集非空，且集合合V對(duì)于加法及數(shù)乘兩種對(duì)于加法及數(shù)乘兩種運(yùn)算封閉運(yùn)算封閉，那么就稱(chēng)集合，那么就稱(chēng)集合V為為向量空間向量空間。78 2）定義中也指明了驗(yàn)證一個(gè)向

39、量集合是否為向量）定義中也指明了驗(yàn)證一個(gè)向量集合是否為向量 空間的步驟：空間的步驟： V非空；非空； V關(guān)于向量加法封閉；關(guān)于向量加法封閉； V關(guān)于關(guān)于 向量數(shù)乘封閉向量數(shù)乘封閉.注注 1）n 維向量的全體維向量的全體 Rn 是向量空間是向量空間. 1. 定義定義（向量空間）（向量空間） 設(shè)設(shè)V為為 n 維向量的集合，如果集合維向量的集合，如果集合V非空，且集非空，且集合合V對(duì)于加法及數(shù)乘兩種對(duì)于加法及數(shù)乘兩種運(yùn)算封閉運(yùn)算封閉，那么就稱(chēng)集合，那么就稱(chēng)集合V為為向量空間向量空間.79例例 1 是一向量空間是一向量空間6-這就是解析幾何中討論的三這就是解析幾何中討論的三維歐氏維歐氏 空間空間 R3

40、. ,321321RxxxxxxxV ,021211RxxxxxV 例例 2 驗(yàn)證驗(yàn)證 是一向量空間是一向量空間.80 ,021211RxxxxxV ,11VV 0,21kxxkkRk 則則解解 因?yàn)榱阆蛄恳驗(yàn)榱阆蛄?0 V1 ，故，故V1 非空非空.綜上知，綜上知， V1 是一向量空間是一向量空間.又設(shè)又設(shè) 0,02121yyxx 記記 設(shè)設(shè) 02211yxyx 121,VkRkxkx 所所以以其其中中12211,VRyxyx 所所以以其其中中81,22VV 解解 以下說(shuō)明以下說(shuō)明 V2 對(duì)加法運(yùn)算不封閉對(duì)加法運(yùn)算不封閉.所以所以 V2 不是向量空間不是向量空間.設(shè)設(shè) 1,12121yyxx

41、 記記 22211yxyx ., 12V 故故的的第第三三個(gè)個(gè)分分量量不不是是由由于于 212121 ,Vxxxx xR 例例 3 說(shuō)明說(shuō)明 不是一向量空間不是一向量空間.82結(jié)論結(jié)論 設(shè)設(shè) 是兩個(gè)已知的是兩個(gè)已知的 n 維向量，則維向量，則 是一個(gè)向量空間是一個(gè)向量空間. , RxV ,（稱(chēng)（稱(chēng)V是由是由 所所生成的向量空間生成的向量空間） ,RkVxVx ,21驗(yàn)證驗(yàn)證 設(shè)設(shè)故故V是向量空間是向量空間. 222111, xx記記Vxx )()(212121Vkkkx )()(11183一般地，由一般地，由 所生成的向量空間為。所生成的向量空間為。m ,21 RxVmmm ,212211即若

42、向量組即若向量組 與與 等價(jià)，等價(jià)，m ,21s ,21 RxVRxVsssmmm ,11121111結(jié)論結(jié)論 等價(jià)的向量組所生成的向量空間相同等價(jià)的向量組所生成的向量空間相同.又又.21VV 則則842. 定義定義 （基和維數(shù)）（基和維數(shù)）,21Vr 設(shè)設(shè) V 為向量空間，如果為向量空間，如果 r 個(gè)向量個(gè)向量且滿足：且滿足：線性無(wú)關(guān)；線性無(wú)關(guān)；r ,) 1 (21(2)(2) V 中任一向量都可由中任一向量都可由r ,21線性表出線性表出. 則向量組則向量組 就稱(chēng)為向量空間就稱(chēng)為向量空間 V 的一個(gè)的一個(gè)基基，r 稱(chēng)為向量空間稱(chēng)為向量空間V的的維數(shù)維數(shù)，并稱(chēng)，并稱(chēng)V是是 r 維向量空間維向量空間.r ,21規(guī)定：零向量空間的維數(shù)為規(guī)定：零向量空間的維數(shù)為 0.851）V的基就是的基就是V的最大無(wú)關(guān)組，的最大無(wú)