車燈線光源的優(yōu)化設(shè)計河海大學(xué)

1、車燈線光源設(shè)計的數(shù)值逼近丁根宏 韓喜君河海大學(xué)理學(xué)院，南京 210098摘 要 本文通過在拋物面內(nèi)內(nèi)接小平面鏡的方法，來模擬拋物面反射光線的匯聚作用。統(tǒng)計能反射光線到指定點的小平面鏡的個數(shù)，算出該點的光強。在滿足指定的B、C兩點光強大小的條件下，求出使線光源總功率最小的燈絲長度為3.832毫米。 關(guān)鍵詞 拋物面 光強 匯聚作用 數(shù)值逼近一、問題背景介紹安裝在汽車頭部的車燈的形狀為一旋轉(zhuǎn)拋物面，車燈的對稱軸水平地指向正前方，其開口半徑36毫米，深度21.6毫米。經(jīng)過車燈的焦點，在與對稱軸相垂直的水平方向，對稱地放置一定長度的均勻分布的線光源。要求在某一設(shè)計規(guī)范下確定線光源的長度。該設(shè)計規(guī)范簡述如

2、下：在焦點F正前方25米處的A點放置一測試屏，屏與FA垂直，用以測試車燈的反射光。在屏上過A點作一條與地面相平行的直線，在該直線A點的一側(cè)取B、C兩點，使AC=2AB=2.6米。要求C點的光強度不小于某一額定值，B點的光強度不小于該額定值的兩倍（只須考慮一次反射）。 在滿足該設(shè)計規(guī)范的條件下，計算線光源長度，使線光源的功率最小。為了求解這一問題，首先建立坐標(biāo)系，通常由解析方法分析得到線光源上發(fā)光點與反射面及測試屏之間的一系列反射方程。對于燈絲上的某一點S，直接求出拋物面上可將點S發(fā)出的光線反射到B點或C點的反射點，此處的反射點并非為抽象意義上的點，而為一微元D1。S點發(fā)出的光線經(jīng)反射后，在測試

3、屏上得一微元D2，D2、D1之間有一個面積比，即為雅可比行列式的絕對值，而D1處光強可求，所以D2處的光強可求，最后對燈絲積分，得B點（C點）處的光強。但是，用該解析方法解題有困難，對于拋物面上的某些點，其雅可比行列式的分母為0，無法實現(xiàn)數(shù)值積分。下面通過在拋物面內(nèi)內(nèi)接小平面的方法，來模擬拋物面反射光線的匯聚作用。二、內(nèi)接小平面鏡逼近1、建立坐標(biāo)系如圖建立坐標(biāo)系，以車燈的底部為原點，以FA為z軸，與其垂直的過原點的水平線為y軸，根據(jù)右手22法則可確定x軸，各軸均以毫米為單位。于是在該坐標(biāo)系下，車燈的拋物面方程可表示為x+y=60z.圖1 光線反射示意圖圖1中，S為線光源上某一點，R為在拋物面上

4、的反射點，M為S關(guān)于R處切平面的鏡像點。2、用內(nèi)接小平面鏡逼近拋物面將x軸按長度x等分，將y軸按長度y等分，這樣就在xoy平面形成若干網(wǎng)格。每個網(wǎng)格是一個矩形，矩形網(wǎng)格中的上側(cè)和右側(cè)的邊是實邊，另外兩條邊是虛邊，以保持矩形網(wǎng)格劃分的完備性。設(shè)一矩形的四個頂點分別為P1(x1,y1)、P2(x2,y2)、P3(x3,y3)、P4(x4,y4)。這四個xoy平面上的點沿z軸投影到拋物面上，得到四個拋物面上的點Q1(x1,y1,z1)，Q2(x2,y2,z2)，Q3(x3,y3,z3)，Q4(x4,y4,z4)。z1、z2、z3、z4均滿足方程(x2+y2)=60z，容易證明Q1、Q2、Q3、Q4在

5、同一平面上，于是Q1Q2Q3Q4構(gòu)成一個四邊形，記為，此即可看作是在拋物面內(nèi)部內(nèi)接的一個小平面鏡。在燈絲上取定某一點S后，以點Q1、Q2、Q3、Q4為反射點，反射后在z=25015處的測試屏上得四個點T1、T2、T3、T4，這四個點也構(gòu)成一個四邊形T1T2T3T4，不妨設(shè)為。若四邊形包含B點(C點)，則在平面鏡上存在唯一的一個反射點Q，把從點S發(fā)出的光線反射到B點(C點)。固定燈絲上的S點，由于拋物面在xoy平面上的投影是一個有限區(qū)域，故可以用若干個矩形網(wǎng)格覆蓋這一有限區(qū)域。再對矩形網(wǎng)格進行遍歷，若反射光線經(jīng)過B點(C點)，則對反射該光線的平面鏡計數(shù)一次，于是得到可將此S點發(fā)出的光線反射到B點

6、(C點) 的平面鏡個數(shù)。現(xiàn)將燈絲等分成若干小段，對各小段做一次上面的遍歷，就能得到從Si發(fā)出的光線反射到B點(C點)的平面鏡總數(shù)Ni，這里Si為長度微元，用計算機模擬計算時，Si代替燈絲上的一小段，但可以將小段長度盡可能取得很小以減小誤差。因為旋轉(zhuǎn)拋物面的大小相對于其到測試屏的距離很小，所以所有經(jīng)拋物面反射到B點的光線的路長可22近似取為LB=25015+13002，而反射到C點的光線的路長可近似取為LC=25015+26002.設(shè)燈絲上一點Si處的光強為I1，則經(jīng)一塊平面鏡反射到測試屏上B點(C點)處的光強為I2=I14L2，這里L(fēng)為光線經(jīng)過的路長，I2Ni即為燈絲上一點Si發(fā)出的光線經(jīng)所有

7、平面鏡反射后在B點(C點)處的光強。于是，照此方法，燈絲上各小段發(fā)出的光線經(jīng)所有的平面鏡反射后在B點（C點）所形成的光強可求。由物理學(xué)知，任一光源發(fā)出的光強與該光源所消耗的功率成正比，比例系數(shù)為常數(shù)k. 設(shè)燈絲單位長度(每一小段)的功率為w，燈絲長為m個小段，B、C兩點的總光強分別為IB、IC，而C點的光強度不小于某一額定值I0. 則原問題可轉(zhuǎn)化為下列數(shù)學(xué)模型。minmw （1） IB2I0II0C其中I=kwNBB11，這里NB、NC分別為將m個小段所發(fā)出的光線反射到B、,I=kwNCC224LB4LCC點的平面鏡數(shù)。由于比例系數(shù)k為常數(shù)，額定值I0也為常數(shù)，不妨設(shè)常數(shù)k、I0均為1。因此，

8、可把光強與功率等價，約束條件可簡化為IC1、IB2。下面討論求解NB、NC的具體方法。設(shè)線光源上的一點S的坐標(biāo)為(0,yS,15)，內(nèi)接平面鏡Q1Q2Q3Q4四個頂點的坐標(biāo)（按逆時針方向）為由x(x2,y2,z2)、(x4,y4,z4)，(x1,y1,z1)、(x3,y3,z3)、oy平面矩形網(wǎng)格的劃分方法知：x1=x2，y2=y3，x3=x4，y1=y4 ，z可相應(yīng)地用x, y來表示。設(shè)平面鏡的法向量為=(a,b,c)，上的反射點Q的坐標(biāo)為(x1,y1,z1)，在空間中點P關(guān)于平面鏡的對稱點M的坐標(biāo)為(xr,yr,zr)， ，鏡像點與原像點連線的中點一定在平面鏡上，兩個點的連線的方向向量與平

9、面鏡的法向量平行，由此我們可得如下方程組：xr-0=kayr-yS=kb zr-15=kc-（8）a(xr+0-x)+b(yr+yS-y)+c(zr+15-z)=0111222由此，可以解得xr， yr ，zr如下：2a(-15c+ax1+by1-byS+cz1)x=ra2+b2+c22b(-15c+ax1+by1-byS+cz1)y=y+ rS222a+b+cz=15+2c(-15c+ax1+by1-byS+cz1)ra2+b2+c2令v=2ax1+b(y1-yS)+c(z1-15)a2+b2+c2 ，進一步簡化可得：xr=avyr=yS+bvz=15+cvr-（9）而平面鏡的法向量(a,b

10、,c)可通過四邊形P1P2P3P4的任兩條相互鄰接的邊的叉積得到，例如把P1P2P2P3作為該平面鏡的法向量。因為在xoy平面上的劃分為矩形網(wǎng)格，所以其中的任一矩形的四個頂點的坐標(biāo)（按逆時針方向，其坐標(biāo)分別為(x1,y1)、(x2,y2)、(x3,y3)、(x4,y4)）有如下關(guān)系：x1=x2，y2=y3，x3=x4，y1=y4 。這樣，與其對應(yīng)的小平面鏡的四個頂點的坐標(biāo)（按逆時針方向，為(x1,y1,z1)、(x2,y2,z2)、(x3,y3,z3)、(x4,y4,z4)）有下面的關(guān)系：x，y坐標(biāo)關(guān)系與上相同，z可相應(yīng)地用x，y表示出來。向量P1P2的坐標(biāo)為(x1-x2,y1-y2,z1-z

11、2)，向量P2P3的坐標(biāo)為(x2-x3,y2-y3,z2-z3)，于是由叉積公式及上述坐標(biāo)間的關(guān)系得P1P2P2P3的坐標(biāo)為(y1-y3)(x2-x3)(x1+x3)/60,(y1-y3)(x2-x3)(y1+y3)/60,(y1-y3)(x2-x3)(-1)，可化簡為(x1+x3,y1+y3,-60)。于是，取定矩形網(wǎng)格中的一格（即一個矩形），得四個頂點，便知旋轉(zhuǎn)拋物內(nèi)接小平面鏡的四個頂點的坐標(biāo)，法向量面鏡上的反射點(a,b,c)就可以求得。若再選取好線光源上P點的坐標(biāo)(0,yS,15)中的yS，又選定平A的坐標(biāo)(x1,y1,z1)，則點P關(guān)于平面鏡的對稱點R的坐標(biāo)(xr,yr,zr)可求。

12、X-x1Y-y1Z-z1 =xr-x1yr-y1zr-z1設(shè)F(X,Y,Z)為反射光線上任一點F的坐標(biāo)(X,Y,Z)，由于F、A、R在同一條直線上，所以向量FA、RA平行，用具體符號可表示為：因此， X=x1+(xr-x1)(Z-z1)/(zr-z1)-（10） Y=y+(y-y)(Z-z)/(z-z)1r11r1在測試屏上Z均為25015，故若已知R(xr,yr,zr)，A(x1,y1,z1)，則燈絲上任一點經(jīng)任一平面鏡上任一反射點反射到測試屏上的坐標(biāo)(X,Y)均可求得，于是小平面鏡在測試屏上的投影點的坐標(biāo)可得出。接下來，可以按某種方法來判別投影在測試屏上的四邊形是否包含B點或C點 。一般地

13、，判別該四邊形是否包含U(x,y)點。 設(shè)按（10）式求出的該四邊形四個頂點坐標(biāo)為Pd1(xd1,yd1)、Pd2(xd2,yd2)、Pd3(xd3,yd3)、Pd4(xd4,yd4)，當(dāng)下列四個不等式成立時，可判定四邊形包含U點：(xd2-xd1)(y-yd1)(yd2-yd1)(x-xd1)(x-x)(y-y)(y-y)(x-x)d3d2d2d3d2d2 (x-x)(y-y)>(y-y)(x-x)d3d3d4d3d3d4(xd1-xd4)(y-yd4)>(yd1-yd4)(x-xd4)3、運行結(jié)果通過編制2個程序來計算平面鏡的總數(shù)和總功率。程序1運行的結(jié)果是對于燈絲上的不同點（

14、小段），能把其發(fā)出的光線反射到B點或C點的平面鏡總數(shù)，然后程序2按以下思路來計算燈絲的最優(yōu)長度：設(shè)燈絲小段長度取定，燈絲分成m小段（其中m為變量），在理論分析中線光源上點yS的取值范圍已知，且小段長度取定，所以m的最大變化范圍可定，可取比此值更大的值，設(shè)為max。yS從焦點一直取到max，由約束條件IB2，IC1，求出每小段功率的最小取值M，再乘以段數(shù)，得對應(yīng)的總功率。然后將這些總功率和對應(yīng)的段數(shù)寫入文件，通過比較，找出最小總功率，于是找到了與此對應(yīng)的段數(shù)，該段數(shù)乘以小段的長度得燈絲的最優(yōu)長度。結(jié)果：運行程序1、2的結(jié)果是一半燈絲（從焦點開始位于負絲的總長度為3.832mm。 y軸的半根）的長

15、度為1.916mm，即燈三、合理性分析已知拋物面方程為x2+y2=60z，取y=0，則得x2=60z（為一拋物線），焦距p/2=15。在測試屏上選取不同的點Q1，并選取相應(yīng)平行光線QQ1為反射光線（Q為反射點），計算由焦點O所發(fā)出光線在測試屏Q1點上所形成光強的理論值與模擬值，進行比較，來分析以上所提方法與所編程序的合理性。測試屏上光強理論值的計算原理：在旋轉(zhuǎn)拋物面焦點O發(fā)出的光線未觸及拋物面的時候，該點可看作點光源，因此在距離O點的路程為L的空間某點處光強為1/4L（注意，此時光線并未到達拋物面）。光線經(jīng)拋物面反射后變成平行光線，于是此后這條反射光線上各點處的光強是一樣的，而且拋物面上僅存在唯一的一點能把焦點發(fā)出的光線反射到測試屏的指定點，故在測試屏上的光強與該反射點處光強相同。設(shè)O點到此反射點的距離為L1，因而由以上討論可知，測試屏上的光強為1/4L1。測試屏上光強模擬值的計算原理：設(shè)光線到達測試屏所經(jīng)過的路程為L，燈絲上焦點O處的光強