信號與系統 拉普拉斯變換的基本性質

1、信號與系統信號與系統信號與系統信號與系統主要內容線性線性 延時（時域平移）延時（時域平移）尺度變換尺度變換 s域平移域平移原函數積分原函數積分原函數微分原函數微分 對對s域微分域微分 對對s域積分域積分初值初值終值終值時域卷積時域卷積信號與系統信號與系統對下列性質的熟練掌握（數學描述，應用）對下列性質的熟練掌握（數學描述，應用）延時性質延時性質尺度變換尺度變換對時間函數的微分、積分對時間函數的微分、積分初值、終值性質初值、終值性質時域卷積時域卷積信號與系統信號與系統一線性性質一線性性質解：解：例：例：F sF sF ssssssss( )( )( )()()()()121111211212已知

2、已知f tF ss1111( )( )ftF sss22112( )( )()()f tf t12( )( )求求 的拉普拉斯變換的拉普拉斯變換F s ( )說明：說明：前面求正余弦信號的拉普拉斯變換時已經用到了線性性。前面求正余弦信號的拉普拉斯變換時已經用到了線性性。1122121 1221122( )( ), ( )( ),( )( )( )( )f tF sf tF s K KK f tK f tK F sK F sLLL若若 為常數為常數則則信號與系統信號與系統二延時（時域平移）二延時（時域平移）00000() ()() ()edstf tt u ttf tt u tttL00()ed

3、sttf ttt0tt 令令00( )eedstsf 0( )estF s證明：證明：000( )( ) () ()( )estf tF sf tt u ttF sLL若若則則00e( )edstsf 00t 信號與系統信號與系統二延時（時域平移）二延時（時域平移）000000 () () 0()( ) ()() ( )f tt u tttf ttf t u ttf tt u t。，注意：注意：(1)一定是一定是 的形式的信號才能用時移性質的形式的信號才能用時移性質(2)信號一定是右移信號一定是右移(3)表達式表達式 等等 所表示的信號不能用時移性質所表示的信號不能用時移性質信號與系統信號與系

4、統例：例：已知已知01 0 ( )0 t tf t其其余余求求F s ( )()()(0ttututf0( ) ( ) ( ) ()F sf tu tu ttLLL因為因為所以所以解：解：二延時（時域平移）二延時（時域平移）00111(1)ststeesss信號與系統信號與系統解：解：4 4種信號的波形如圖種信號的波形如圖例：例：21020304001 ( ) ( )( )() ( )( )()( )() ()t u tsf tttf ttt u tf ttu ttf tttu tt ，已知單位斜變信號已知單位斜變信號 的拉普拉斯變換為的拉普拉斯變換為求求的拉普拉斯變換的拉普拉斯變換二延時（時

5、域平移）二延時（時域平移）信號與系統信號與系統只有信號只有信號 可以用延時性質可以用延時性質 4( )f t010022111( )stF stttsssL020121( )() ( )( )stF stt u tF ssL040021( )() ()stF stt u ttesL003000000042( )()() ()()1( )ststF stu tttt u ttt u tttstF seessLL二延時（時域平移）二延時（時域平移）信號與系統信號與系統22211( )111ssF ssss( )2cos() ( ),( )4f ttu tF s已已知知求求。解：解：( )2cos

6、cos2sin sin( )cossin( )44f tttu ttt u t例例二延時（時域平移）二延時（時域平移）不能采用時延性質計算不能采用時延性質計算信號與系統信號與系統二延時（時域平移）二延時（時域平移）時移性質的一個重要應用是求時移性質的一個重要應用是求單邊周期信號單邊周期信號的拉普拉斯變換。的拉普拉斯變換。 111( )( ) ( )( ) ( )() ()(2 ) (2 )Tf tft u tf t u tf tT u tTf tT u tT2111101( )( )( )( ) =( )1( ) 1TsTsnTsnTsF sF sF s eF s eF seF se結論：結論

7、：單邊周期信號單邊周期信號的拉普拉斯變換的拉普拉斯變換 等于等于第一周期波形第一周期波形的拉普拉斯變換乘以的拉普拉斯變換乘以 Tse11信號與系統信號與系統的拉普拉斯變換求周期沖激序列)()(tutTTsTTetutttut11)()(1)()()(，所以有它的拉普拉斯變換為，的第一個周期信號為周期沖激序列信號與系統信號與系統求圖所示單邊周期矩形脈沖序列的拉普拉斯變換求圖所示單邊周期矩形脈沖序列的拉普拉斯變換 第一個周期的信號為第一個周期的信號為 )()()(1tututf)1 (1)(1sessF sTssTesesFesF1)1 (11)(1所以所以 信號與系統信號與系統三尺度變換三尺度變

8、換時移和尺度變換都有時移和尺度變換都有: :1() ()( )e 0,0 ()sbasf atb uaatbFaabL0()()edstf atf attLat令令()0( )ed( )saf a()01( )edsaf a1( )sFaa證明證明：( )( )1 ( )( ) () 0f tF ssf atFaaaLL若若則則信號與系統信號與系統四四s 域平移域平移()00( )e( )eed( )ed()ttst s tf tf ttf ttF s L證明：證明：( )( )( )e()tf tF sf tF s LL若若則則0220:cos() ( )s t u ts已已知知L0220

9、ecos() ( )()ts t u ts所所以以00220:esin() ( )()t t u ts同同理理例：例：求求 的拉氏變換的拉氏變換0ecos() ( )t t u t解：解：信號與系統信號與系統五時域微分定理五時域微分定理222d( )d( )(0 )( )(0 )(0 )dd( )(0 )(0 )ftf tsfs sF sfftts F ssffLL11( )0d( )( )(0 )dnnnn rrnrfts F ssft L推廣：推廣：證明：證明：000( )ed( )e( )ed (0 )( )stststf ttf tsf ttfsF s ( )( )d( )( )(0

10、)df tF sf tsF sftLL若若則則信號與系統信號與系統六時域積分定理六時域積分定理證明：證明：00( )d( )d( )dttfff0( )df00( )dedtstft 000e1( )d( )edsttstff ttss 01( )edstf tts01( )dfs( )F ss( )( )f tF sL0( )1( )d( )dtF sf fssL若若則則1、因為第一項與因為第一項與 t 無關，是一個常數。無關，是一個常數。2、如果、如果 f ( t )是一個因果信號，則這一是一個因果信號，則這一 項為項為0信號與系統信號與系統例：例：求圖示信號的拉普拉斯變換求圖示信號的拉普

11、拉斯變換 求導得求導得 11( )( )(2)(2)(2)(4)22f tt u tu ttu tu t d ( )11( )(2)(2)(4)d22f tu tu tu tu tt224221d ( )1 111( )(1)d222ssssf teeeF setsss221211( )( )(1)2sF sF sess所以所以 解：解：六時域積分定理六時域積分定理信號與系統信號與系統若若則則 取正整數取正整數七七s 域微分定理域微分定理d( )( )dF stf ts 常常用用形形式式：L( )( )d( )( )dd( )()( )dnnnf tF sF stf tsF stf tnsLL

12、L證明：證明：對拉普拉斯正變換定義式對拉普拉斯正變換定義式 求導得求導得 00d ( )d( )d() ( )d( )ddststF sf t ett f t ettf tssL即得證。即得證。信號與系統信號與系統七七s 域微分定理域微分定理f tt u t( )()21例例u ts( ) 1解：解：因為因為所以所以22232d1221(1)()()dsst u teessssssestu1) 1(信號與系統信號與系統八八s 域域積分定理積分定理0( )( ) edstF sf tt兩邊對兩邊對 s 積分：積分：0( )d( ) ed dtssFf tt 交換積分次序交換積分次序:0( )ed

13、dtsf tt( )( )( )( )dsf tF sf tFtLL01( )edtsf ttt0( )eds tf ttt證明證明：若若則則信號與系統信號與系統若若 拉氏變換存在，且拉氏變換存在，且九初值定理和終值定理九初值定理和終值定理( )( )( )f tf tF s終值存在的條件終值存在的條件:0lim( )lim( )tsf tsF sd( )( ),( )( )df tf tf tF stL若若 的拉氏變換存在，且的拉氏變換存在，且則則初值定理初值定理( )sF s 的所有的所有極點極點有負實部有負實部終值定理終值定理初值定理應用的條件初值定理應用的條件: f (t)不包含不包含

14、沖激信號沖激信號及其各階導數項及其各階導數項則則0lim( )(0 )lim( )tsf tfsF s信號與系統信號與系統d( )( )(0 )df tsF sftL0d( )eddstf ttt000d( )d( )ededddststf tf ttttt0d( )( )(0 )eddstf tsF sftt00d( )d( )limedlimed0ddststssf tf ttttt由時域微分定理可知由時域微分定理可知0d( )(0 )(0 )eddstf tfftt所以所以九初值定理和終值定理九初值定理和終值定理初值定理證明：初值定理證明：所以所以0lim( )(0 )lim( )tsf

15、 tfsF s信號與系統信號與系統終值定理證明終值定理證明0d( )( )(0 )eddstf tsF sftt000d( )lim( )(0 )limeddstssf tsF sftt(0 )lim( )(0 )lim( )ttff tff t根據初值定理證明時得到的公式根據初值定理證明時得到的公式九初值定理和終值定理九初值定理和終值定理信號與系統信號與系統例：例：確定下列拉普拉斯變換所對應的時域因果信號的初值和終值確定下列拉普拉斯變換所對應的時域因果信號的初值和終值初值初值 終值終值 I sss s( )()22H sss( ) 8101692V ssss( )()2101331)2(2l

16、im)(lim)0(ssssssIiss1)(lim)(0ssIis初值初值 終值終值 0169108lim)(lim)0(2sssssHhss0169108lim)(lim)(200sssssHhss注意應用注意應用終值定理的條件終值定理的條件是滿足的。是滿足的。 解：解：九初值定理和終值定理九初值定理和終值定理信號與系統信號與系統初值初值 2) 1()102(lim)(lim)0(33ssssssVvss( ) s0( )sV sv t因為因為 有兩重極點有兩重極點 ，并不具有負實部，并不具有負實部，因此不能應用終值定理，即因此不能應用終值定理，即 的終值不存在的終值不存在九初值定理和終值定理九初值定理和終值定理例：例：1:( ),(0 )?F sfs已已知知求求0(0 )lim( )lim( )1tsff tsF s解：解： 即單位階躍信即單位階躍信號的初始值為號的初始值為1。信號與系統信號與系統十時域卷積十時域卷積若若 為為因果信號因果信號則則1212( )( )( )( )f tf tF sF sL112212( )( )( )( )(