《數(shù)值分析》課程教學(xué)大綱

1、數(shù)值分析課程教學(xué)大綱適用專業(yè)信息與計(jì)算科學(xué)總學(xué)時(shí)72學(xué)分4、編寫說明（一）本課程的性質(zhì)、地位和作用隨著計(jì)算機(jī)的迅速發(fā)展，在科學(xué)、技術(shù)、工程、生產(chǎn)、醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟(jì)和人文等領(lǐng)域中抽象出來的許多數(shù)學(xué)問題可以應(yīng)用計(jì)算機(jī)計(jì)算、求解，本課程詳細(xì)、系統(tǒng)地介紹了計(jì)算機(jī)中常用的數(shù)值計(jì)算方法及有關(guān)理論。通過學(xué)習(xí)使學(xué)生掌握數(shù)值分析的基本知識(shí)，學(xué)會(huì)使用數(shù)值分析方法解決實(shí)際問題的技能技巧，并為后繼應(yīng)用型課程奠定基礎(chǔ)。本課程是信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)的一門重要的專業(yè)課程。（二）本大綱制定的依據(jù)數(shù)值分析是一門內(nèi)容豐富，研究方法深刻，有自身體系的課程，既有純數(shù)學(xué)高度抽象性與嚴(yán)密科學(xué)性的特點(diǎn)，又有應(yīng)用的廣泛性與實(shí)際實(shí)驗(yàn)的高度技術(shù)性的特點(diǎn)

2、，是一門與計(jì)算機(jī)使用密切結(jié)合的實(shí)用性很強(qiáng)的數(shù)學(xué)課程。因此學(xué)習(xí)本課程時(shí)，要注意掌握方法的基本原理和思想，要注意方法處理的技巧及與計(jì)算機(jī)的結(jié)合，重視誤差分析、收斂性及穩(wěn)定性的基本理論。（三）大綱內(nèi)容選編原則與要求1 .要學(xué)好計(jì)算方法課程必須掌握高數(shù)、線性代數(shù)和算法語言的基本內(nèi)容，還需能熟練應(yīng)用計(jì)算機(jī)。任課教師在講授每章之前，可用少量時(shí)間把涉及到的學(xué)過的內(nèi)容復(fù)習(xí)一下。2 .為掌握好本課內(nèi)容，學(xué)生應(yīng)做一定數(shù)量的理論分析與計(jì)算練習(xí)。3 ,各章的上機(jī)時(shí)間可調(diào)整，也可講完幾章后再上機(jī)，任課教師可靈活掌握。（四）實(shí)踐環(huán)節(jié)1 .實(shí)踐環(huán)節(jié)主要分為習(xí)題課、上機(jī)、問題討論、課后輔導(dǎo)和課后作業(yè)幾部分。其中習(xí)題課12學(xué)時(shí)

3、，上機(jī)16學(xué)時(shí)，問題討論可在輔導(dǎo)課或課后完成，課后輔導(dǎo)每周2學(xué)時(shí)（不占總學(xué)時(shí)）。2 .上機(jī)主要內(nèi)容與要求：插值法、函數(shù)逼近、數(shù)值積分與數(shù)值微分、常微分方程初值問題的數(shù)值解法、方程求根、2學(xué)時(shí)。解線性方程組的直接方法、解線性方程組的迭代法、矩陣的特征值與特征向量計(jì)算。要求把以上章節(jié)學(xué)過的主要算法編程，上機(jī)求解問題，其中每章（五）教學(xué)時(shí)數(shù)分配表早下序號(hào)、教學(xué)、學(xué)時(shí)環(huán)名稱二課堂講授討論實(shí)驗(yàn)其它課程設(shè)計(jì)小計(jì)一緒論22一插值法71212111二函數(shù)逼近與計(jì)算62210四數(shù)值積分與數(shù)值微分71212111五常微分方程數(shù)值解法62210六方程求根426七解線性方程組的直接方法62210八解線性方程組的迭代法

4、3216九矩陣的特征值與特征向量計(jì)算3216總計(jì)44161272（六）考核方法與要求1 .平時(shí)成績：包括作業(yè)、出勤、課堂提問、討論情況及期中成績。2 .試卷成績：期末成績。3 .實(shí)驗(yàn)成績：上機(jī)情況。4 .綜合考核成績：平時(shí)成績*20%+實(shí)驗(yàn)成績*10%+期末成績*70%（七）教材與主要參考書使用教材：數(shù)值分析第三版，李慶揚(yáng)等，清華大學(xué)出版社，1986;主要參考書：1.數(shù)值計(jì)算方法，林成森，科學(xué)出版社，1998;2 .數(shù)值分析，楊大地等，重慶大學(xué)出版社，1998;3 .數(shù)值分析第二版，孫志忠等，東南大學(xué)出版社，2002;4 .數(shù)值分析，王德明等，哈爾濱出版社，2001。二、教學(xué)內(nèi)容綱要第一章緒論

5、一、教學(xué)基本要求1. 掌握誤差的基本概念與數(shù)值運(yùn)算中誤差分析的原則和方法。2. 了解誤差的來源。二、教學(xué)內(nèi)容第一節(jié)數(shù)值分析的對象與特點(diǎn)要點(diǎn)：了解數(shù)值分析的對象與特點(diǎn)。第二節(jié)誤差基礎(chǔ)知識(shí)要點(diǎn)：誤差來源，誤差度量。第三節(jié)誤差分析要點(diǎn)：初等運(yùn)算的誤差估計(jì)，誤差分析的原則和方法。第二章插值法一、教學(xué)基本要求1. 掌握多項(xiàng)式插值公式的存在唯一性條件及其余項(xiàng)表達(dá)式的推導(dǎo)。2. 熟練掌握拉格朗日插值多項(xiàng)式及其基函數(shù)的性質(zhì)。3. 牛頓插值多項(xiàng)式的構(gòu)造方法，掌握差商的計(jì)算過程及有關(guān)性質(zhì)。4. 掌握構(gòu)造埃爾米特插值多項(xiàng)式的基函數(shù)法。5. 了解逐次線性插值與分段低次插值。6. 理解三次樣條函數(shù)及三次樣條插值函數(shù)的定

6、義及其構(gòu)造方法。二、教學(xué)內(nèi)容第一節(jié)引言要點(diǎn)：插值的基本概念。第二節(jié)拉格朗日插值要點(diǎn)：插值多項(xiàng)式的唯一性，。拉格朗日插值公式，插值余項(xiàng)。第三節(jié)逐次線性插值法要點(diǎn)：逐次線性插值。第四節(jié)均差與牛頓插值公式要點(diǎn)：均差，牛頓插值公式。第五節(jié)埃爾米特插值要點(diǎn)：埃爾米特插值第六節(jié)分段低次插值要點(diǎn)：分段線性插值，分段埃爾米特插值。第七節(jié)三次樣條插值要點(diǎn)：三次樣條函數(shù)，三轉(zhuǎn)角方程，三彎矩方程。第三章函數(shù)逼近與計(jì)算一、教學(xué)基本要求1. 理解最佳一致逼近與最佳平方逼近的概念。2. 會(huì)用切比雪夫定理構(gòu)造最佳逼近函數(shù)。3. 能正確應(yīng)用法方程組，獲得最佳平方逼近函數(shù)。4. 掌握曲線擬合的最小二乘方法，并能用該方法解決一些

7、實(shí)際問題，如曲線擬合，解矛盾方程等。5. 熟知正交多項(xiàng)式的有關(guān)性質(zhì)，能用正交多項(xiàng)式獲得最佳平方逼近多項(xiàng)式及最佳一致逼近多項(xiàng)式。二、教學(xué)內(nèi)容第一節(jié)引言與預(yù)備知識(shí)要點(diǎn)：最佳一致逼近與最佳平方逼近的概念。第二節(jié)最佳一致逼近多項(xiàng)式要點(diǎn)：最佳一致逼近多項(xiàng)式的定義，切比雪夫定理，最佳一次逼近多項(xiàng)式。第三節(jié)最佳平方逼近要點(diǎn)：內(nèi)積空間，最佳平方逼近多項(xiàng)式。第四節(jié)正交多項(xiàng)式要點(diǎn)：。勒讓德多項(xiàng)式，切比雪夫多項(xiàng)式。第五節(jié)函數(shù)按正交多項(xiàng)式展開要點(diǎn)：函數(shù)按正交多項(xiàng)式展開。第六節(jié)曲線擬合的最小二乘方法要點(diǎn)：一般的最小二乘逼近，用正交函數(shù)作最小二乘擬合。第四章數(shù)值積分與數(shù)值微分一、教學(xué)基本要求1. 掌握數(shù)值積分的基本思想，

8、各類求積公式的構(gòu)造方法。2. 理解代數(shù)精度的概念及插值型求積公式的概念。3. 掌握牛頓柯特斯公式，了解其與高斯公式的異同。4. 會(huì)利用外推原理提高計(jì)算精度。5. 會(huì)利用待定系數(shù)法、正交多項(xiàng)式構(gòu)造高斯公式。6. 會(huì)利用插值法構(gòu)造數(shù)值微分公式。二、教學(xué)內(nèi)容第一節(jié)引言要點(diǎn)：數(shù)值積分的基本思想，代數(shù)精度、插值型求積公式的概念。第二節(jié)牛頓柯特斯公式要點(diǎn)：柯特斯系數(shù)，偶階求積公式的代數(shù)精度，幾種低階求積公式的余項(xiàng)，復(fù)化求積法及其收斂性。第三節(jié)龍貝格算法要點(diǎn)：梯形法的遞推化，龍貝格公式，。龍貝格算法。第四節(jié)高斯公式要點(diǎn)：高斯點(diǎn)，高斯一勒讓德多項(xiàng)式，高斯一切比雪夫多項(xiàng)式。第五節(jié)數(shù)值微分要點(diǎn)：中點(diǎn)方法，插值法型

9、的求導(dǎo)公式。第五章常微分方程數(shù)值解法一、教學(xué)基本要求1 了解常微分方程數(shù)值解法的研究內(nèi)容，掌握構(gòu)成方法的基本思想及其各方法的異同點(diǎn)。2 掌握尤拉法、改進(jìn)的尤拉法、隱式尤拉法和梯形方法的基本公式和構(gòu)造。3 掌握龍格-庫塔方法的基本思想，會(huì)進(jìn)行二階龍格-庫塔方法的推導(dǎo)，能用四階經(jīng)典龍格-庫塔公式求解微分方程。4 會(huì)求單步法的局部截?cái)嗾`差及方法的階。5 了解單步法的收斂性與穩(wěn)定性。6 了解線性多步法構(gòu)造方法。二、教學(xué)內(nèi)容第一節(jié)尤拉方法要點(diǎn)：尤拉公式，后退的尤拉公式，梯形公式，改進(jìn)的尤拉公式。第二節(jié)龍格-庫塔方法要點(diǎn)：。泰勒級(jí)數(shù)法，龍格-庫塔方法的基本思想，二階龍格-庫塔方法，四階經(jīng)典龍格-庫塔公式。

10、第三節(jié)單步法的收斂性和穩(wěn)定性要點(diǎn)：單步法的收斂性與穩(wěn)定性。第四節(jié)線性多步法要點(diǎn)：基于數(shù)值積分的構(gòu)造方法，基于泰勒展開的構(gòu)造方法。第六章方程求根一、教學(xué)基本要求1. 掌握用迭代法求方程近似根的基本思想；理解迭代過程的全局、局部收斂性定理并會(huì)判斷迭代過程的收斂階。2. 二分法是求方程實(shí)根的一種大范圍收斂的方法。若給定近似解的誤差和二分區(qū)間，能預(yù)估二分次數(shù)。3. 理解牛頓迭代公式是如何推導(dǎo)的，會(huì)用牛頓法求方程的近似根。4. 了解弦截法與拋物線法。二、教學(xué)內(nèi)容第一節(jié)根的搜索法要點(diǎn)：逐步搜索法，二分法。第二節(jié)迭代法要點(diǎn)：迭代過程的收斂性，迭代公式的加工。第三節(jié)牛頓法要點(diǎn)：牛頓公式，牛頓法的局部收斂性，牛

11、頓法應(yīng)用舉例。第四節(jié)弦截法與拋物線法要點(diǎn)：弦截法，拋物線法。第七章解線性方程組的直接方法一、教學(xué)基本要求1. 對每一個(gè)方法，應(yīng)弄清楚它的基本思想，適用范圍，計(jì)算公式以及對于誤差的估計(jì)。2. 掌握高斯消去法及高斯列主元消去法，能用這兩種方法求解方程組及計(jì)算矩陣的行列式。3. 掌握杜利特爾分解法的唯一可分的充分條件，分解形式，計(jì)算次序和算法的穩(wěn)定性。4. 掌握對稱正定矩陣的三角分解的分解形式，計(jì)算次序和算法的穩(wěn)定性。5. 會(huì)應(yīng)用改進(jìn)的平方根法與追趕法。6. 掌握向量、矩陣范數(shù)和矩陣的條件數(shù)的定義，了解它們的性質(zhì)，能利用條件數(shù)判別方程組是否病態(tài)以及對方程組的直接方法的誤差進(jìn)行估計(jì)。二、教學(xué)內(nèi)容第一節(jié)

12、高斯消去法要點(diǎn)：高斯消去法，矩陣的三角分解，計(jì)算量。第二節(jié)高斯主元素消去法要點(diǎn)：高斯完全主元消去法，高斯列主元消去法，高斯-若當(dāng)消去法。第三節(jié)高斯消去法的變形要點(diǎn)：杜利特爾分解，平方根法，改進(jìn)的平方根法，追趕法。第四節(jié)向量和矩陣的范數(shù)要點(diǎn)：向量范數(shù)，矩陣范數(shù)。第五節(jié)誤差分析要點(diǎn)：方程組的性態(tài)，條件數(shù)。第八章解線性方程組的迭代法一、教學(xué)基本要求1. 掌握雅可比迭代法和高斯-塞德爾迭代法的計(jì)算分量形式、矩陣形式和它們的迭代矩陣表示式。2. 會(huì)應(yīng)用超松弛迭代法解線性方程組。3. 理解迭代法收斂的充要條件，會(huì)用迭代陣的譜半徑判明迭代法的收斂性。4. 能用迭代陣的范數(shù)判別迭代法的收斂性。5. 會(huì)根據(jù)方程組系數(shù)矩陣的嚴(yán)格對角優(yōu)勢性，判明雅可比迭代和高斯-塞德爾迭代對任意初始向量的收斂性。6. 掌握方程組的系數(shù)矩陣是對稱正定陣時(shí)，高斯-塞德爾迭代法及松弛因子滿足必要條件的超松弛迭代法對任意初始向量均收斂的結(jié)論。二、教學(xué)內(nèi)容第一節(jié)迭代法的一般形式要點(diǎn)：迭代法的一般形式第二節(jié)幾種常用的迭代法要點(diǎn)：雅可比迭代法，高斯-塞德爾迭代法，超松弛迭代法。第三節(jié)迭代法的收斂條件要點(diǎn)：迭代法的收斂條件，從系數(shù)矩陣判斷的收斂條件第九章矩陣的特征值與特征向量計(jì)算一、教學(xué)基本要求1. 掌握冪法與反冪法。2