反思在數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的全過(guò)程中

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上反思在數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的全過(guò)程中沈 超 （紹興文理學(xué)院上虞分院） 數(shù)學(xué)反思是指對(duì)曾經(jīng)在數(shù)學(xué)思維活動(dòng)中出現(xiàn)的數(shù)學(xué)問(wèn)題、解決問(wèn)題的方法和問(wèn)題的結(jié)論不斷思考的心理活動(dòng)。數(shù)學(xué)反思過(guò)程不僅僅是對(duì)解題結(jié)果的回顧，更包括對(duì)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題全程的監(jiān)控、修正和評(píng)價(jià)。所以，數(shù)學(xué)反思既表現(xiàn)為對(duì)已有解決問(wèn)題的過(guò)程和結(jié)論的提煉、挑剔和批判，又表現(xiàn)為對(duì)尚未解決的問(wèn)題的上下求索。另一方面，數(shù)學(xué)“問(wèn)題解決”恰恰不是以簡(jiǎn)單地尋求問(wèn)題的答案為目的，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷收集數(shù)學(xué)信息、明確問(wèn)題、探求解決途徑、建立數(shù)學(xué)模型、獲得合理結(jié)果、形成恰當(dāng)?shù)谋磉_(dá)方式以及提煉數(shù)學(xué)思想方法并作推延等等是解決問(wèn)題的完整過(guò)程，這是兒童學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)

2、的有效方式。由于數(shù)學(xué)反思意識(shí)的本質(zhì)是一種數(shù)學(xué)問(wèn)題意識(shí)，數(shù)學(xué)反思能力又以解決數(shù)學(xué)問(wèn)題能力來(lái)表現(xiàn)。因而，通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)“問(wèn)題解決”過(guò)程和反思對(duì)象的比較就不難發(fā)現(xiàn)，以“問(wèn)題解決”教學(xué)為載體，是培養(yǎng)學(xué)生全面的數(shù)學(xué)反思能力的最佳途徑。一、在問(wèn)題的感知和理解處梳理以數(shù)學(xué)“問(wèn)題解決”模式處理數(shù)學(xué)問(wèn)題，首先是感知和理解數(shù)學(xué)問(wèn)題，即明確問(wèn)題所提供的條件信息和目標(biāo)信息，并建立問(wèn)題表象。數(shù)學(xué)問(wèn)題的呈現(xiàn)方式可能是文字的，也可能是畫(huà)面或其他形式的，其中的數(shù)量信息通常隱藏在所提供的背景中。學(xué)生需要明確問(wèn)題中有哪些可供利用的信息，即明確問(wèn)題的初始狀態(tài)；再進(jìn)一步明確要解決什么問(wèn)題，即所要達(dá)到的目標(biāo)狀態(tài)。小學(xué)生在這一過(guò)程中往往感知

3、不精細(xì)，容易被非本質(zhì)信息干擾，甚至以個(gè)別字、詞決定解決方法，從而遭遇解決障礙甚至得出錯(cuò)誤結(jié)論。數(shù)學(xué)反思是對(duì)數(shù)學(xué)思維過(guò)程的監(jiān)控。在解決問(wèn)題的第一階段，反思的主要功能是梳理感知過(guò)的材料：一是梳理已知和未知數(shù)量信息，判斷哪些是有用的，哪些是干擾信息，哪些還隱藏著。二是梳理這些信息能否以更簡(jiǎn)潔的方式表征。如，能否用直觀(guān)手段反映數(shù)量間關(guān)系，是否可通過(guò)改變信息出現(xiàn)順序使信息間關(guān)系更清晰，進(jìn)而判斷是否還缺少或多余了信息。三是梳理信息之間的聯(lián)結(jié)方式，尤其是維系初始狀態(tài)與目標(biāo)狀態(tài)的關(guān)系。經(jīng)過(guò)這樣的反思性梳理，不僅對(duì)問(wèn)題的理解更全面、準(zhǔn)確，還能避免“以詞定法”所帶來(lái)的失誤。二、在思路的探求和確定中監(jiān)控獲得解決問(wèn)題

4、的思路是“問(wèn)題解決”的核心環(huán)節(jié)，通常需要學(xué)生經(jīng)過(guò)觀(guān)察、操作、猜想、嘗試、解釋以及合作交流等數(shù)學(xué)活動(dòng)來(lái)實(shí)現(xiàn)。這一環(huán)節(jié)一般包括問(wèn)題類(lèi)化、尋找解決問(wèn)題的突破口和確定解決步驟三方面。問(wèn)題類(lèi)化是要把獲得的問(wèn)題信息與個(gè)體原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法聯(lián)系起來(lái)，并重新組合成解決問(wèn)題的新方法?！皢?wèn)題類(lèi)化”過(guò)程中思維的監(jiān)控主要包括：我以前見(jiàn)過(guò)這種問(wèn)題嗎？是不是形式不同？是否熟悉與此有關(guān)的問(wèn)題？是否有一個(gè)可能用得上的方法或結(jié)論？能利用它嗎？這是一個(gè)全新的問(wèn)題嗎？還要作哪些準(zhǔn)備？等等。這樣的反思性監(jiān)控能有效避免隨意或機(jī)械套用公式與方法。尋找解決問(wèn)題的突破口包含二方面的任務(wù)：一是抓住問(wèn)題解決的關(guān)鍵，找到解決問(wèn)題的主

5、攻方向；二是明確從什么地方入手去解決，即確定思維起點(diǎn)。由于思考問(wèn)題的角度不同，尋找突破口的方式、效率甚至結(jié)果各異。突破口的確定或許是推理的結(jié)果，或許是頓悟的靈感。這階段的反思對(duì)提高思維效率、及時(shí)扭轉(zhuǎn)錯(cuò)誤方向、獲得合理的結(jié)果有時(shí)是決定性的。這時(shí)的反思表現(xiàn)為經(jīng)常作自我提問(wèn)，如：此問(wèn)題與類(lèi)似問(wèn)題目標(biāo)的差別在哪里？是由于已知信息的不同還是信息間聯(lián)系方式的區(qū)別還是解決策略不能套用？此方法(突破口)是否可行？換個(gè)角度想一想？確定解決步驟指擬定解決問(wèn)題的具體操作程序或建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。從思維過(guò)程看，主要是在已確定的思維起點(diǎn)基礎(chǔ)上進(jìn)一步確定整個(gè)解決過(guò)程應(yīng)沿什么方向思考下去，以保證思維沿目標(biāo)信息的方向順利進(jìn)行

6、。這里的反思包括：我是否利用了所有已知數(shù)量？是否利用了整體條件？是否考慮了包含在問(wèn)題中的所有必要的概念？已知到未知的聯(lián)系是否順暢?如何調(diào)節(jié)？等等。三、在方案的實(shí)施和矯正上審視解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的方案初步確定后，實(shí)施過(guò)程中審視方案的合理性、可行性，以及對(duì)方案執(zhí)行的正確與否、是否需要修正等等思維過(guò)程，反思的作用仍不容忽視。因?yàn)楫?dāng)學(xué)生認(rèn)為已經(jīng)有了解決問(wèn)題的思路后，通常就會(huì)放松“警覺(jué)性”，進(jìn)而是機(jī)械地套用一種模式的過(guò)程。其實(shí)，執(zhí)行方案的過(guò)程仍然需要理性地思維。一方面，可能在方案執(zhí)行過(guò)程中發(fā)現(xiàn)新的因素需要矯正原有思路，甚至可能遇到新的困難對(duì)原方案推翻而重新設(shè)計(jì)；也可能受某種啟發(fā)而跳過(guò)原先設(shè)計(jì)的程度，一下子獲得

7、部分甚至全部答案等等。另一方面，在方案執(zhí)行中，小學(xué)生很容易在數(shù)據(jù)使用、計(jì)算和單位換算等方面出現(xiàn)錯(cuò)誤。這時(shí)的反思就表現(xiàn)為修正方案、矯正策略的意識(shí)和能力；還表現(xiàn)為對(duì)一些實(shí)施細(xì)節(jié)的調(diào)控與回顧。如：我的每一步都正確無(wú)誤嗎？每一步是否都是必要的？是否可以更簡(jiǎn)潔一些？有沒(méi)有寫(xiě)錯(cuò)和算錯(cuò)？例如，在解決“某校五年級(jí)有三個(gè)班，其中一班二班平均55人，二班三班平均53人，三班一班平均54人，三個(gè)班各多少人？”這一問(wèn)題時(shí)，有學(xué)生依據(jù)“平均數(shù)”的條件和常規(guī)的思路獲得解題的方案：先求出三個(gè)平均數(shù)的2倍，然后求和，可求出三個(gè)班人數(shù)的二倍（552+532+542=324）；進(jìn)而可求出三個(gè)班的總?cè)藬?shù)(3242=162)；又根據(jù)

8、第一個(gè)條件，可求出一班二班的總?cè)藬?shù)（552=110）；最后作差可求出三班的人數(shù)（162-110=52）。于是，其余二個(gè)班的人數(shù)就不難求得（一班：542-52=56；二班：162-52-56=54）。在方案的執(zhí)行過(guò)程中，教師引導(dǎo)學(xué)生在理解這位同學(xué)求解方案的基礎(chǔ)上，要求對(duì)方案作反思性審視。有學(xué)生發(fā)現(xiàn)，“55人”是一班和二班各一半人數(shù)的總和，因而，只要將三個(gè)已知數(shù)加起來(lái)恰好就是三個(gè)班的總?cè)藬?shù)（55+53+54=162），這就可以使原方案中前兩步簡(jiǎn)縮成一步簡(jiǎn)單的加法。進(jìn)而又有學(xué)生發(fā)現(xiàn)，只要將前兩個(gè)數(shù)加起來(lái)，和就是二班的人數(shù)與一班、三班各一半人數(shù)的總和，再減去第三個(gè)數(shù)就是二班的人數(shù)（55+53-54=5

9、4），解題變得非常簡(jiǎn)單。這里，反思對(duì)修正解決問(wèn)題的方案起了決定作用。四、在結(jié)果的表達(dá)和推延時(shí)剖析學(xué)生經(jīng)過(guò)復(fù)雜的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)，已初步獲得問(wèn)題的答案。如何將結(jié)果“數(shù)學(xué)”地呈現(xiàn)出來(lái)，使得既體現(xiàn)數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美、嚴(yán)謹(jǐn)美，又從數(shù)學(xué)思想方法的高度抽象概括，這反映個(gè)體形式化的表征能力。這時(shí)的反思表現(xiàn)為對(duì)結(jié)果的剖析。如：結(jié)果合乎邏輯嗎？結(jié)果是否符合現(xiàn)實(shí)情景？對(duì)問(wèn)題目標(biāo)的解釋是否合理、科學(xué)、準(zhǔn)確？是否還有其他結(jié)論？這樣的表述嚴(yán)格嗎？別人能否理解？是否需要圖畫(huà)、表格或?qū)嵨锏茸髦庇^(guān)性輔助？學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的較高境界是解決過(guò)程或結(jié)果具有一般數(shù)學(xué)思想方法或方法論意義上的提升，即能夠舉一反三、能推延到更廣泛的應(yīng)用。這種應(yīng)用包

10、括模仿水平的，也包括拓展推廣。推廣既可以是情景的推廣，也可以是解決策略、思路尋求方式等方面的推廣。而反思參與問(wèn)題結(jié)論的呈現(xiàn)與類(lèi)化的剖析，不僅有助于形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，也有助于上述目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)。這時(shí)的反思通常表現(xiàn)為：這個(gè)結(jié)果是否可以更一般化？解決問(wèn)題的方式還適用于哪些問(wèn)題？有什么啟發(fā)？結(jié)論是否可以分類(lèi)？它與以前學(xué)過(guò)的哪些知識(shí)有聯(lián)系？五、在群體的交流和評(píng)價(jià)間回顧兒童在成功解決了一個(gè)新問(wèn)題后往往有一種興奮感和成就感，但同時(shí)伴隨的是到此為止、無(wú)心戀戰(zhàn)的心理，也有的被勝利沖昏頭腦，不愿再冷靜思考。然而，“問(wèn)題解決”教學(xué)并非以獲得正確“答案”為唯一目標(biāo)。這時(shí)是全面反思的最佳時(shí)機(jī)。建立在個(gè)體經(jīng)驗(yàn)背景下的問(wèn)題理

11、解方式會(huì)相對(duì)狹窄、有限，同伴間的交流使思維活動(dòng)顯性化，思維空間更廣闊，思維過(guò)程更清晰；同伴間的評(píng)價(jià)能集思廣益、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、比較優(yōu)劣，會(huì)對(duì)問(wèn)題的理解更深刻。這使個(gè)體的認(rèn)知結(jié)構(gòu)得到優(yōu)化。獲得問(wèn)題答案后的群體交流與評(píng)價(jià)，學(xué)生不僅敘說(shuō)自己的方法與結(jié)果，還要用自己的觀(guān)點(diǎn)去說(shuō)服別人；在接受別人觀(guān)點(diǎn)時(shí)產(chǎn)生疑問(wèn)、提出質(zhì)疑，從而產(chǎn)生創(chuàng)新的火花，豐富數(shù)學(xué)素質(zhì)。這一環(huán)節(jié)的反思既是對(duì)解決問(wèn)題全過(guò)程的回顧：該問(wèn)題是在什么背景下提出的？為解決這個(gè)問(wèn)題采取了何種策略？尋找到哪幾種解決思路，最終是用什么方法解決的，依據(jù)是什么？解決過(guò)程是否合理，結(jié)果是否正確，是否還有更好的解決方案？從解決的方法或結(jié)果中又聯(lián)想到什么？這一階段的反思又是一種比較：別人的方法我想到了嗎？為什么沒(méi)有想到？我的方法比他的好還是差？為什么？這時(shí)的反思還表現(xiàn)為評(píng)價(jià)，既包括對(duì)解決問(wèn)題過(guò)程的自我審視，進(jìn)行自我批評(píng)與分析，也包括對(duì)他人的評(píng)價(jià)。在評(píng)價(jià)中學(xué)會(huì)傾聽(tīng)、學(xué)會(huì)交流、學(xué)會(huì)以欣賞和批判的眼光剖析自己和他人，樹(shù)立實(shí)事求是、嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)的態(tài)度。這不僅提高解決問(wèn)題的能力，也提高反思能力。兒童的數(shù)學(xué)反思能力不是天生的，而是需要教師引導(dǎo)、示范和有意識(shí)培養(yǎng)的