一次函數(shù)一次方程和一元一次不等式基礎(chǔ)知識(shí)講解

1、一次函數(shù)、一次方程和一元一次不等式（基礎(chǔ)）責(zé)編：杜少波【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1能用函數(shù)的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)一次函數(shù)、一次方程及一元一次不等式之間的聯(lián)系，能直觀地用圖形（在平面直角坐標(biāo)系中）來表示方程的解和不等式的解，建立數(shù)形結(jié)合的思想和轉(zhuǎn)化的思想2能運(yùn)用一次函數(shù)的性質(zhì)解決簡單的不等式問題和實(shí)際問題【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、一次函數(shù)及一元一次方程 一次函數(shù)（0，為常數(shù)）.當(dāng)函數(shù)0時(shí)，就得到了一元一次方程，此時(shí)自變量的值就是方程0的解.所以解一元一次方程就可以轉(zhuǎn)化為：當(dāng)某一個(gè)一次函數(shù)的值為0時(shí)，求相應(yīng)的自變量的值.從圖象上看，這相當(dāng)于已知直線（0，為常數(shù)），確定它及軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值.要點(diǎn)二、一次函數(shù)及一元一次不等式由于任

2、何一個(gè)一元一次不等式都可以轉(zhuǎn)化為0或0或0或0（、為常數(shù)，0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：當(dāng)一次函數(shù)的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）時(shí)求相應(yīng)的自變量的取值范圍. 要點(diǎn)詮釋：求關(guān)于的一元一次不等式0（0）的解集，從“數(shù)”的角度看，就是為何值時(shí)，函數(shù)的值大于0？從“形”的角度看，確定直線在軸（即直線0）上方部分的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)的范圍.要點(diǎn)三、一元一次方程及一元一次不等式我們已經(jīng)學(xué)過，利用不等式的性質(zhì)可以解得一個(gè)一元一次不等式的解集，這個(gè)不等式的解集的端點(diǎn)值就是我們把不等式中的不等號(hào)變?yōu)榈忍?hào)時(shí)對(duì)應(yīng)方程的解.要點(diǎn)四、如何確定兩個(gè)不等式的大小關(guān)系（，且）的解集的函數(shù)值大于的函數(shù)值

3、時(shí)的自變量取值范圍直線在直線的上方對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)范圍【典型例題】類型一、一次函數(shù)及一元一次方程1、若直線及軸交于（5，0）點(diǎn)，那么關(guān)于的方程的解為_.【答案】【解析】0的解是直線及軸交點(diǎn)橫坐標(biāo).【總結(jié)升華】當(dāng)函數(shù)時(shí)，就得到了一元一次方程0，此時(shí)自變量的值就是方程0的解.舉一反三：【變式1】如圖，已知直線，則關(guān)于的方程的解_.【答案】4；提示：根據(jù)圖形知，當(dāng)1時(shí)，4，即時(shí)，4方程 的解4【變式2】如圖，直線分別交軸和軸于點(diǎn)A、B，則關(guān)于的方程0的解為_.【答案】；提示：方程0的解其實(shí)就是當(dāng)時(shí)一次函數(shù)及軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)由圖知：直線及軸交于點(diǎn)（2，0），即當(dāng)2時(shí)，0.類型二、一次函數(shù)及一元一次不等式

4、2、（2015樂山模擬）如圖，直線y=kx+b交坐標(biāo)軸于A（3，0）、B（0，1）兩點(diǎn)，則不等式kxb0的解集為（）Ax3 Bx3 Cx3 Dx3【思路點(diǎn)撥】求kxb0的解集，即為kx+b0，就是求函數(shù)值大于0時(shí)，x的取值范圍【答案】A；【解析】解：要求kxb0的解集，即為求kx+b0的解集，從圖象上可以看出等y0時(shí)，x3故選：A【總結(jié)升華】本題考查了一次函數(shù)及不等式的關(guān)系和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用解決此類問題關(guān)鍵是仔細(xì)觀察圖形，注意幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)（交點(diǎn)、原點(diǎn)等），做到數(shù)形結(jié)合舉一反三：【高清課堂：393614 一次函數(shù)及一元一次不等式，例2】【變式】如圖，直線及坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A（2，0）和B（

5、0，3），則不等式30的解集是（）A0 B0 C2 D2【答案】A；提示：從圖象上知，直線的函數(shù)值隨的增大而增大，及軸的交點(diǎn)為B（0，3），即當(dāng)0時(shí)，3，所以當(dāng)0時(shí)，函數(shù)值33、直線及直線在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象如圖所示，則關(guān)于的不等式的解為（ ）A B C D無法確定【答案】B；【解析】從圖象上看的解，就是找到在的上方的部分圖象，看這部分圖象自變量的取值范圍.當(dāng)時(shí)，故選B.【總結(jié)升華】本題考察了用數(shù)形結(jié)合的方法求解不等式的大小關(guān)系，解題的關(guān)鍵是找出表示兩條直線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再根據(jù)在上方的圖象表示的函數(shù)值大，下方的圖象表示的函數(shù)值小來解題.舉一反三：【變式】直線：及直線：在同一平面直角坐

6、標(biāo)系中的圖象如圖所示，則關(guān)于的不等式的解集為（）A1 B1 C2 D2【答案】B；提示：及直線：在同一平面直角坐標(biāo)系中的交點(diǎn)是（1，2），根據(jù)圖象得到1時(shí)不等式成立4、畫出函數(shù)的圖象，并利用圖象求： (1)方程210的解； (2)不等式210的解集； (3)當(dāng)3時(shí)，的取值范圍； (4)當(dāng)33時(shí)，的取值范圍【思路點(diǎn)撥】可用兩點(diǎn)法先畫出函數(shù)的圖象，方程210的解從“數(shù)”看就是自變量取何值時(shí)，函數(shù)值是0，從“形”看方程210的解就相當(dāng)于確定直線及軸的交點(diǎn)，故圖象及軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程210的解同理：圖象在軸上方所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)的集合就構(gòu)成不等式210的解集【答案及解析】解：列表：010在坐標(biāo)系內(nèi)描點(diǎn)

7、(0，1)和，并過這兩點(diǎn)畫直線，即得函數(shù)的圖象如圖所示(1)由圖象可知：直線及x軸交點(diǎn)， 方程210的解為；(2)由圖象可知：直線被軸在點(diǎn)分成兩部分，在點(diǎn)右側(cè)，圖象在軸的上方故不等式210的解集為；(3)過點(diǎn)(0，3)作平行于軸的直線交直線于點(diǎn)M，過M點(diǎn)作軸的垂線，垂足為N則N點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)；從圖象上觀察，在點(diǎn)(1，0)的左側(cè)，函數(shù)值3，則當(dāng)3時(shí)，自變量的取值范圍是1；(4)過(0，3)作軸的平行線交直線于點(diǎn)P，過P作軸的垂線，垂足為H，則點(diǎn)H的坐標(biāo)為(2，0)觀察圖象，在(2，0)的右側(cè)，在(1，0)的左側(cè)，函數(shù)值33 當(dāng)33時(shí)，自變量的取值范圍是21【總結(jié)升華】仔細(xì)體會(huì)一次函數(shù)及一元一

8、次方程和一元一次不等式之間的內(nèi)在聯(lián)系： (1)一元一次方程(是已知數(shù))的解就是直線上這點(diǎn)的橫坐標(biāo)；(2)一元一次不等式(，是已知數(shù)，且)的解集就是直線上滿足那條線段所對(duì)應(yīng)的自變量的取值范圍；(3)一元一次不等式(或)(是已知數(shù))的解集就是直線上滿足(或)那條射線所對(duì)應(yīng)的自變量的取值范圍.舉一反三：【變式】（2015秋蒙城縣校級(jí)月考）畫出函數(shù)y=2x+6的圖象，利用圖象：（1）求方程2x+6=0的解；（2）求不等式2x+60的解；（3）若2y2，求x的取值范圍【答案】解：圖象為：（1）觀察圖象知：該函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)（3，0），故方程2x+6=0的解為x=3；（2）觀察圖象知：當(dāng)x3時(shí)，y0，故不等式2x+60的解為x3；（3）當(dāng)2y2時(shí)，4x2類型三、用一次函數(shù)的性質(zhì)解決不等式的實(shí)際問題5、（1）如圖，是函數(shù)的圖象，它及軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（3，0），則方程0的解是_；不等式0的解集是_.（2）如圖：OC，AB分別表示甲、乙兩人在一次賽跑中各自的路程S（米）和時(shí)間t（秒）的函數(shù)圖象，根據(jù)圖象寫出一個(gè)正確的結(jié)論_.【答案】（1）；（2）根據(jù)圖象的性質(zhì)可以得到，兩個(gè)兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)意義是當(dāng)9秒時(shí)，兩個(gè)人跑的路程相等，即兩個(gè)人相遇；或者從圖象上看出乙的速度比甲的速度快乙的速度比甲的速度快；（答案不唯一）【解析】（1）從圖象上得到函數(shù)的增減性和及軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即能求得方程0的