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1、、設(shè)計(jì)優(yōu)化類試題(幾何背景型試題)【問題一】某小區(qū)有一塊直角三角形的綠地,量得兩直角邊AC=3米,BC=4米,考慮到這塊綠地周圍還有不少空余部分,于是打算將這塊綠地?cái)U(kuò)充成等腰三角形,且擴(kuò)充部分是以BC邊為一直角邊的直角三角形,求擴(kuò)充后得到的等腰三角形綠地的周長和面積,并判斷哪種方案得到的等腰三角形面積最大或最?。ó嫵鏊锌赡艿那樾危﹩栴}一答案:方案(1)方案(2)方案(3)解:當(dāng)BD二BA時解:當(dāng) AB 二 AD時解:當(dāng)DB = DA時c bad =5 5 6 =16S bad = 2 6 4 =12C bad =5 5 2,5 =10 2,5S.bad =2 5 4 =10x2 _(x_3)
2、2 =42 =25x =6C . BADS BAD1 25 4= 252 63由上面的解答過程可知:方案(1)得到的等腰三角形面積最大方案(3)得到的等腰三角形面積最小【問題二】如圖,要在一塊形狀為直角三角形的鐵皮上裁出 圓形鐵皮的直徑在直角三角形的邊上每 面積盡可能的大個半圓形的鐵皮,要求:半種裁剪的方案都要使剪下來的半圓形鐵皮的(1)請你用直尺和圓規(guī)作出該半圓;(要求保留作圖痕跡,不要求寫作法)(2 )若BC=4m AC=3m求(1)中所畫半 圓的半徑,并判斷哪一種裁剪方案剪 下來的半圓形鐵皮面積最大 問題二答案:方案(1)方案(3)解:連結(jié)0D,設(shè)L 0的 半徑 OD=r 則 A0=3-
3、r 由 ADOs ACB得OD = AO _ r _ 3 r CB AB 一 454=r3解:連結(jié)OD,設(shè)L O的 半徑 OD_r 則 BO_4-r 由 BDOs:BCA 得OD _ BO _ r _ 4 r CA _ AB_ 3_ 53=r :2解:連結(jié)OD,設(shè)LI O的 半徑 OD_r 則 AD_3-r 由.ADO s.:ACB得OD _ AD _ r _ 3-rCB _4_12=r :7-1234* > >723方案(3)剪下來的半圓形鐵皮面積最大【問題三】已知:直角三角形的鐵片ABC的兩條直角邊 BC AC的長分別為6cm和8cm,如圖所示,分別采用(1)( 2)兩種方法,
4、加工出一塊正方形鐵片,為使加工出的正方形面積 最大,試比較哪種加工方法較為合理,并說明理由【變式】已知:直角三角形的鐵片 ABC的兩條直角邊BC AC的長分別為6cm和8cm,如圖 所示,分別采用(3)( 4)兩種方法,剪下邊長為1cm的正方形鐵片,為使剪下的正方形鐵片塊數(shù)最多,試比較哪種剪法較為合理,并說明理由。£coA解:按照方案(1)加工出正方形CDEF,設(shè)正方形的邊DE二X,則AD =8-x由AD"心尋DI4CY4814240-70解:按照方案(2)加工岀正方形8-x8CDEF ,24設(shè)正方形的邊 DE =y,則MN =y,CM =y5 由相似三角形對應(yīng)邊上的高之比
5、等于相似比得DEABCM yJ =CN i 10 -24T T2405= y =24745*, 2402407074方案()的加工方法較為合理變式答案:解:按照方案(3)剪,由.AM Ms acB得 AMlACM1N1BC7 M1N18 " 6(4J 21 = MiNi =2=-第1層可以剪得5個小正方形4同理:M2N2=9=第2層可以剪得4個小正方形2M3N3 =2二.第3層可以剪得3個小正方形4 'M4N4 =3二.第4層可以剪得3個小正方形M5N5 =-=第5層可以剪得2個小正方形4MgNg =3=第6層可以剪得1個小正方形2.按照方案(3)共可以剪得18個小正方形解:按照方案(4)剪,由相似三角形對應(yīng)邊上的高之比等于相似比= E1F1二-5第1層可以剪得7個小正方形 12同理:e2F2 J5=第2層可以剪得5個小正方形6E3F
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