立體幾何基礎(chǔ)題題庫(240道附詳細(xì)解析)

1、立體幾何基礎(chǔ)題題庫（240道附詳細(xì)解析）361.有一個三棱錐和一個四棱錐，棱長都相等，將它們一個側(cè)面重疊后，還有幾個暴露面？解析：有5個暴露面.如下圖，過 V作VS IJAB,那么四邊形 S ABV為平行四邊形，有/ S VA=Z VAB=60 ,從 而A S VA為等邊三角形，同理 AS VD也是等邊三角形，從而 AS AD也是等邊三角形，S重合.這說明A VABW A VSA共面，A VCg A VSM面，故共有 5個暴露面.362.假設(shè)四面體各棱長是 1或2,且該四面體不是正四面體，那么其體積的值是 J 只須寫出一個可能的值）解析：該題的顯著特點是結(jié)論發(fā)散而不惟.此題表面上是考查錐體求積

2、公式那個知識點,實際上要緊考查由所給條件構(gòu)造一個四面體的能力，首先得考慮每個面的三條棱是如何構(gòu)成的.排除1,1, 2,可得 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2,然后由這三類面在空間構(gòu)造滿足條件的一個四面體，再求其體積.2,另一邊為1,對棱由平時所見的題目，至少可構(gòu)造出二類滿足條件的四面體，五條邊為 相等的四面體.關(guān)于五條邊為2,另一邊為1的四面體，參看圖1所示，設(shè)AD=1,取AD的中點為M,平面BC附巴三棱錐分成兩個三棱車B,由對稱性可知ADL面BCM且Vabc而VDbcm因此Vbc= Sa bcm, AD.3o001 0.15CM=vCD2 - DM 2 =、22 -(-)2

3、 =；-.設(shè) N 是 BC 的中點，那么 MNL BCMN=v：CM2 -CN2 =-1 =211 ，從而 Sabcm=- X2X11=W42222故 VabcJx 由 X1二色. 3262關(guān)于對棱相等的四面體，可參見圖2.其體積的計算可先將其置于一個長方體之中，再用長方體的體積減去四個小三棱錐的體積來進(jìn)行.亦可套公式V= J(a2 +b2 _c2)(b2 +c2 _a2)(c2 +a2 -b2) 12不妨令a=b=2, c=1,那么(44 二 1)(4一1 14)(1 一4 二4)v=_.12二71212363.湖結(jié)冰時，一個球漂在其上，取出后（未弄破冰）,冰面上留下了一個直徑為24cm,深

4、為8cm的空穴，求該球的半徑.解析：設(shè)球的半徑為 R依題意知截面圓的半徑r =12,球心與截面的距離為 d = R-8,由截面性質(zhì)得：r2+d2= R,即 122+（R-8） 2= W得R= 13該球半徑為13cm.364.在有陽光時，一根長為 3米的旗軒垂直于水平地面，它的影長為J3米，同時將一個半徑為3米的球放在這塊水平地面上， 如下圖，求球的陰影部分的面積（結(jié)果用無理數(shù)表示）.解析：由題意知，光線與地面成60。角，設(shè)球的陰影部分面積為S,垂直于光線的大圓面積為S,那么Scos30 = S,同時S = 9兀，因此S=6，3兀（米2）365.設(shè)棱錐M卜ABCD勺底面是正方形，且 M MQ M

5、/L AB,假如A AMD勺面積為1 ,試求 能夠放入那個棱錐的最大球的半徑.AB解析：- AB AD, AB MA.ABL平面 MAQ由此，面 MADL面 AC.記E是AD的中點，從而MEL AD.ME!平面 AC, 設(shè)球。是與平面 不妨設(shè)OC平面ME EFMAD AC 平面 MBCIB相切的球.設(shè)球。的半徑為MEF因此。是AMEF的內(nèi)心.r,那么r =2SamefEF EM MF設(shè) AD= EF= a,SaAMD= 1.ME= 2 .MF= fa2 +(2)2 , a ： a 2 /2、22 2.2a ()a=.2-1當(dāng)且僅當(dāng)a= 2,即a= 又 BiC BC, A1BiABiC= B1,

6、.BC平面 ABCD, O為垂足，.AQ為AB在平面A1B1CD上的射影，那么/ BAO為A1B與平面ABCD所成的角、sin / BAO= -BO =1 ,/ BAO= 3 0 、A1B 22連結(jié)AQ交BD于Q,連BO,作 BiHL BO于 H . A1C1,平面 DDBB, .ACBH 又 BHL BO, AQnBO=Q,，BHL平面 ACB, / BBO為BB與平面AQB所成的角，tan Z B1BO =巴!=池，即BB與平面AQB所成的角的正切值為 B1B2379. RtABC中，/ C=9 0 , BC= 3 6,假設(shè)平面 ABC外一點P與平面 A, B, C三點等 距離，且P到平面

7、ABC的距離為8 0, M為AC的中點、1求證：PML AC2求P到直線AC的距離；3求PM與平面ABC所成角的正切值、 解析：點P到 ABC的三個頂點等距離，那么 P在平面ABC內(nèi)的射影為 ABC的外心，而ABC為直角三角形，其外心為斜邊的中點、證明 1. PA= PC M是 AC中點，PML AC 解 2BC= 3 6 ,MH= 18，又 PH= 8 0 , PM= JPH 2 +MH 2 =$80 2 +182 =82 ,即 P 到直線 AC 的距離為 8 2 ;3PM=PB=PC，P在平面ABC內(nèi)的射線為 ABC的外心，/C=90P在平面ABC內(nèi)的射線為 AB的中點Ho.PHI平面 A

8、BC 1 HMK/ PM平面 ABC上的射影，那么/ PM PM與平面 ABC所成的角，tan Z PMH=PHMH80 4018 二380.如圖，在正四面體 ABCM。各面基本上全等的正三角形的四面體，M為AD的中點，求CM與平面BCD所成角的余弦值、 解析：要作出CM在平面BCD內(nèi)的射影，關(guān)鍵是作出 M在平面BCD內(nèi)的a射影，而M為AD的中點，故只需觀看 A在平面BCD內(nèi)的射影，至此問題解法已明朗、解 作AOL平面BCD O,連DO彳MNL平面 BCDF N,那么NC OD設(shè) AD= a,那么 OD= 2 ,史a=3.a, A氏 V,AD又 tan/AB1Mh3,那么/ AMN= /ABM

9、 . B1M MN由三垂線定理知，CM MN382.如圖，ABCM 直角梯形，/DAB= / ABC= 9 0 , AB= BC= a, AD= 2 a, PA1平面 ABCD PA= A(1) 求證：PCX CD (2) 求點B到直線PC的距離、解析：1要證PC與CD垂直，只要證明 AC與C訴直，可按實際情形畫出底面圖形進(jìn)行 證明、2從B向直線PC作垂直，可利用 PBC求高，但需求出三邊，并判斷其形狀事 實上，那個地方的/ PBC= 9 0；另一種重要的思想是：因 PC在平面PAC中，而所作BH 為平面PAC的斜線，故關(guān)鍵在于找出 B在平面PAC內(nèi)的射影，因平面PAC處于“豎直狀態(tài)”， 那么

10、只要從B作“水平”的垂線，可見也只要從 B向AC作垂線便可得其射影、證明 1取AD的中點E,連AC, CE那么ABC國正方形， CED為等腰直角三角形、 -OD2 =6a ,3 233MN=g a、 6又. CMh 13 a ,CN= * CM 2 -MN 2 =:二a =也 a、2； 126二.CM與平面BCD所成角的余弦值為 型=、CM 3381.如圖，在正方體 ABCD- A1BCQ中，M是棱 AA的中點，N在AB上，且AN： NB= 1 : 3, 求證：GML MN解析：在空間中作出兩條直線垂直相對較在平面內(nèi)作兩條直線垂直難、此題GM與MN相交直線，一種方法可通過勾股定理來驗證它是否垂

11、直，另一方法為：因MN是平面A1ABB內(nèi)的一條直線，可考慮 MC在平面A1ABB內(nèi)的射影、證明1設(shè)正方體的棱長為a ,那么MN= 口 a ,4CMh Ja2 +a2 +1)2 =-3 a , 0 N= ja2 +a2 +號)2 = a，mN+MC =NG、，CML MN證明2 連結(jié)BM CiBiL平面 AiABB,BiM為GM在平面AiABB上的射影、111僅Hx為 a , AN= a , AM a , tan / AMIN=, 422.AC，CDPAa平面 ABCD AC為 PC在平面 ABCDk的射影，PCXCQ解 2連BE交AC于O,那么BEX AC又 BEX PA ACA PA= A,

12、BEX平面 PAC過。作OHL PC于H,連BH,那么 BHL PC. PA= a, ac= 72a ,. PC= 73a ,那么 OH 1 a 4f2a =叵 a 2. 3a 6BO=且 a ,BH= JBO 求證：MNL CD 假設(shè)/ PDA= 45 ,求證：MNL平面 PCD證明 1連 ACA BD= 0,連 NQ M0 那么 NO/ PA. PAU面 ABCD 1 NOL平面 ABCD. MOL AB, . MNL AB,而 CD/ AB, . MNL CD +OH 2 =變 a23383 .四面體ABCDW四個面中，是直角三角形的面至多有A1 個B2個C3 個D4 個設(shè)底面為直角三角

13、形, 本上直角三角形、解析：D從底面的一個銳角頂點作平面的垂線，那么如此的四面體的每個面基384 .直角三角形ABC的斜邊AB在平面a內(nèi)，直角頂點C在平面a外，C在平面a內(nèi)的射影為。，且Ci宓A(chǔ)B,那么 CAB為A銳角三角形B直角三角形C鈍角三角形D以上都不對解析：C. GA2+GB2FQ = -PCPC-PB2 卜=FQ = -PB注 要充分注意平面幾何中的知識 中的運用。390. a n 3 =C, all b,a a a 解析：b / a,b a ,a a a , 又 bu 3 , a n 3 =c b /又 AE! b, AE AAF=AEF匚平面 AEF aEF,bb /n FQ =

14、 FBBE =EQ = ；BCnEFLBC(如此題中三角形重心性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)等)在證題3 ,AWa,AE，b 于 E, AFL c 于 F,求證:c,又 AUcAF b.b,平面 AEF a / b a,平面 AEF ；391.如圖， ABC為銳角三角形，PA1平面ABC A點在平面aEF一FCA aPBC上的射影為H,求：H不可能是 PBC的垂心、解析：連結(jié)CH那么CH是AC在平面PBC內(nèi)的射影，假設(shè) H為垂心，那么 CHL PB,由三垂 線定理得 ACL PB,又PA1平面 ABC，PA! AC,AC!平面 PAB從而 AC! AB與 ABC為銳角三角形矛盾，故H不可能是垂心、392

15、.如圖，BCD是等腰直角三角形，斜邊 CD的長等于點P到BC的距離，D是P在平面BCD上的射影、1求PB與平面BC所成角；2求BP與平面PCD 所成的角解析：1PD1平面BCD，BD是PB在平面BCD內(nèi)的射影，/ PBD為PB與平面BC所成角,BDLBC,由三垂線定理得 BCL BD,BP=CD 設(shè) BC=a,那么 BD=a BP=CD=/2 a.,.在 Rt BPD 中,cos / DBP=，/DBP=45 ,即PB與平面BC所成角為452過B作B已CD于E,連結(jié) PE, PD1平面 BCD導(dǎo)PDL BE, B已平面 PCD2一/ BPE為 BP與平面 PC所成白角,在 RtBEP中,BE=

16、a, BP=/2 a,，BPE=30 即BP與平面PC所成角為30、B393.正四棱錐的一個對角面與一個側(cè)面的面積之比為6 ： 2 ,求側(cè)面與底面所成的角的大小。解析:為hBC如圖，正四棱錐 P-ABCD勺一個對角面 PAC設(shè)棱錐的底面邊長為, a,、高為h,斜高,底面中心為 O,連PQ那么POL底面 ABCD - PCAC在 PAC中，AC=(2a?PO=h一 1 一一 . 2 ,S PAC = AC PO = ah221 在 PBC中，S#bc = ah2.c C、2 1 S Pac ： S. pbc = 2 ah : 2 ah取BC中點E,連OE PE,可證/ PEO即為側(cè)面與底面所成兩

17、面角的平面角。在 RtPOE中,sin / PEO=PO =辿，PEh2nn丁./ PEO,即側(cè)面與底面所成的角為一.33394.如右圖，斜三棱柱 ABC-A1B1C1中，ACBC, ABAC, AB=3, AC=2側(cè)棱與底面成 60 角。1求證：AC1面 ABC;2求證：。點在平面ABC上的射影H在直線AB上；3求此三棱柱體積的最小值。解析：1由棱柱性質(zhì)，可知 AC1/AC AiGlBC,AC_LBC,又AC_LAR . .AGl 平面 ABC2由1知AC_L平面ABC,又AC=平面ABC平面 ABQ_平面 ABC在平面 ABG內(nèi)，過。作GH_LAB于H,那 么CH_L平面ABC 故點Ci在

18、平面 ABC上的射影H在直線AB上。3連結(jié)HC由2知GH_L平面ABC/CCH確實是側(cè)棱CC與底面所成的角， ./ GCH=6CT , CH=CH tan60 =J3ch11棱柱=S abc C H =一AB A AC C1 H 二一3：2,：3CH = 33 3CH CA_LAB,CH之AC =2 ,因此棱柱體積最小值 3 E作棱柱的截面 ADEACB1求4ADE的面積；2求證：平面 ADEL平面 ACGA。 解析：分別在三個側(cè)面內(nèi)求出 ADE的邊長AE=J2 a, AD a, DE=jBC2 +(ECBD)2 = Ja2 +($2 =*a截面ADE為等腰三角形S= 1AE h-、2a J

19、5 a)2 -( 2 a)2 =3a2 222242底面 ABCL側(cè)面 AAGCAABC& AC上的高 BML側(cè)面 AACiC下設(shè)法把BM平移到平面AED中去取AE中點N,連MN DN MN 2 1 EC, BD, 1EC 一一 22MN =BDDN / BMDN,平面 AAGC平面ADEL平面AACiC397.斜三棱柱ABC-ABC中，底面是邊長為 4cm的正三角形，側(cè)棱 AA與底面兩邊 AB AC 均成600的角，AA=71求證：AA，BC;2求斜三棱柱 ABC-AiBG的全面積；3求斜三棱柱 ABC-A1B1G 的體積；4求AA到側(cè)面BBGC的距離。解析：設(shè)Ai在平面ABC上的射影為0

20、/AiAB=/ A ACO在/ BAC的平彳T線 AM上 ABC為正三角形 AMXBC又AM為AA在平面 ABC上的射影A BC2Saa1cle =Saa1b1b =AB AAiSin. AiAB =4 7 =14 一 3 BiB/ AABiB BC,即側(cè)面BBCC為矩形Sod c c =4 7 =28 BBiCiC又 S.A1B1cl =SABC42 - 4 - 3S 全=143 M2 +28 +473 父2 =28 +363 (cm2)3cos / AAB=cosZ AiAO- cos / OABcos . A1AB cos600. 3cos / AiAO=1=cos OAB cos300

21、36 sin / AAO=3AiO=AAsin Z AiAO=7 663V =S&bc A1O 42 K7V6 =28 板(cm3)434把線AiA到側(cè)面BBCiC的距離轉(zhuǎn)化為點 A或A到平面BBCiC的距離為了找到Ai在側(cè)面BBCiC上的射影，首先要找到側(cè)面 BBCC的垂面設(shè)平面 AAM交側(cè)面 BBCC于MM BSAM BC AiABC，平面 AAMM平面 AAMMX側(cè)面 BCCBi在平行四邊形AAMM中過Ai作AiH，MM, H為垂足那么AH，側(cè)面BBCC線段AiH長度確實是 AiA到側(cè)面BBCiC的距離AiH-AiMisnAiMiH-AiMisin.AiAM：23 ”，2.)398.平面

22、a內(nèi)有半徑為 R的。Q過直徑 AB的端點A作PA1 a , PA=a, C是。上一點, ZCAB=6(5,求三棱錐P OBC勺側(cè)面積。解析：三棱錐POBC勺側(cè)面由 POB APOCC PBC三個三角形組成在求出邊長元素后，求三角形面積時，應(yīng)注意 PAL平面 ABC PAX ACO AC為PC在平面 ABC上的射影 BCXAC BCXPC -ii 2S POB =_ OB PA = a o 3BC=ABsin600=2a - - . 3a 2- . AC=aPC= , 2ai,6 2-S POB =PC BC =a2 22SzPOC =-2oC、:PO2 -(2-OC)2 =?a2.c i 2.

23、627 2 22-6.7 2S側(cè)=一a 十a(chǎn) 十a(chǎn) =a2244399.四棱錐V ABC陳面是邊長為4的菱形，/ BA,簡化計算POC中,PO=PC=2a, OC=a0, VA1底面 ABCD VA=3, AC與 BD交于O,i求點V到CD的距離；2求點V到BD的距離；3作O。VC,垂足為F,證 明OF是BD與VC的公垂線段；4求異面直線 BD與VC間的距離。解析：用三垂線定理作點到線的垂線 在平面 ABCDHAH CD, E為垂足 VAL平面 ABCDAE為VE在平面 ABCDk的射影 VEX CD.線段VE長為點V到直線CD的距離 /BAD=i20/ADC=60ACM正三角形E 為 CD中

24、點，AE=W3M4=2J32VE= . VA 2 AE2 =、21 2 AOXBD由三垂線定理 VOL BDVO長度為V到直線BD距離VO= . VA 2 AO2 .13 3只需證。吐BDBD HG BDL VA BD，平面 VAC BD OFOF為異面直線BD與VC的公垂線 4求出OF長度即可 在Rt VAC中OC=1 AC=2 VC=. VA 2 AC2 =5 2OF=OC- sin Z ACF=OC VA =2 M3 =6 VC 5 5400.斜三棱柱 ABC-ABC的底面 ABC中，AB=AC=10 BC=1Z Ai到A、B、C三點的距離都 相等，且AA1=13,求斜三棱柱的側(cè)面積。解

25、析：,AiA=AB=AC點Ai在平面 ABC上的射影為 ABC的外心，在/ BAC平分線 AD上 AB=AC ADXBCAD為AiA在平面 ABC上的射影 BCXAA1 BCXBB BBiGC 為矩形，S=BBXBC=156 取AB中點E,連AiE AiA=AB AiE AB2 AB、2.A1E = .AA12 -( 2 )2 =i2解析： 設(shè)/ ACD= 0 ,那么/ BCD= 90 -。，作 AML CD于 M BN CD N,因此 A隹 bsin 0 ,CN= asin 0 .MN= | asin 0 -bcos 0 | ,因為 A CD-B 是直二面角，AML CD BN! CD .

26、.AMW BN成 90 的角，因此 ab= $b2 sin2 6+a2 cos29+(asin -bcos8)2 = Ta2+b2 -absin2日 a2 b2 - ab .當(dāng)0 =45即CD是/ ACB的平分線時，AB有最小值，最小值為 Ja2 + b2 ab .402.自二面角內(nèi)一點分別向兩個面引垂線，求證：它們所成的角與二面角的平面角互補.:從二面角a -AB- 3內(nèi)一點P,向面a和3分別引垂線PC和PD,它們的垂足是 C和D.求 證：/ CPD二面角的平面角互補.A證：設(shè)過PC和PD的平面PCD與棱AB交于點E,PCX a , PD 3 PCX AB, PD AB .-.CE AB,

27、DEI AB又 CE= a , DE= 3 ,CED二面角 a -AB- 3 的平面角.在四邊形 PCEDrt： / C= 90 , Z D= 90 / CPM口二面角 a AB 3 的平面/ CBM補.403.求證：在二面角，從二面角的棱動身的一個半平面內(nèi)的任意一點，到二面角兩個面的距離的比是一個常數(shù).:二面角a - ED- 3 ,平面尸過ED, AC 7 , AB a ,垂足是B.ACX 3 ,垂足是 C. 求證：AB： AC= k（k為常數(shù)）證明：過AR AC的平面與棱 DE交于點F,連結(jié)AF、BF、CF.-. AB1 a , AC 3 . AB1 DE AC DE. DEL平面 ABC

28、.1. BF DE, AF DE, CF DE./ BFA, / AFC分別為二面角a - DE- Y , Y-DE- 3的平面角，它們?yōu)槎ㄖ?在 Rt A ABF中，AB= AF - sin / AFB.在 RtAAFC中,AC= AF - sin / AFG 得：ABAF sin AFB 古.ACAF sin AFC404. 假如直線l、m平面a、3、7滿足l = 3 n Y ,l /“，mu a和ml y .那么必有（）A. a，7 且 l，m B. a，7 且 3C.m/ 3 且 l，mD. a / 3 且 a，？解析：m匚 a ,m y .a V .又ml ，, 3 門；=l. 1-

29、 ml l.應(yīng)選A.說明此題考查線面垂直、面面垂直及綜合應(yīng)用推理判斷能力及空間想象能力Ji405. 如圖，在梯形 ABCD, AD/ BC, / ABC= , AB= a,AD= 3a,且/ ADG= arcsin2又PA1平面ABCD AP= a.求：（1）二面角PCD-A的大小（用反三角函數(shù)表示）；（2）點A到平面PBC的距離.解析：作CD，AD于 D , ABCD 為矩形，CD = AB= a,在 Rt A CD D 中.-.1 / ADC= arcsin5-, IPX Dz DG= arcsin -5 ,CD .5 sin / CDD =CD 5.CD= 75 aD D= 2a. AD

30、= 3a, AD = a= BC又在 Rt A ABC中，AC= vAB2 +BC2 = 2 a, . PA，平面 ABCD 1 PA! AC, PAL AD, PAI AB.在 Rt A PAB中，可得 PB= V2 a.在 Rt A PAC 中,可得 PC= J PA2 +AC2 = 73 a.在 Rt A PAD中,PD= Ja2 +(3a)2 = v10 a. PC2+CD2= ( J3 a) 2+(而 a) = 8a2v ( V10 a)2 .cos/PCD 0,那么/ PCA 90作PH CD于E, E在DC延長線上，連 AE由三垂線定理的逆定理得AH CD / AEP為二面角P-

31、 CD- A的平面角.在 Rt A AED中 / ADE= arcsin5 A c,AD= 3a.5.AE= AD- sin Z ADE= 3a -35a.5在 Rt A PAE中，tan / PEA=PAAEa15a5,53，/ AE之a(chǎn)rctan上5 ,即二面角 P CD) A的大小為arctan上5 .(2) 1. ADX PA AD AR . . ADL平面 PAB. BC/ AD,Bd平面 PAB. 平面 PBCL平面 PAB 彳AHL PB于 H,. AFU平面 PBC.AH為點A到平面PBC的距離.PA ABa a.2在 Rt A PAB中，AH= = a.PB.2a22即A到平

32、面PBC的距離為 a.2說明(1)中輔助線AE的具體位置能夠不確定在DC延長線上，而直截了當(dāng)作 AE CD于E,得PE CD從而/ PEA為所求，同樣可得結(jié)果，幸免過多的推算.(2)中距離的計算，在學(xué)習(xí)幾何體之后可用“等體積法”求 .406. 如圖，在二面角aI 3 中，A、BC a , CDC l, ABCM矩形，PC 3 ,PA!a ,且PA= AD M N依次是 AR PC的中點.(1)求二面角a I 3的大??；(2)求證：MNL AB;求異面直線PA與MN/f成角白大小.解析：(1)連 PD, ABCM矩形,AD DC 即 ADL I.又 PAL I ,PD I.P、DC 3 ,那么/

33、 PDA為二面角a -I- 3的平面角.PA，AD, PA= AD,A PAD是等腰直角三角形，二./ PDA= 45 ,即二面角a I 3的大小為45 .(2)過M作ME/ AD,交CD于E,連結(jié) NE 那么 MEL CD NE! CD 因此，CD,平面 MNE CDL MN. . AB/ CD . . MNL AB過N作NF/ CD交PD于F,那么F為PD的中點.連結(jié)AF,那么AF為/ PAD的角平線， 丁./ FAD= 45 ,而 AF/ MN，異面直線 PA與 MN/f成的 45 角.407. 如圖，在三棱柱 ABC-A B C中，四邊形 A ABB是菱形，四邊形 BCC B是矩 形，

34、C B AB.(1)求證：平面 CA B,平面 A AB;(2)假設(shè)C B =2, AB= 4, / ABB = 60 ,求AC與平面BCC B所成角的大小.(用反 三角函數(shù)表示)cAB解析：(1) .在三棱柱 ABG- A B C中，C B / CB . . CB，AB. / CB BB , ABC BB = B,.CB,平面A AB. .CB匚平面CA B,.平面 CA BL平面A AB(2)由四邊形 A ABB是菱形，/ABB = 60 ,連AB,可知A ABB是正三角形.取 B B中點 H,連結(jié) AH那么 AHL BB.又由C B，平面 A AB,得平面 A ABB，平面 CBBC,而

35、AH垂直于兩平面交線BB,二.AHa平面CBBC.連結(jié)CH,那么/ACH為 AC 與平面BCC B所成白角，AB =4, AH= 2$3,因此直角三角形 C B A中,C= 5,在 RtAAHC 中，sin / AC H=/ ACH= arcsin-J3 ,，直線AC與平5面BCC B所成白角是arcsin - . 3 .5408. 四棱錐PABCD它的底面是邊長為 a的菱形，且/ ABC= 120 , PCL平面ABCD又PC= a, E為PA的中點.(1)求證：平面 EBDL平面 ABCD(2)求點E到平面PBC的距離；求二面角A BE- D的大小.CD證明：在四麴t P-ABCD43,底

36、面是菱形，連結(jié) AC BD交于F,那么F為AC的中點. 又E為AD的中點，EF/ PC又; PC面 ABCD 1 EFL平面 ABCD.EF=平面 EBD.平面EBDL平面ABCD.(2) EF/ PC, ，EF/平面 PBC.E到平面PBC的距離即是EF到平面PBC的距離過F作FH! BC交BC于H, PC，平面 ABCD FH匚平面 ABCD PCX FH.又BC! FH,FH,平面PBC 那么FH是F到平面PBC的距離，也是 E到平面PBC的距離. / FCH= 302FH= 1 CF= _3 a.24取BE的中點 G,連接FG AG由(1)的結(jié)論，平面 BDa平面 ABCD AF BD

37、, AF，平面 BDC.a BF= EF= a ,FG BE,由二垂線定理得， AG BE,2 /FGA為二面角 D- BE- A的平面角.a . 22、3FG a x= J a,AF = a.AF .tg / FGA= - = J6 , / FA8 arctg J6即二面角 A BE D的大小為arctg、:6409.假設(shè)A ABC所在的平面和A ABC所在平面相交，同時直線AA、BB、CC相交于一點 O, 求證：(1)AB和AB、BC和BG、AC和AQ分別在同一平面內(nèi)；(2)假如AB和A1B1、BC和BiG、AC和AiC分別相交，那么交點在同一直線上(如圖).(1 )證明： AAn BB

38、= O,.AAi、BB確定平面BAO,A、Ai、B、B都在平面 ABO內(nèi)， ABU平面 ABO A1B1U 平面 ABO.同理可證，BC和BQ、AC和AC分別在同一平面內(nèi).(2)分析：欲證兩直線的交點在一條直線上，可依照公理2,證明這兩條直線分別在兩個相交平面內(nèi)，那么，它們的交點就在這兩個平面的交線上證明：如圖，設(shè)ABn AB=P;A8 AG= R; 面 ABOH面 AiBiCi= PR. BCU 面 ABC B1C1U 面 A1B1C, 且 BC n BG = QQ PR,即P、R、Q在同一直線上.410. 點P、Q R分別在三棱錐 A-BCD的三條側(cè)棱上，且 POP BC= X,QRA C

39、D= Z,PRA BD=Y.求證：又Y、Z三點共線.解析： 證明點共線的差不多方法是利用公理2,證明這些點是兩個平面的公共點.證明P、Q R三點不共線，P、Q R三點能夠確定一個平面 ”. X C PQ PQ匚 a , . .xe a ,又 XC BC, BC=面 BCD XC 平面 BCD.點X是平面a和平面BCD勺公共點.同理可證，點Y、Z基本上這兩個平面的公共點，即點X、Y、Z都在平面a和平面BCD勺交線上.411. 直線m n分別和平行直線 a、b、c都相交，交點為 A B、C D E、F,如圖，求證： 直線a、b、c m n共面.解析：證明假設(shè)干條直線共面的方法有兩類：一是先確定一個平面，證明其余的直線在那個平面里；二是分別確定幾個平面，然后證明這些平面重合證明 a / b, 過a、b能夠確定一個平面 ”.,AC a,a u a ,AC a ,同理 BC a.又 AC mi, BC m, mu a .同理可證 n二 a .b / c,過b,c能夠確定平面3 ,同理可證