微分方程與微分方程建模法

1、第三章微分方程模型微分方程與微分方程建模法微分方程知識(shí)簡(jiǎn)介我們要掌握常微分方程的一些根底知識(shí)，對(duì)一些可以求解的微分方程及其方 程組，要求掌握其解法，并了解一些方程的近似解法。微分方程的體系：(1)初等積分法一階方程及幾類可降階為一階的方程(2)一階線性微分方程組常系數(shù)線性微分方程組的解法(3)高階線性微分方程高階線性常系數(shù)微分方程解法。其中還包括了常微分方程的根本定理0.常數(shù)變易法：常數(shù)變易法在上面的123三局部中都出現(xiàn)過，它是由線性齊次方程一階或高階或方程組的解經(jīng)常數(shù)變易后求相應(yīng)的非齊次方程或方程組的解的一種方法。1.初等積分法：掌握變量可別離方程、齊次方程的解法，掌握線性方程的解法， 掌握

2、全微分方程含積分因子的解法，會(huì)一些一階隱式微分方程的解法參 數(shù)法，會(huì)幾類可以降階的高階方程的解法恰當(dāng)導(dǎo)數(shù)方程。別離變量法：1可別離變量方程:dx f(x)g(y);M(x)N(y)dx P(x)Q(y)dy 0;(2)齊次方程:dy dx dy dxaxf(uxbyvyc);w常數(shù)變易法：(1)線性方程，y p(x)y f (x),(2)伯努里方程，y p(x)y f (x)yn,積分因子法：化為全微分方程，按全微分方程求解。對(duì)于一階隱式微分方程F(x,y,y) 0,有參數(shù)法：不含x或y的方程:F(x,y) 0,F(y,y )0;對(duì)于高階方程，有降階法：F(x,y(k),y(k 1),y(n)

3、F(y,y,y) 0;恰當(dāng)導(dǎo)數(shù)方程一階方程的應(yīng)用問題即建模問題2一階線性微分方程組：本局部主要內(nèi)容有：一是一階線性微分方程組的根本理論線性齊次、非齊次微分方程組的通解結(jié)構(gòu)，劉維爾公式等 ，二是常系數(shù) 線性微分方程組的解法求特征根，單根與重根 待定系數(shù)法 ，三是常數(shù)變易 法。本局部?jī)?nèi)容與線性代數(shù)關(guān)系密切， 如線性空間，向量的線性相關(guān)與線性無關(guān)， 基與維數(shù)，特征方程、特征根與特征向量，矩陣的假設(shè)當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型等。3 高階線性微分方程： 了解高階線性微分方程的根本理論線性齊次、非齊次 微分方程的通解結(jié)構(gòu)，劉維爾公式等 ；n 階線性常系數(shù)微分方程解法 ：1求常系數(shù)齊次線性微分方程根本解組的 待定指數(shù)函數(shù)法；

4、2求一般非齊次線性方程解的常數(shù)變易法； 3求特殊型非 齊次常系數(shù)線性方程解的待定系數(shù)法； 4求解初值問題的拉普拉斯變換法；5 求二階線性方程的冪級(jí)數(shù)解法。4 常微分方程的根本定理 ：常微分方程的幾何解釋線素場(chǎng) ，初值問題解的 存在與唯一性定理 條件與結(jié)論，求方程的近似解 歐拉折線法與畢卡逐次 逼近法，解的延展定理與比擬定理、 唯一性定理證明解的存在區(qū)間 如為左 右無窮大，奇解與包絡(luò)線，克萊羅方程。5 常微分方程的穩(wěn)定性理論： 掌握穩(wěn)定性的一些根本概念，以及運(yùn)用特征根法 判斷常系數(shù)線性方程組的解的穩(wěn)定性，運(yùn)用李雅普諾夫函數(shù)法判斷一般 方程組的解的穩(wěn)定性。6 常微分方程的定性理論： 掌握定性理論的

5、一些根本概念，運(yùn)用特征根法判斷 奇點(diǎn)類型，極限環(huán)。7 差分方程。8 偏微分方程。二、 數(shù)學(xué)建模的微分方程方法微分方程作為數(shù)學(xué)科學(xué)的中心學(xué)科， 已經(jīng)有三百多年的開展歷史， 其解法和 理論已日臻完善，可以為分析和求得方程的解或數(shù)值解提供足夠的方法，使 得微分方程模型具有極大的普遍性、 有效性和非常豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)涵。 微分方程建 模包括常微分方程建模、 偏微分方程建模、 差分方程建模及其各種類型的方程組 建模。微分方程建模對(duì)于許多實(shí)際問題的解決是一種極有效的數(shù)學(xué)手段， 對(duì)于現(xiàn)實(shí)世界的變化，人們關(guān)注的往往是其變化速度、加速度以及所處位置隨時(shí)間的發(fā) 展規(guī)律，其規(guī)律一般可以用微分方程或方程組表示， 微分方程

6、建模適用的領(lǐng)域比 較廣，利用它可建立純數(shù)學(xué)特別是幾何模型，物理學(xué)如動(dòng)力學(xué)、電學(xué)、核 物理學(xué)等模型，航空航天火箭、宇宙飛船技術(shù)模型，考古鑒定文物年代 模型，交通如電路信號(hào)，特別是紅綠燈亮的時(shí)間模型，生態(tài)人口、種群數(shù) 量模型，環(huán)境污染模型，資源利用人力資源、水資源、礦藏資源、運(yùn)輸 調(diào)度、工業(yè)生產(chǎn)管理模型，生物遺傳問題、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)問題、動(dòng)植物循環(huán)系統(tǒng) 模型，醫(yī)學(xué)流行病、傳染病問題模型，經(jīng)濟(jì)商業(yè)銷售、財(cái)富分布、資本主 義經(jīng)濟(jì)周期性危機(jī)模型，戰(zhàn)爭(zhēng)正規(guī)戰(zhàn)、游擊戰(zhàn)模型等。其中的連續(xù)模型適 用于常微分方程和偏微分方程及其方程組建模，離散模型適用于差分方程及其方 程組建模。下面，我們給出如何利用方程知識(shí)建立數(shù)學(xué)模

7、型的幾種方法。1 利用題目本身給出的或隱含的等量關(guān)系建立微分方程模型。這就需要我們仔細(xì)分析題目，明確題意，找出其中的等量關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型。例如在光學(xué)里面，旋轉(zhuǎn)拋物面能將放在焦點(diǎn)處的光源經(jīng)鏡面反射后成為平行 光線，為了證明具有這一性質(zhì)的曲線只有拋物線， 我們就是利用了題目中隱含的 條件一一入射角等于反射角來建立微分方程模型的5。又如在天文學(xué)、氣象學(xué)中 常用到的等角軌線，曲線或曲線族(C)，求曲線l等角軌線或正交軌線， 使I與(c)中每條曲線相交成給定的角度這是題目中明確給出的條件，即曲線的 切線相交成給定的角度，這樣，就在它們的導(dǎo)數(shù)之間建立了聯(lián)系，又題目中隱含的條件是：在I與(c)中曲線相交點(diǎn)

8、處，它們的函數(shù)值相等；這樣，我們只要求 出曲線或曲線族的微分方程，根據(jù)它們之間的聯(lián)系，就可以建立等角軌線的 微分方程模型，從而求出等角軌線的方程5 02 從一些的根本定律或根本公式出發(fā)建立微分方程模型。我們要熟悉一些常用的根本定律、根本公式。例如從幾何觀點(diǎn)看，曲線y=y(x)上某點(diǎn)的切線斜率 即函數(shù)y=y(x)在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)；力學(xué)中的牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律：f=ma,其中加速度a就是位移對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)，也是速度對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)；電學(xué)中的基爾霍夫定 律等。從這些知識(shí)出發(fā)我們可以建立相應(yīng)的微分方程模型。例如在動(dòng)力學(xué)中，如何保證高空跳傘者的平安問題。對(duì)于高空下落的物體， 我們可以利用牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律建立其

9、微分方程模型，設(shè)物體質(zhì)量為m,空氣阻力系數(shù)為k，在速度不太大的情況下，空氣阻力近似與速度的平方成正比；設(shè)時(shí)刻t時(shí)物體的下落速度為v，初始條件：v(o)0。由牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律建立其微分方程模型：求解模型可得：由上式可知，當(dāng)tdvm 一dtmg kv2vmg(exp2tj蜃i) mv 、k(exp2t時(shí)，物體具有極限速度:lim vt其中，阻力系數(shù)k s, 為與物體形狀有關(guān)的常數(shù)，為介質(zhì)密度，s為物 體在地面上的投影面積。根據(jù)極限速度求解式子，在m, 一定時(shí)，要求落地速 度vi不是很大時(shí)，我們可以確定出s來，從而設(shè)計(jì)出保證跳傘者平安的降落傘的 直徑大小來。導(dǎo)數(shù)是微積分中的一個(gè)重要概念，其3利用導(dǎo)數(shù)

10、的定義建立微分方程模型。 定義為f (x)limf(xx) f(X)X商式一y表示單位自變量的改變量對(duì)應(yīng)的函數(shù)改變量，就是函數(shù)的瞬時(shí)平均變化x率，因而其極限值就是函數(shù)的變化率。 函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，就是函數(shù)在該點(diǎn)的變 化率。由于一切事物都在不停地開展變化， 變化就必然有變化率，也就是變化率 是普遍存在的，因而導(dǎo)數(shù)也是普遍存在的。這就很容易將導(dǎo)數(shù)與實(shí)際聯(lián)系起來， 建立描述研究對(duì)象變化規(guī)律的微分方程模型。例如在考古學(xué)中，為了測(cè)定某種文物的絕對(duì)年齡，我們可以考察其中的放射 性物質(zhì)如鐳、鈾等，已經(jīng)證明其裂變速度單位時(shí)間裂變的質(zhì)量，即其變化 率與其存余量成正比。我們假設(shè)時(shí)刻t時(shí)該放射性物質(zhì)的存余量R是t的

11、函數(shù), 由裂變規(guī)律，我們可以建立微分方程模型： 期中k是一正的比例常數(shù)，與放射性物質(zhì)本身有關(guān)。求解該模型，我們解得:dRdtkRR Ce kt，其中c是由初始條件確定的常數(shù)。從這個(gè)關(guān)系式出發(fā)，我們就可以測(cè)定某文物的絕對(duì)年齡。參考碳定年代法另外，在經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域中，導(dǎo)數(shù)概念有著廣泛的應(yīng)用，將各種函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)即 函數(shù)變化率稱為該函數(shù)的邊際函數(shù)，從而得到經(jīng)濟(jì)學(xué)中的邊際分析理論。4利用微元法建立微分方程模型。一般的，如果某一實(shí)際問題中所求的變量p符合以下條件：p是與一個(gè)變量t的變化區(qū)間a, b有關(guān)的量；p對(duì)于區(qū)間a, b具有可加性；局部量 Pi的近似值可表示為f( i) ti。那么就可以考慮利用微元法來建

12、立微分方程模型，其步驟是：首先根據(jù)問題的具體情況，選取一個(gè)變量例 如t為自變量，并確定其變化區(qū)間a, b；在區(qū)間a, b中隨便選取一個(gè)任意小的區(qū) 間并記作t,t dt，求出相應(yīng)于這個(gè)區(qū)間的局部量p的近似值。如果 p能近似的標(biāo)示為a, b上的一個(gè)連續(xù)函數(shù)在t處的值f (t)與dt的乘積，我們就把f (t )dt稱為量p的微元且記作dp。這樣，我們就可以建立起該問題的微分方程模型:dp f (t)dt。對(duì)于比擬簡(jiǎn)單的模型，兩邊積分就可以求解該模型例如在幾何上求曲線的弧長(zhǎng)、平面圖形的面積、旋轉(zhuǎn)曲面的面積、旋轉(zhuǎn)體 體積、空間立體體積；代數(shù)方面求近似值以及流體混合問題；物理上求變 力做功、壓力、平均值、

13、靜力矩與重心 ；這些問題都可以先建立他們的微分方 程模型，然后求解其模型。在2005年的全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽 A題原題見競(jìng)賽試題中，對(duì)于長(zhǎng) 江流域的三類主要污染物-溶解氧，高錳酸鹽指數(shù)與氨氮污染，我們運(yùn)用微元 法，建立了其含參數(shù)的微分方程模型， 并用平均值法估計(jì)出了其參數(shù)，具體求出 了他們的解，之后，我們又給出了他們統(tǒng)一的微分方程模型及其求解公式。5 熟悉一些經(jīng)典的微分方程模型，對(duì)一些類似的問題，經(jīng)過稍加改進(jìn)或直接套 用這些模型。多年來，在各種領(lǐng)域里，人們已經(jīng)建立起了一些經(jīng)典的微分方程模型，熟悉這些模型對(duì)我們是大有裨益的。下面，我們僅以 人口問題為例，說明 用常微分方程、偏微分方程和差分方程

14、建立的人口問題模型。1常微分方程模型設(shè)Nt為時(shí)刻t人口總數(shù)，r m n為人口的增長(zhǎng)率，其中 m,n分別為出生率與死亡率，他們可以是t的函數(shù)。1798年，英國神父Malthus建立了最簡(jiǎn)單的人 口增長(zhǎng)模型為N (t) rN(t)得出了人口按幾何級(jí)數(shù)增長(zhǎng)的結(jié)論。此結(jié)論在短時(shí)期內(nèi)與人口的實(shí)際增長(zhǎng)吻合得 比擬好，時(shí)間越長(zhǎng)誤差越大。經(jīng)過對(duì)一些地區(qū)具體人口資料的分析， 發(fā)現(xiàn)在人口 基數(shù)較少時(shí)，人口的繁衍增長(zhǎng)起重要作用，人口的自然增長(zhǎng)率r根本為常數(shù)，但隨著人口基數(shù)的增加，人口增長(zhǎng)將越來越受自然資源、 環(huán)境條件等的限制。此時(shí) 人口的自然增長(zhǎng)率是變化的，即人口的自然增長(zhǎng)率與人口數(shù)量有關(guān)。18378年，荷蘭生物學(xué)

15、家 P。F。Verhulst修改了上述模型，引入本地區(qū)自然 資源和環(huán)境條件允許下的最大人口數(shù)目為 P。，給出了類似于電感器產(chǎn)生阻抗的生物反應(yīng)因子1罟，將Malthus模型中的假設(shè)條件“，人口自然增長(zhǎng)率為常數(shù)修正為人口自然增長(zhǎng)率為r1 四汀0 ，得出上述模型的修正模P。型N t rNt1 響P。該模型為著名的Logistic邏輯斯諦模型，方程為變量別離方程，帶入初始條件Nt。 N。，可以求出其解。上述模型對(duì)單種群群體規(guī)模的變化規(guī)律是很好地描述。2差分方程模型上面考慮的是人口群體變化的規(guī)律問題，該模型沒有考慮種群的年齡結(jié)構(gòu)，種群的數(shù)量主要由總量的固有增長(zhǎng)率決定。 但不同年齡的人的繁殖率和死亡率有著

16、明顯的不同?？紤]按年齡分組的種群增長(zhǎng)模型，我們介紹Leslie在20世紀(jì)40年代建立的一個(gè)具有年齡結(jié)構(gòu)的人口離散模型。我們將人口按年齡劃分成 m個(gè)年齡組，即1, 2,m組。此處還隱含假定所有人的年齡不能超過m組的年齡?，F(xiàn)將時(shí)間也離散為時(shí)段tk,k 1,2,3,，并且tk的間隔與年齡區(qū)間大小相等。記時(shí)段tk第i年齡組的種群數(shù)量為xdk)，記tk時(shí)段種群各年齡組的分布向量為X(k)xi(k)X2(k)Xm(k)那么我們可以建立人口增長(zhǎng)的差分方程模型為X(k 1) LX(k), k 0,1,此處L為矩陣。當(dāng)to時(shí)段各年齡組的人數(shù)時(shí)，即 X(0)時(shí)，可以求 得tk時(shí)段的按年齡組的分布向量X(k)為X(k) LkX(0),k1,2,3,由此可以算出各時(shí)段的種群總量 。3偏微分方程模型當(dāng)我們要考察的量同時(shí)與兩個(gè)變量有關(guān)時(shí)，要想描述其變化率的關(guān)系，那么通常要用偏微分方程模型來描述。下面介紹考慮人口年齡的連續(xù)