(答案)東師《組合數(shù)學(xué)》轉(zhuǎn)作業(yè)考核

1、離線考核組合數(shù)學(xué)（完整答案附后）滿分100分一、計(jì)算題（每小題10分，共60分。）1、求的展開式中的系數(shù)? 展開后合并同類項(xiàng)，則一共有多少項(xiàng)？2、求從1至1000的整數(shù)中能被14或21整除的整數(shù)的個(gè)數(shù)。3、一次宴會(huì)，7位來賓寄存他們的帽子，在取回他們的帽子時(shí)，問有多少種可能使得：（1）沒有一位來賓取回的是他自己的帽子？ （5分）（2）至少有一位來賓取回的是他自己的帽子？（5分）4、在平面上,對(duì)任意自然數(shù)n,連接原點(diǎn)O與點(diǎn)用表示線段上除端點(diǎn)外的整點(diǎn)個(gè)數(shù),試求5、解遞推關(guān)系：。6、現(xiàn)有人手中有3張一元,2張2元和3張5元的錢幣,問該人都能買價(jià)值為多少的物品？對(duì)每種價(jià)值的物品他有幾種付款方法？ 二、

2、證明題（每小題20分，共40分。）1、證明： 。2、 證明：在任意給出的1998個(gè)自然數(shù)，中，必存在若干個(gè)數(shù)，它們的和能被1998整除。溫馨提示：完整答案附后 復(fù)制下一頁(yè)的答案到你的原卷離線考核組合數(shù)學(xué)滿分100分一、計(jì)算題（每小題10分，共60分。）1、求的展開式中的系數(shù)? 展開后合并同類項(xiàng)，則一共有多少項(xiàng)？答：在多項(xiàng)式的展開式中的項(xiàng)的系數(shù)是 =420.因?yàn)樵谒恼归_式中不同項(xiàng)（合并同類項(xiàng)后）的個(gè)數(shù)等于從5個(gè)不同元素中有重復(fù)地取出7個(gè)元素的方法數(shù)，所以不同項(xiàng)的個(gè)數(shù)為。2、 求從1至1000的整數(shù)中能被14或21整除的整數(shù)的個(gè)數(shù)。解：設(shè)所求為N，令，以，分別表示中能被14和能被21整除的整數(shù)所

3、成之集，則 3、一次宴會(huì)，7位來賓寄存他們的帽子，在取回他們的帽子時(shí)，問有多少種可能使得：（1）沒有一位來賓取回的是他自己的帽子？ （5分）（2）至少有一位來賓取回的是他自己的帽子？（5分）.解：記7個(gè)來賓為，則7個(gè)來賓取帽子的方法可看成是由，作成的全排列：如果（17）拿了的帽子，則把排在第位，于是（1）沒有一位來賓取回的是他自己的帽子的取法種數(shù)等于7元重排數(shù)，即等于1854。（2）至少有一位來賓取回的是他自己的帽子的取法種數(shù)等于由，作成的至少有一個(gè)元保位的全排列數(shù)，為 4、在平面上,對(duì)任意自然數(shù)n,連接原點(diǎn)O與點(diǎn)用表示線段上除端點(diǎn)外的整點(diǎn)個(gè)數(shù),試求解 線段的方程為 .如果n與互素,則不定方程

4、不存在適合的整數(shù)解,即如果n與不互素,則n與只能有公因數(shù)3,即可以設(shè).則通過解不定方程,有整數(shù)點(diǎn)位于線段之上,且中間僅有這二個(gè)整數(shù)點(diǎn),即.所以 5、解遞推關(guān)系：。解：特征方程為，特征根為，所以，其中，是待定常數(shù)，由初始條件得 解之得，所以 （）6、現(xiàn)有人手中有3張一元,2張2元和3張5元的錢幣,問該人都能買價(jià)值為多少的物品？對(duì)每種價(jià)值的物品他有幾種付款方法？ 解 令一元錢幣對(duì)應(yīng)的能買物品的形式冪級(jí)數(shù)為；2元錢幣對(duì)應(yīng)的能買物品的形式冪級(jí)數(shù)為；5元錢幣對(duì)應(yīng)的能買物品的形式冪級(jí)數(shù)為,則該人能買物品對(duì)應(yīng)的形式冪級(jí)數(shù)為所以,該人可以買價(jià)值分別為0,1,2,21,22元的物品,并且付款的方法數(shù)分別為0,1,2,2,2,3,2,3,2,2,3,2,3,2,2,3,2,3,2,2,2,1,1.二、證明題（每小題20分，共40分。）1、證明： 。證明 在牛頓定理中令,則有 (1)對(duì)上式兩邊的求微商,得到 .令t=1,我們就得到第一個(gè)結(jié)論. 如果我們對(duì)(1)式兩邊的進(jìn)行次微商,則有.在上式兩邊同時(shí)除以r!,并令t=1,即可得到第二個(gè)結(jié)論.2、證明：在任意給出的1998個(gè)自然數(shù)，中，必存在若干個(gè)數(shù)，它們的和能被1998整除。證明：令，其中則，對(duì)任一個(gè)非負(fù)整數(shù)（01997），令 且除以1998所得余數(shù)為，則（，1，2，1997）且，如果，設(shè)是，則