四川大學(xué)線性代數(shù)課件第一章第二節(jié)矩陣的轉(zhuǎn)置

1、第二節(jié)第二節(jié) 矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣的轉(zhuǎn)置定義定義7 矩陣矩陣A=(aij)nn n的行列互換所得的矩陣的行列互換所得的矩陣稱為稱為A的轉(zhuǎn)置的轉(zhuǎn)置,記為記為A或或ATA T =例例1:1:,854221 A;825241 TA ,618 B.618 TB轉(zhuǎn)置矩陣滿足的運(yùn)算規(guī)律：轉(zhuǎn)置矩陣滿足的運(yùn)算規(guī)律： ;1AATT ;2TTTBABA ;3TTkAkA .4TTTABAB （AB）T的的i 行行j 列元素是：列元素是：A的第的第j行行B的第的第i 列列BTAT的的i 行行j 列元素是：列元素是：BT的第的第i行行A AT T的第的第j j列列= =（B B的第的第i 列）列）T T（A A的第的第j

2、j 行）行）T TsmijaAnsijbBnmijcABCmnijTTdAB)(msjiTaAsnjiTbBsijsijijjibababac2211jssijijiijabababd2211jicijd=也就是也就是TTTABAB)(TTTTABCABC)(?11TnnTaajic要證ijd=例例2 2 已知已知,102324171,231102 BA .TAB求求直接計算后再轉(zhuǎn)置：直接計算后再轉(zhuǎn)置： 102324171231102AB,1013173140 .1031314170 TAB先轉(zhuǎn)置后再乘起來（順序要改變）：先轉(zhuǎn)置后再乘起來（順序要改變）： TTTABAB 21301213102

3、7241.1031314170 . 稱稱為為反反對對稱稱的的則則矩矩陣陣如如果果AATA 對稱陣的元素以主對角線為對稱軸對應(yīng)相等對稱陣的元素以主對角線為對稱軸對應(yīng)相等. .說明：說明：AAA ATTAA 是是反反對對稱稱矩矩陣陣是是對對稱稱矩矩陣陣?yán)?:. ,都是對稱矩陣和則設(shè)TTnmBBBBB設(shè)設(shè) 為為 階方陣，如果滿足階方陣，如果滿足 ，即，即那末那末 稱為對稱陣稱為對稱陣.An njiaajiij, 2 , 1, A.6010861612為為對對稱稱陣陣?yán)缛?A對稱陣對稱陣:TAA 課后課后思考思考 .2.,1:.對稱矩陣之和可表示為對稱矩陣和反是反對稱矩陣是對稱矩陣證明階矩陣對于

4、任意的AAAAAAnTT注：對稱矩陣的乘積不一定是對稱矩陣注：對稱矩陣的乘積不一定是對稱矩陣311121111100001010例如311111121例例4：.n,階反對稱矩陣是則BAABBBBAAATnnTnn什么時候仍然是對稱的呢？TTTTTBAABBAAB）證：（).(BAABABBA例例5 5 設(shè)列矩陣設(shè)列矩陣 滿足滿足 TnxxxX,21 , 1 XXT.,2,EHHHXXEHnETT 且且陣陣是是對對稱稱矩矩證證明明階階單單位位矩矩陣陣為為證明證明 TTTXXEH2 TTTXXE2 ,2HXXET .是對稱矩陣是對稱矩陣H2HHHT 22TXXE TTTXXXXXXE44 TTTX

5、XXXXXE44 TTXXXXE44 .E 例例6：.:.0333為對稱陣且不是零矩陣求證矩陣，實階為TijAAAaATTTTTTAAAAAA)(證：31ijkikTaajiAA列元素為：行的31231iikikiikTaaaAA：的主對角線上的元素為233232231322322222122132122111aaabaaabaaab證至少有一個不為零。得對角線三個元素中,Raij思考解答思考解答設(shè)矩陣設(shè)矩陣A與與B為同階對稱陣，證明為同階對稱陣，證明AB是對稱是對稱 陣的充要條件為陣的充要條件為AB=BA.證：證：:TAB)(ABTTTABAB)(又BABAAB :BAAB TTTABAB)

6、(BAAB為對稱陣。AB補(bǔ)充：求矩陣的冪補(bǔ)充：求矩陣的冪cossinsincosA?nA2222sincoscossin2cossin2sincos2cos2sin2sin2coscossinsincoscossinsincos2A) 1cos() 1sin() 1sin() 1cos(1nnnnAn設(shè)cossinsincos) 1cos() 1sin() 1sin() 1cos(1nnnnAAAnn則nnnncossinsincosnnnnAncossinsincos思考解答思考解答 任一任一 階矩陣階矩陣 都可表示成對稱陣都可表示成對稱陣與反對稱陣之和與反對稱陣之和.nA證明證明TAAC 設(shè)設(shè) TTTAA