整式中求陰影圖形面積的數(shù)學(xué)思想

1、整式中求陰影圖形面積的數(shù)學(xué)思想山東沂源縣徐家莊中學(xué) 左效平 張俊芳 256116在整式一章中，經(jīng)常遇到求圖形陰影部分的面積問題?，F(xiàn)在特將求圖形陰影部分面積的數(shù)學(xué)思想歸納如下，供同學(xué)們學(xué)習(xí)時參考。1、運用整體的思想11把分散的圖形重新組合成整體例1、如圖1，某正方形廣場的四角都有一塊半徑相同的四分之一圓形的草地，若圓的半徑為r米，正方形的邊長為a米。（1）請用代數(shù)式表示空地的面積。（2）若正方形的邊長為300米，圓形的半徑為10米，求廣場空地的面積（計算結(jié)果保留）。 分析：正方形的四個角上的四個扇形，因為它們的半徑是相同的，所以，這四個分散的扇形就可以拼成一個半徑為r米的整圓。這樣，陰影部分的面

2、積就等于正方形的面積減去兩個圓的面積。解：1、空地的面積為a2r2（平方米）2、當(dāng)a=300，r=10時，廣場空地的面積為：90000100（平方米）例2、如圖2，四個直角三角形的直角邊的長都是a，正方形的邊長為a，試用整式表示陰影部分的面積。分析：圖中的四個直角三角形，通過平移、旋轉(zhuǎn)等手段，就可以將四個直角三角形拼成兩個邊長為a 的正方形，這樣陰影部分的面積就等于長方形的面積減去三個正方形的面積。解：陰影部分的面積為：xy-3a2。12 把不完整的圖形補成整體例3、如圖3，根據(jù)圖中的信息，求陰影部分的面積。分析：這是一個不規(guī)則的圖形，要想求出陰影部分的面積是不容易計算的。但是，我們發(fā)現(xiàn)這個圖

3、形可以通過線段延長的方法，把原來不完整的圖形補成一個完整的長方形。這樣陰影部分的面積就等于大長方形的面積減去右上角空白長方形的面積。問題解決。解：如圖4，延長線段，把圖形補成一個長方形，則空白長方形的長為b-t，寬為a-t，所以，陰影部分的面積為：ab-（b-t）（a-t）=at+bt-t2。例4、一家住房的結(jié)構(gòu)如圖5，所示，房子的主人打算把臥室以外的部分都鋪上地板磚，至少需要多少平方米的地板磚？如果這種地板磚的價格為a元/平方米，那么購買地板磚至少需要多少元？分析：這是一個不規(guī)則的圖形，陰影部分的面積有三個不同的長方形的面積組成，如果一個一個的去求就會顯得很繁瑣，但是，我們發(fā)現(xiàn)這個圖形可以通

4、過線段延長的方法，把原來不完整的圖形補成一個完整的長方形。這樣陰影部分的面積就等于大長方形的面積減去右上角空白長方形的面積和左上角空白長方形的面積。問題就容易解決。解：如圖6，延長線段，把圖形補成一個長方形，則右上角空白長方形的長為2y，寬為2x，左上角空白長方形的長為y，寬為x，所以，陰影部分的面積為：4x×4y-x×y-2x×2y=11xy平方米，又因為這種地板磚的價格為a元/平方米，所以購買地板磚至少需要11xya元。2、運用分割的思想：把不規(guī)則的圖形分割成幾個不同或相同的規(guī)則圖形。例5如圖7，陰影部分的面積是（ ）ABC D分析：這是一個不規(guī)則的圖形，但是

5、，我們發(fā)現(xiàn)這個圖形可以通過線段延長的方法，把原來不完整的圖形分割成兩個個完整的長方形。這樣陰影部分的面積就等于大長方形的面積加上小長方形的面積。問題就容易解決。解：如圖8，延長線段，把圖形分割成兩個長方形，大長方形的面積為：2y×1.5x=3xy，小長方形的面積為：y×0.5x=0.5xy，所以，陰影部分的面積為：3xy+0.5 xy=3.5xy故選A。3、運用平移的思想：把分散的圖形，通過平移重新組合。例6、如圖9，陰影部分的面積是（ ）分析：這是一個不規(guī)則的圖形，但是，我們發(fā)現(xiàn)這個圖形中，上端兩個小長方形的長是相同的，所以可以通過平移的方法，把這兩個小長方形拼成一個完整

6、的圖形，這個圖形是一個邊長為2a的正方形，這樣陰影部分的面積就等于長方形的面積加上正方形的面積。解：將右上端的長方形平移到左邊，得到一個邊長2a的正方形，下面長方形的長為2a+3b，寬為b，所以，陰影部分的面積為：（2a）2+（2a+3b）×b=4a2+2ab+3b24、運用恒等變形的思想：利用圖形變化前后面積不變的思想來解題。例7、如圖11所示，圖a，表示的是邊長為a的大正方形中剪去一個邊長為b的小正方形，小明將圖a的陰影部分拼成了一個矩形，如圖b。這一過程可以驗證A.a2+b2-2ab=(a-b)2 B.a2+b2+2ab=(a+b)2 C.2a2-3ab+b2=(2a-b)(a

7、-b) D.a2-b2=(a+b) (a-b)aabb圖a圖b(圖11)分析：這是一個面積恒等變形問題。圖形可以有不同的表示方式，但是，圖形的面積是保持不變的。在圖a中，陰影部分的面積為：a2-b2，而在如圖b中陰影部分的面積為：（a+b）（a-b），因為，圖形的面積是保持不變，所以，a2-b2=（a+b）（a-b），因此，這個變形圖形驗證的是a2-b2=（a+b）（a-b）。解：選D。5、運用轉(zhuǎn)化的思想： 把小數(shù)轉(zhuǎn)化成整數(shù)，便于計算。例8、如圖12，求陰影部分的面積。分析：仔細觀察圖形，知道空白長方形的長 3.5a，是個小數(shù)，為此，我們不妨采用對稱的方法，把原來的圖形進行加倍，這樣就得到兩個長為7a，寬為a的長方形和一個長為11a，寬為6a的長方形，兩個面積的差的一半，就是所求陰影部分的面積。解：整個陰影部分的面積為：11a×6a-7a×a×2=52a2；所以，所求陰影部分的面積為26 a2。6、方程的思想例9、如右圖14，四個一樣大的長方形和一個小的正方形拼成一個大正方形，其中大、小正方形的面積分別是64平方米和9平方米.求長方形的長、寬各是多少？解析：真正清楚長方形的長、寬和大正方形、小正方形的邊長的關(guān)系是問題解決的關(guān)鍵。數(shù)形結(jié)合的思想是解決問題的基礎(chǔ)。從