結構力學詳細資料(4)

1、四、靜定結構由于溫度變化及桿件長度制造誤差引起的位移計算靜定結構在溫度變化時會產(chǎn)生變形，但不產(chǎn)生內(nèi)力。計算溫度變化引起的結構位移時，通常假定溫度沿桿件截面高度 h是直線變化的。設桿件兩側表面的溫度改變分別為 ti和12,材料的線膨脹系數(shù)為 a o 則由圖36可知微段的溫度變形為- a ds = 0其中to=( hit 2+ h2ti) / h，為桿件軸線處的溫度改變；A t為桿件兩側表面溫度變化差的絕對值。II應用單位荷載法，將 de t、dut、dn t代入變形體虛力方程I X = S十工+工匕日可i得溫度變化引起的位移計算公式為旺-X atgNjds + 乏如果a、to、A t、h沿桿長不

2、變，則上式為式中A it為結構的擬求位移處沿i方向由溫度變化引起的位移;(3 11)(3 12)3 Ni、3 Mi分別為桿件Ni圖、Mi圖的面積。當Ni及to引起的桿件軸向變形方向相同時，上式等號右邊第一項為正，否則為負；當Mi及溫度變化引起的桿件彎曲方向一致時，上式等號右邊的第二項為正，否則為負。例34圖3 7所示剛架施工時的溫度為30°C,冬季外側溫度為一200C，內(nèi)側溫度為10°C,各桿截面相同，均為矩形截面，截面高度為h,材料的線膨脹系數(shù)為a o試求剛架在冬季溫度時B點的水平位移A BHo各桿外側溫度變化為t 1 = 20 30= 500C內(nèi)側溫度變化為t 2= 1

3、0 30 = 200C于是得各桿的t。、A t為t 0=( ti+t2)/ 2= 350CA t = 300C虛設狀態(tài)的Mi及Ni圖分別如圖3 7b、c所示。由式(3 12)，得A BH= 35 a l 60 a l2/ h在計算中應注意各項正、負號的確定。I1Mi 圖(a)(b)(c)比=1例35圖38a所示桁架的六根下弦桿制造時比設計長度均縮短了ue= 2cm試求桁架在拼裝后結點C的豎向位移A cv。解虛設狀態(tài)如圖3 8b所示，求出有制造誤差的各下弦桿的軸力N后，就可按變形體系虛功原理得- 2)冥4+今(2)X2=- 10cm因為各下弦桿的制造誤差均為縮短，而虛設狀態(tài)中各下弦桿均為受拉，兩

4、者方向相反，故計算結果為 負號，表示C點的豎向位移的實際方向為向上，即C點向上的起拱度為10cmt五、靜定結構由于支座位移引起的位移計算靜定結構在支座位移時，各桿件產(chǎn)生剛體位移，不產(chǎn)生內(nèi)力。這時采用單位荷載法，由變形體系虛功 方程(3 2)，得虛力方程為1 x厶上+濃C二0于是得靜定結構由支座位移 c引起的位移計算公式為(3 13)式中 A ic為結構擬求位移處沿i方向由支座位移 C引起的位移；C為實際的支座位移；Ri為與C相應的 由虛設狀態(tài)的廣義單位力產(chǎn)生的支座反力。當Ri與C的方向一致時，其乘積為正，否則為負。 例3 6 圖39a所示三鉸剛架的支座 B向右移動A BH 6cm,向下移動A

5、BV= 8cm,試求結點E的角位移e e(b)解虛設狀態(tài)及虛設狀態(tài)中支座 B處的反力大小和方向如圖39b所示。于是由式(3 13)可得0 e= 0.015rad所得結果為正，表示 0 E的實際方向與假設的 Mi= 1的方向相同。例3 7圖310所示桁架的支座 B向下移動A BV= C,試求BD桿的角位移0 bd。解虛設狀態(tài)及虛設狀態(tài)中支座B處的反力大小及方向如圖 3 10b所示。于是由式(3 13)可得仔- 一 乞&C，=-(b)圖 3- 10六、彈性體系的互等定理下面四個互等定理，適用于線性彈性體系，線性彈性體系的特征是應力應變之間為線性關系，體系的 位移是微小的，可以應用疊加原理。

6、12= T21(一) 虛功互等定理(3 14)即任一線性彈性體系中，第一狀態(tài)的外力在第二狀態(tài)的位移上所作的虛功Tl2= T21等于第二狀態(tài)的外力在第一狀態(tài)的位移上所作的虛功T21。由虛功原理可以導出下面三個互等定理(二) 位移互等定理S 12 =$ 21(3 15)上式表示同一線性彈性體系由單位荷載 P1= 1所引起的與荷載F2相應的位移3 21等于由單位荷載P2= 1 所引起的與荷載 F相應的位移3 12。這里的荷載可以是廣義荷載，因而位移可以是相應的廣義位移。如圖311a、b 中的 3 12 =3 21 o位移互等定理在力法及其他結構分析的柔度法中得到應用。(三) 反力互等定理R 12=艮

7、1(3 16)上式表示同一線性彈性體系由單位位移Cl = 1所引起的與位移C2相應的反力 甩等于由單位位移C2= 1所引起的與位移 Ci相應的反力R120如圖312a、b中的R2 =甩。反力互等定理只適用于超靜定結構，它在位移法及其他結構分析的剛度法中得到應用。(四) 位移與反力互等定理3 12 =金(3 17)上式表示同一線性彈性體系由單位荷載尸R= 1所引起的與位移C2相應的反力在絕對值上等于由單位位移C2= 1所引起的與荷載 F相應的位移3 12，但兩者相差一個符號。 如圖3 13a、b中的3 12 =艮1。位移與反力互等定理在混合法中得到應用。二 L（6）圖 3 11圖 3- 12ZE

8、：(M圖 3- 13第四節(jié)超靜定結構的受力分析及特性一、超靜定結構的特征及超靜定次數(shù)超靜定結構的幾何特征是除了保證結構的幾何不變性所必須的約束外，還存在多余約 超靜定結構的靜力特征是僅由靜力平衡條件不能唯一地確定全部未知反力和內(nèi)力。結構的多余約束數(shù)或用靜力平衡條件計算全部未知反力和內(nèi)力時所缺少的方程數(shù)稱為 次數(shù)。通常采用去除多余約束的方法來確定結構的超靜定次數(shù)。即去除結構的全部多余約 多余約束的幾何不變體系，這時所去除的約束數(shù)就是結構的超靜定次數(shù)。去除約束的方法有以下幾種：（一）切斷一根兩端鉸接的直桿（或支座鏈桿），相當于去除一個約束。（二）切斷一根兩端剛接的桿件，相當于去除三個約束。束。結構

9、的超靜定束，使之成為無根桿件的鉸），相（三）切斷一一個單鉸（或支座固定鉸），相當于去除二個約束；切斷一個復鉸 （連接當于去除2（n 1）個約束。（四）將單剛結點改為單鉸節(jié)點，相當于去除一個約束；將連接n個桿件的復剛節(jié)點改為復鉸節(jié)點，相當于去除n1個約束。去除一個超靜定結構多余約束的方法可能有幾種，但不管采用哪種方法，所得超靜定次數(shù)一定相同。去除圖4 1a所示超靜定結構的多余約束的方法之一如圖4 1b所示，去除六個多余約束后，就成為靜定結構，故為超靜定六次。再用其他去除多余約束的方案確定其超靜定次數(shù)，結果是相同的。二、力法的基本原理（一）力法基本結構和基本體系去除超靜定結構的多余約束，代以相應的

10、未知力X（i=1、2、n） , X稱為多余未知力或基本未知力，其方向可以任意假定。去除多余約束后的結構稱為力法基本結構。力法基本結構在各多余未知力、外荷載（有時還有溫度變化、支座位移等）共同作用下的體系稱為力法基本體系，它是用力法計算超靜定結構的基礎。選取力法基本結構應注意下面兩點：1 基本結構一般為靜定結構，即無多余約束的幾何不變體系。有時當簡單超靜定結構的解為已知時，也可以將它作為復雜超靜定結構的基本結構，以簡化計算。2選取的基本結構應使力法典型方程中的系數(shù)和自由項的計算盡可能簡便，并盡量使較多的副系數(shù)和自由項等于零。機E十缶談卄比“二J（二）力法典型方程及其意義根據(jù)原結構在荷載、溫度變化

11、、支座位移等因素作用下產(chǎn)生的已知位移與基本結構在各多余未知力以及與原結構相同的荷載、溫度變化、支座位移等因素作用下產(chǎn)生的位移必須相同的條件，由疊加原理，可得n次超靜定結構的力法典型方程為命【x【+辦2X2 + $|盡+ 4加+島t+亠=:$21X1 + 血& + 亠+ 去p + 細 + 加=“2 卜% I I V V I ¥ 4 <11 S y. I f.I'丄卜-k, （4 1）式中Xi為多余未知力（i=1、2、，2）; X釓為基本結構僅由Xj=1為多余未知力（j=1、2、n）產(chǎn)生的沿X方向的位移、為基本結構的柔度系數(shù)； Aip、Ait、Aic分別為基本結構僅

12、由荷載、溫度變化、支座位 移產(chǎn)生的沿X方向的位移，為力法典型方程的自由項； A i為原超靜定結構在荷載、溫度變化、支座位移作 用下的已知位移（如結構邊界處的已知支座位移條件、桿件變形后的已知位移連續(xù)條件等）。力法典型方程（4 1）也稱為變形協(xié)調(diào)方程。其中第一個方程表示基本結構在n個多余未知力、荷載、溫度變化、支座位移等共同作用下， 在X作用點沿X作用方向產(chǎn)生的位移，等于原結構的已知相應位移 A 1; 第二個方程表示基本結構在 n個多余未知力、荷載、溫度變化、支座位移共同作用下，在X2作用點沿茨作用方向產(chǎn)生的位移，等于原結構的已知相應位移 A 2。其余各式的意義可按此類推。各多余未知力X的大小和

13、方向必須受力法典型方程的約束，多余約束力與變形協(xié)調(diào)條件是對應的，故滿足力法典型方程的各多余未知力的解是唯一真實的解。同一超靜定結構，可以選取不同的基本體系，其相應的力法典型方程也就表達了不同的變形協(xié)調(diào)條件。不管選取哪種基本體系，求得的最后內(nèi)力總是相同的。圖4 2a所示體系為一次超靜定結構， 如取圖42b所示的基本體系，則力法典型方程為 3 iiX+A ip=0;對于圖4 2d所示的一次超靜定結構，如取圖4 2e、f所示的基本體系，則相應的力法典型方程分別為 3 11X1 + A ip=O、3 11X1 + A ip= Xi/ kN。圖4 3a所示一次超靜定結構的支座B有已知的豎向位移a,如取圖

14、43b所示的基本體系，力法典型方程為3 11X = a;如取圖4 3c所示的基本體系，力法典型方程為3 11X1 +A 1（=0。圖4 3（三）系數(shù)和自由項的計算力法典型方程中的系數(shù)和自由項都是靜定基本結構僅由單位力、實際荷載、溫度變化、支座位移產(chǎn)生的位移，它們均可按上述各自的定義，用相應的位移計算公式計算。力法典型方程中的系數(shù) 3 ii稱為主系數(shù)，它們恒為正值；3 ij （i工j）稱為副系數(shù)，它們可為正值、負值、也可為零，根據(jù)位移互等定理有3 ij = 3 ji ;各自由項的值可為正值、負值、也可為零。（四）計算超靜定結構的內(nèi)力由力法典型方程求出各多余未知力X后，將X和原荷載作用在基本結構上，再根據(jù)求作靜定結構可通過下述疊加方法，計算內(nèi)力圖的方法，作出基本結構的內(nèi)力圖就是超靜定結構的內(nèi)力圖?；蛘咭步Y構的最后內(nèi)力M - MvXi 十