等腰三角形的性質(zhì)定理和判定定理

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上一. 本周教學(xué)內(nèi)容：等腰三角形的性質(zhì)和判定 二. 教學(xué)目標(biāo)：（一）知識(shí)與技能：（1）掌握等腰三角形的性質(zhì)定理和判定定理，并會(huì)靈活運(yùn)用。    （2）能用上述結(jié)論進(jìn)行分析與說理，進(jìn)行初步的邏輯思維訓(xùn)練，形成一定的推理能力。（二）情感態(tài)度與價(jià)值觀：通過等腰三角形性質(zhì)定理和判定定理的證明體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。 三. 重點(diǎn)、難點(diǎn)：重點(diǎn)是等腰三角形的性質(zhì)定理和判定定理    難點(diǎn)是利用定理解決實(shí)際問題 四. 教學(xué)過程：（一）知識(shí)梳理    知識(shí)點(diǎn)1：等腰三角形的

2、性質(zhì)定理1   （1）文字語言：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)稱“等邊對(duì)等角”）   （2）符號(hào)語言：如圖，在ABC中，因?yàn)锳B=AC，所以B=C    （3）證明：取BC的中點(diǎn)D，連接AD              在ABD和ACD中              

3、0;          ABDACD（SSS）B=C（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）（4）定理的作用：證明同一個(gè)三角形中的兩個(gè)角相等。知識(shí)點(diǎn)2：等腰三角形性質(zhì)定理2（1）文字語言：等腰三角形的頂角平分線，底邊上的中線，底邊上的高，互相重合（簡(jiǎn)稱“三線合一”）（2）符號(hào)語言：AB=AC            AB=AC       

4、60;     AB=AC1=2              ADBC              BD=DCADBC，BD=DC  1=2             1=2B

5、D=DC                ADBC    （3）定理的作用：可證明角相等，線段相等或垂直。    說明：在等腰三角形中經(jīng)常添加輔助線，雖然“頂角的平分線，底邊上的高、底邊上的中線互相重合，如何添加要根據(jù)具體情況來定，作時(shí)只作一條，再根據(jù)性質(zhì)得出另兩條”。    知識(shí)3：等腰三角形的判定定理    （1）文字語言：如

6、果一個(gè)三角形的兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡(jiǎn)寫為“等角對(duì)等邊”）（2）符號(hào)語言：在ABC中B=C     AB=AC    （3）證明：過A作ADBC于D，則ADB=ADC=90°。     在ABD和ACD中     ABDACD （AAS）AB=AC    （4）定理的作用：證明同一個(gè)三角形中的邊相等。    說明：本定理的證明還有其他證明方法（如作頂角的平分線

7、）。證明一個(gè)三角形是等腰三角形的方法有兩種：1、利用定義  2、利用定理。 【典型例題分析】基礎(chǔ)知識(shí)應(yīng)用題：例1. 如圖，已知P、Q是ABC邊BC上兩點(diǎn)，且BP=PQ=AP=AQ=QC，求BAC的度數(shù)。    解：AP=PQ=AQ（已知）APQ是等邊三角形（等邊三角形的定義）APQ=AQP=PAQ=60°（等邊三角形的性質(zhì)）AP=BP（已知）PBA=PAB（等邊對(duì)等角）又APQ=PAB+PBA=60°PBA=PAB=30°同理QAC=30°BAC=PAB+PAQ+QAC=30°+60°

8、+30°=120°解答此類題的步驟如下：（1）利用等邊對(duì)等角根據(jù)已知角的度數(shù)求另一個(gè)角的度數(shù)。    （2）利用三角形內(nèi)角和定理，確定等量關(guān)系，借助等式或方程求解。   例2. 已知：如圖，在ABC中，B=C，D、E、F分別為AB，BC，AC上的點(diǎn)，且BD=CE，DEF=B。求證：DEF是等腰三角形。    證明：B+BDE+BED=180°（三角形內(nèi)角和定理）BED+DEF+FEC=180°（平角性質(zhì)）B=DEF（已知）BDE=FEC（等角的補(bǔ)角相等）在BED和CFE中BD

9、E=FEC中  （已證）BD=CE   （已知）B=C  （已知）BEDCFE （ASA） DE=EF  （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）DEF是等腰三角形  （等腰三角形定義） 綜合應(yīng)用題：例3. 已知：如圖，AC和BD相交于點(diǎn)O，ABCD，OA=OB，求證：OC=OD    證明：ABCD  （已知）A=C，B=D  （兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）OA=OB  （已知）A=B  （等邊對(duì)等角）C=D  （等量代換）OC=OD  （等角對(duì)等邊）&

10、#160;  例4. 如圖，在四邊形ABDC中，AB=2AC，1=2，DA=DB，試判斷DC與AC的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論。證法一：證明：作DEAB于EDA=DBDEABAE=BE=AB=2ACAE=AC在AED和ACD中AEDACDC=AED=90°DC與AC的位置關(guān)系為：DCAC證法二：證明：延長AC到F，使CF=AC，連結(jié)DFAB=2AC，AF=2ACAB=AF在ABD和AFD中ABDAFDDF=DBDA=DBDA=DF又AC=CFDCAF說明：法一是利用了“截長法”即在長線段AB上截取AE=AB法二是利用了“補(bǔ)短法”即在短線段AC上補(bǔ)足AF=AB，從而達(dá)到解決問題

11、的目的。 例5. 求證：等腰三角形兩腰上的中線相等 解：已知：如圖所示，在ABC中，AB=AC，BD，CE是ABC的中線求證：BD=CE證明：BD，CE是ABC的中線AE=AB，AD=ACAB=ACAE=AD在ABD和ACE中ABDACE（SAS）BD=CE（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）    說明：這是一個(gè)證明文字?jǐn)⑹龅膸缀蚊}的題目，做這類題時(shí)首先要分清題設(shè)，結(jié)論，畫出草圖，結(jié)合圖形寫出：已知、求證、然后再證明。 例6. 如圖，點(diǎn)C為線段AB上的一點(diǎn)，ACM，BCN是等邊三角形，AN，MC相交于點(diǎn)E，CN與BM相交于點(diǎn)F。（1）求證AN=BM（

12、2）求證CEF為等邊三角形證明：（1）ACM，CBN是等邊三角形AC=MC，CN=CB，ACM=NCB=60°ACN=BCM=120°在ACN和MCB中ACNMCB（SAS）AN=BM（2）由（1）中ACNMCBANC=MBC在CEN和CFB中CENCFB（ASA）CECF又ECF60°CEF為等邊三角形 例7. 下面是數(shù)學(xué)課堂的一個(gè)學(xué)習(xí)片斷，閱讀后，請(qǐng)回答下面的問題：學(xué)習(xí)等腰三角形有關(guān)內(nèi)容后，蘇老師請(qǐng)同學(xué)們交流討論這樣一個(gè)問題：“已知，等腰三角形ABC的角A等于30°，請(qǐng)你求出其余兩角?！蓖瑢W(xué)們經(jīng)片刻的思考與交流后，李明舉手講：“其余兩角30

13、°和120°，”衛(wèi)華同學(xué)說：“其余兩角是75°和75°”還有一些同學(xué)也提出了不同的看法（1）假如你也在課堂中，你的意見如何？為什么？（2）通過上面數(shù)學(xué)問題的討論，你有什么感受？（用一句話表示）解略 【模擬試題】（答題時(shí)間：25分鐘）1. 等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30°，則頂角的度數(shù)為（    ）A. 60°     B. 120°     C. 60°或150° &

14、#160;  D. 60°或120°2. 如圖，ABC中AB=AC，點(diǎn)D在AC邊上，且BD=BC=AD，則A的度數(shù)為（    ）A. 30°            B. 36°            C. 95°      

15、60;     D. 70°3. 如圖，ABC中，ADBC于D，BEAC于E，AD與BE相交于F，若BF=AC，那么ABC的大小是 （    ）A. 40°          B. 45°           C. 50°      

16、60;   D. 60°4. 聰明的小明用含有30°角的兩個(gè)完全相同的三角板拼成如圖所示的圖案，并發(fā)現(xiàn)圖中有等腰三角形，請(qǐng)你幫他找出兩個(gè)等腰三角形：                                   。

17、5. 如圖，一個(gè)頂角為40°的等腰三角形紙片，剪去頂角后，得到一個(gè)四邊形，則1+2=           度。6. 在ABC中，AB=AC，AB邊的垂直平分線與AC所在直線相交所得的銳角為40°，則底角B的大小為            。7. 如圖，已知ABC為等邊三角形，D、E、F分別在邊BC、CA、AB上，且DEF是等邊三角形（1）除已知相等的邊以外，請(qǐng)你猜想還有哪些相等的線段，并證明你的猜想是正確的。（2）你所證明相等的線段可以通過怎么樣的變化相互得到？寫出變化過程?！驹囶}答案】1. D  &