化工數(shù)學(xué)在化學(xué)與化工中的應(yīng)用

1、第六章 化工數(shù)學(xué)在化學(xué)與化工中的應(yīng)用 線性代數(shù)復(fù)習(xí)總結(jié)線性代數(shù)復(fù)習(xí)總結(jié) 在化學(xué)與化工中的應(yīng)用實(shí)例在化學(xué)與化工中的應(yīng)用實(shí)例 體會(huì)學(xué)習(xí)體會(huì)學(xué)習(xí)化工數(shù)學(xué)化工數(shù)學(xué)的意義的意義線性代數(shù)總結(jié)線性代數(shù)總結(jié)向量、向量組與向量、向量組與線性方程組線性方程組 行列式行列式矩陣矩陣方陣的特征值和特征向量方陣的特征值和特征向量線性空間線性空間 第二章第二章克萊姆法則克萊姆法則 線性方程組線性方程組 矩陣的初等變換矩陣的初等變換矩陣的秩矩陣的秩向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性 向量組的秩向量組的秩線性方程組的解的結(jié)構(gòu)線性方程組的解的結(jié)構(gòu) 維數(shù)、基與坐標(biāo)維數(shù)、基與坐標(biāo) 線性變換線性變換 第一章第一章第三章第三章第四章

2、第四章第五章第五章一、行列式一、行列式第一節(jié)第一節(jié) 二階和三階行列式二階和三階行列式第二節(jié)第二節(jié) n n階行列式定義及性質(zhì)階行列式定義及性質(zhì)第三節(jié)第三節(jié) n n階行列式的計(jì)算階行列式的計(jì)算第四節(jié)第四節(jié) 克萊姆法則克萊姆法則重點(diǎn)是計(jì)算，利用性質(zhì)熟練準(zhǔn)確的重點(diǎn)是計(jì)算，利用性質(zhì)熟練準(zhǔn)確的計(jì)算出行列式的值計(jì)算出行列式的值二、矩陣二、矩陣第一節(jié)第一節(jié) 高斯消元法，矩陣，高斯消元法，矩陣， 矩陣的初等變換矩陣的初等變換第二節(jié)第二節(jié) 矩陣的運(yùn)算矩陣的運(yùn)算第三節(jié)第三節(jié) 可逆矩陣可逆矩陣第四節(jié)第四節(jié) 矩陣的分塊矩陣的分塊第五節(jié)第五節(jié) 矩陣的秩，初等矩陣矩陣的秩，初等矩陣重點(diǎn)是：重點(diǎn)是：1概念（可逆陣、伴隨陣、概

3、念（可逆陣、伴隨陣、分塊陣、初等陣）分塊陣、初等陣）2運(yùn)算（矩陣的符號(hào)運(yùn)算、運(yùn)算（矩陣的符號(hào)運(yùn)算、具體矩陣的數(shù)值運(yùn)算）具體矩陣的數(shù)值運(yùn)算） 意義？意義？ 書寫符號(hào)不一樣。書寫符號(hào)不一樣。行列式是一個(gè)數(shù)值，而矩陣是一個(gè)數(shù)表。行列式是一個(gè)數(shù)值，而矩陣是一個(gè)數(shù)表。行列式的行數(shù)和列數(shù)必須相等，而矩陣的行行列式的行數(shù)和列數(shù)必須相等，而矩陣的行數(shù)和列數(shù)可以不相等。數(shù)和列數(shù)可以不相等。行列式和矩陣的區(qū)別行列式和矩陣的區(qū)別三、向量和方程組三、向量和方程組第一節(jié)第一節(jié) n n 維向量與線性相關(guān)性維向量與線性相關(guān)性第二節(jié)第二節(jié) 向量組的秩數(shù)向量組的秩數(shù) 第三節(jié)第三節(jié) 齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)第

4、四節(jié)第四節(jié) 非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)重點(diǎn)是：重點(diǎn)是：1、線性相關(guān)（無(wú)關(guān)）的概念、線性相關(guān)（無(wú)關(guān)）的概念及幾個(gè)相關(guān)定理及幾個(gè)相關(guān)定理2、向量組的極大無(wú)關(guān)組，等價(jià)向量組、向量組的極大無(wú)關(guān)組，等價(jià)向量組、向量組及矩陣的秩的概念及相互關(guān)系向量組及矩陣的秩的概念及相互關(guān)系鏈接鏈接1.ppt四、矩陣的特征值和特征向量四、矩陣的特征值和特征向量第一節(jié)第一節(jié) 特征值和特征向量的概念特征值和特征向量的概念第二節(jié)第二節(jié) 特征值和特征向量的基本求法特征值和特征向量的基本求法第三節(jié)第三節(jié) 特征值和特征向量的基本性質(zhì)特征值和特征向量的基本性質(zhì)重點(diǎn)是：重點(diǎn)是：1、會(huì)求特征值和特征向量、會(huì)求特征值和

5、特征向量2、注意特征值和特征向量、注意特征值和特征向量的性質(zhì)及其應(yīng)用的性質(zhì)及其應(yīng)用2 矩陣矩陣 A 的特征值為的特征值為 0齊次線性方程組齊次線性方程組 0XAE)(0的非零解的非零解X 0|0 AE1 實(shí)矩陣實(shí)矩陣 A 有特征向量有特征向量 X , 對(duì)應(yīng)的特征值為對(duì)應(yīng)的特征值為0四、矩陣的特征值和特征向量四、矩陣的特征值和特征向量五、線性空間和線性變換五、線性空間和線性變換第一節(jié)第一節(jié) 線性空間的概念線性空間的概念第二節(jié)第二節(jié) 線性空間的基、維數(shù)和坐標(biāo)線性空間的基、維數(shù)和坐標(biāo)第三節(jié)第三節(jié) 線性變換線性變換第四節(jié)第四節(jié) 線性變換與矩陣線性變換與矩陣重點(diǎn)是：重點(diǎn)是：1、基本概念清楚、基本概念清楚

6、2、計(jì)算熟練、計(jì)算熟練6.1 化學(xué)計(jì)量矩陣與化學(xué)平衡問(wèn)題化學(xué)計(jì)量矩陣與化學(xué)平衡問(wèn)題6.2 因次分析中的應(yīng)用因次分析中的應(yīng)用6.3 化學(xué)反應(yīng)系統(tǒng)中的應(yīng)用化學(xué)反應(yīng)系統(tǒng)中的應(yīng)用6.4 簡(jiǎn)單不可逆連續(xù)反應(yīng)系統(tǒng)簡(jiǎn)單不可逆連續(xù)反應(yīng)系統(tǒng) 研究在研究在CO2和和H2O存在下，由存在下，由CO與與H2合成甲合成甲醇的反應(yīng)。醇的反應(yīng)。（1） 寫出反應(yīng)的原子矩陣形式；寫出反應(yīng)的原子矩陣形式；（2） 求原子矩陣的秩求原子矩陣的秩（3） 確定反應(yīng)確定反應(yīng)a1CH3OH+a2CO+a3H2+a4CO2+a5H2O=0的一套計(jì)量系數(shù)，即確定一組完整的獨(dú)立反應(yīng)組。的一套計(jì)量系數(shù)，即確定一組完整的獨(dú)立反應(yīng)組。引例 ？ ？1、用

7、矩陣對(duì)物質(zhì)進(jìn)行表示。例例1：由三種元素：由三種元素H，C和和O組成的組成的三種物質(zhì)三種物質(zhì)CO2，H2O和和H2CO3的混的混合物，寫出其原子矩陣形式的表示合物，寫出其原子矩陣形式的表示式式。線性代數(shù)線性代數(shù) 第六章第六章 在化工中的應(yīng)用實(shí)例在化工中的應(yīng)用實(shí)例 6.16.16.1 化學(xué)計(jì)量矩陣與化學(xué)平衡問(wèn)題化學(xué)計(jì)量矩陣與化學(xué)平衡問(wèn)題 在對(duì)物質(zhì)和物質(zhì)間的反應(yīng)進(jìn)行表示時(shí)，在對(duì)物質(zhì)和物質(zhì)間的反應(yīng)進(jìn)行表示時(shí)，假定給定假定給定n個(gè)原子的總和，由這些原子構(gòu)成所個(gè)原子的總和，由這些原子構(gòu)成所討論的分子。用討論的分子。用Bj表示相應(yīng)于每個(gè)原子（用表示相應(yīng)于每個(gè)原子（用j標(biāo)記）的排列有序的數(shù)和，它由標(biāo)記）的排列

8、有序的數(shù)和，它由0 0和和1 1構(gòu)成，其構(gòu)成，其本質(zhì)即原子的符號(hào)。于是，由這些原子組成的本質(zhì)即原子的符號(hào)。于是，由這些原子組成的Ai物質(zhì)的分子向量可表示為：物質(zhì)的分子向量可表示為： （1 1）其中其中 是是Ai分子中分子中Bj原子的數(shù)目。稱具有整原子的數(shù)目。稱具有整系數(shù)系數(shù) 的向量式（的向量式（1）為分子式或分子。）為分子式或分子。1niijjjABijij線性代數(shù)線性代數(shù) 第六章第六章 在化工中的應(yīng)用實(shí)例在化工中的應(yīng)用實(shí)例 6.16.16.1 化學(xué)計(jì)量矩陣與化學(xué)平衡問(wèn)題化學(xué)計(jì)量矩陣與化學(xué)平衡問(wèn)題 由原子由原子 組成的組成的 分子分子的總和可用以下方程組寫出：的總和可用以下方程組寫出： （2

9、2） 12,nB BB12,NA AA1112211njjjnjjjnNNjjjABABAB線性代數(shù)線性代數(shù) 第六章第六章 在化工中的應(yīng)用實(shí)例在化工中的應(yīng)用實(shí)例 6.16.16.1 化學(xué)計(jì)量矩陣與化學(xué)平衡問(wèn)題化學(xué)計(jì)量矩陣與化學(xué)平衡問(wèn)題若記若記 （3 3）則式（則式（2121）可寫成矩陣乘法的形式，即）可寫成矩陣乘法的形式，即 （4 4）1122NAA A=AnBBBB111121n1221222n2N1N2NnA A A= A NnBBB線性代數(shù)線性代數(shù) 第六章第六章 在化工中的應(yīng)用實(shí)例在化工中的應(yīng)用實(shí)例 6.16.16.1 化學(xué)計(jì)量矩陣與化學(xué)平衡問(wèn)題化學(xué)計(jì)量矩陣與化學(xué)平衡問(wèn)題或?qū)懗苫驅(qū)懗?（

10、5 5）其中其中 表示由數(shù)表示由數(shù) 組成的組成的 矩陣，矩陣，稱其為稱其為原子矩陣原子矩陣。 線性代數(shù)線性代數(shù) 第六章第六章 在化工中的應(yīng)用實(shí)例在化工中的應(yīng)用實(shí)例 6.16.16.1 化學(xué)計(jì)量矩陣與化學(xué)平衡問(wèn)題化學(xué)計(jì)量矩陣與化學(xué)平衡問(wèn)題ABijNn原子矩陣原子矩陣?yán)?：由三種元素：由三種元素H，C和和O組成的三種物質(zhì)組成的三種物質(zhì)CO2，H2O和和H2CO3的混合物，寫出其原子的混合物，寫出其原子矩陣形式的表示式。矩陣形式的表示式。2223COH OH CO0 1 22 0 12 1 3HCO0 1 22 0 12 1 3原子矩陣為原子矩陣為線性代數(shù)線性代數(shù) 第六章第六章 在化工中的應(yīng)用實(shí)例

11、在化工中的應(yīng)用實(shí)例 6.16.16.1 化學(xué)計(jì)量矩陣與化學(xué)平衡問(wèn)題化學(xué)計(jì)量矩陣與化學(xué)平衡問(wèn)題 研究在研究在CO2和和H2O存在下，由存在下，由CO與與H2合成甲合成甲醇的反應(yīng)。醇的反應(yīng)。（1） 寫出反應(yīng)的原子矩陣形式；寫出反應(yīng)的原子矩陣形式；（2） 求原子矩陣的秩求原子矩陣的秩（3） 確定反應(yīng)確定反應(yīng)a1CH3OH+a2CO+a3H2+a4CO2+a5H2O=0的一套計(jì)量系數(shù)，即確定一組完整的獨(dú)立反應(yīng)組。的一套計(jì)量系數(shù)，即確定一組完整的獨(dú)立反應(yīng)組。引例線性代數(shù)線性代數(shù) 第六章第六章 在化工中的應(yīng)用實(shí)例在化工中的應(yīng)用實(shí)例 6.16.16.1 化學(xué)計(jì)量矩陣與化學(xué)平衡問(wèn)題化學(xué)計(jì)量矩陣與化學(xué)平衡問(wèn)題2

12、、用線性空間對(duì)物質(zhì)和物質(zhì)間的反應(yīng)進(jìn)行表示。例例2：求含有物質(zhì)求含有物質(zhì)CO2，H2O和和H2CO3的子空間的維數(shù)，基底和坐標(biāo)。的子空間的維數(shù)，基底和坐標(biāo)。線性代數(shù)線性代數(shù) 第六章第六章 在化工中的應(yīng)用實(shí)例在化工中的應(yīng)用實(shí)例 6.16.16.1 化學(xué)計(jì)量矩陣與化學(xué)平衡問(wèn)題化學(xué)計(jì)量矩陣與化學(xué)平衡問(wèn)題0 1 20 1 22 0 12 0 12 1 30 0 0 初等行變換2223COH OH CO0 1 22 0 12 1 3HCO解：解： r( )2 故其秩為線性代數(shù)線性代數(shù) 第六章第六章 在化工中的應(yīng)用實(shí)例在化工中的應(yīng)用實(shí)例 6.16.16.1 化學(xué)計(jì)量矩陣與化學(xué)平衡問(wèn)題化學(xué)計(jì)量矩陣與化學(xué)平衡問(wèn)

13、題12311 0 2 0 12r 0 1 2 r 0 1 20 0 00 0 0 即原子矩陣中第三列即原子矩陣中第三列 可用第一列可用第一列 和第二列和第二列 線性表示，故含有物質(zhì)線性表示，故含有物質(zhì)CO2，H2O和H2CO3的子空的子空間的維數(shù)等于間的維數(shù)等于2312線性代數(shù)線性代數(shù) 第六章第六章 在化工中的應(yīng)用實(shí)例在化工中的應(yīng)用實(shí)例 6.16.16.1 化學(xué)計(jì)量矩陣與化學(xué)平衡問(wèn)題化學(xué)計(jì)量矩陣與化學(xué)平衡問(wèn)題31210211202 1222000 1線性代數(shù)線性代數(shù) 第六章第六章 在化工中的應(yīng)用實(shí)例在化工中的應(yīng)用實(shí)例 6.16.16.1 化學(xué)計(jì)量矩陣與化學(xué)平衡問(wèn)題化學(xué)計(jì)量矩陣與化學(xué)平衡問(wèn)題由于

14、由于所以所以即即222322230 111 0 2 020 1 22 10 111 0 2 020 1 22 1COHH OCOH COCOH OH CO 0 11()2 02(C+2O)2 1HO BA線性代數(shù)線性代數(shù) 第六章第六章 在化工中的應(yīng)用實(shí)例在化工中的應(yīng)用實(shí)例 6.16.16.1 化學(xué)計(jì)量矩陣與化學(xué)平衡問(wèn)題化學(xué)計(jì)量矩陣與化學(xué)平衡問(wèn)題所以，可將結(jié)構(gòu)片斷所以，可將結(jié)構(gòu)片斷 和和 作為由物質(zhì)作為由物質(zhì)CO2，H2O和和H2CO3構(gòu)成的子空間的基底。第一個(gè)構(gòu)成的子空間的基底。第一個(gè) 片斷可寫為片斷可寫為 ，第二個(gè)片斷可寫為，第二個(gè)片斷可寫為 ，在，在該子空間的基底中，分子該子空間的基底中，

15、分子(向量向量)的總和可表示為的總和可表示為12HO2CO212H O2CO2222230 11 01 1COH OH OCOH CO線性代數(shù)線性代數(shù) 第六章第六章 在化工中的應(yīng)用實(shí)例在化工中的應(yīng)用實(shí)例 6.16.16.1 化學(xué)計(jì)量矩陣與化學(xué)平衡問(wèn)題化學(xué)計(jì)量矩陣與化學(xué)平衡問(wèn)題3、用矩陣對(duì)化學(xué)反應(yīng)方程組進(jìn)行表示。例例3：寫出由四種物質(zhì)寫出由四種物質(zhì)CH4，CH2O，O2和和H2O所組成的集合的一套化學(xué)計(jì)所組成的集合的一套化學(xué)計(jì)量系數(shù)。量系數(shù)。線性代數(shù)線性代數(shù) 第六章第六章 在化工中的應(yīng)用實(shí)例在化工中的應(yīng)用實(shí)例 6.16.16.1 化學(xué)計(jì)量矩陣與化學(xué)平衡問(wèn)題化學(xué)計(jì)量矩陣與化學(xué)平衡問(wèn)題 定理定理 如

16、果分子如果分子 的原子矩陣的原子矩陣的秩為的秩為m，則這些分子必處于，則這些分子必處于m維的空間維的空間Rm中。中。 (1,2,)iAiM線性代數(shù)線性代數(shù) 第六章第六章 在化工中的應(yīng)用實(shí)例在化工中的應(yīng)用實(shí)例 6.16.16.1 化學(xué)計(jì)量矩陣與化學(xué)平衡問(wèn)題化學(xué)計(jì)量矩陣與化學(xué)平衡問(wèn)題 向量空間向量空間Rn包括了所有可能的由原子包括了所有可能的由原子構(gòu)成的物質(zhì)。例如，碳?xì)浠衔锞涂煽醋魇怯蓛深悩?gòu)成的物質(zhì)。例如，碳?xì)浠衔锞涂煽醋魇怯蓛深愒貧浜吞紭?gòu)成的元素氫和碳構(gòu)成的,即某空間即某空間Rn中的子集合中的子集合 。所以，重要的問(wèn)題是確定一子空。所以，重要的問(wèn)題是確定一子空間間Rm,而子集合而子集合 處

17、于子空間處于子空間Rm中。中。定理定理 如果分子如果分子 的原子矩陣的原子矩陣的秩為的秩為m，則這些分子必處于，則這些分子必處于m維的空間維的空間Rm中。中。12,nB BB (1,2,)iAiM12,MA AA (1,2,)iAiM 如果如果 ，則不失一般性，可設(shè)矩陣，則不失一般性，可設(shè)矩陣的的前前m列線性無(wú)關(guān)，并用它們表示其余的列線性無(wú)關(guān)，并用它們表示其余的(n-m)列。列。用用 表示矩陣表示矩陣的相應(yīng)列向量，的相應(yīng)列向量，依上所述，則有：依上所述，則有：線性代數(shù)線性代數(shù) 第六章第六章 在化工中的應(yīng)用實(shí)例在化工中的應(yīng)用實(shí)例 6.16.16.1 化學(xué)計(jì)量矩陣與化學(xué)平衡問(wèn)題化學(xué)計(jì)量矩陣與化學(xué)平

18、衡問(wèn)題( )rm121,mmn 11,111,221,1122mmmmmmnnnnmm 其中其中 是相應(yīng)的線性無(wú)關(guān)向量線性組合的是相應(yīng)的線性無(wú)關(guān)向量線性組合的系數(shù)。系數(shù)矩陣為：系數(shù)。系數(shù)矩陣為：1,mj線性代數(shù)線性代數(shù) 第六章第六章 在化工中的應(yīng)用實(shí)例在化工中的應(yīng)用實(shí)例 6.16.16.1 化學(xué)計(jì)量矩陣與化學(xué)平衡問(wèn)題化學(xué)計(jì)量矩陣與化學(xué)平衡問(wèn)題 若用若用 表示由線性無(wú)關(guān)的列向量表示由線性無(wú)關(guān)的列向量所組成的矩陣，不難證明所組成的矩陣，不難證明 (6) 物質(zhì)分子的矩陣形式為物質(zhì)分子的矩陣形式為 (7) (6)式代入式代入(7),得得 (8) m+1,1m+2,1n1m+1,2m+2,2n2m+1,

19、mm+2,mnm1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 12,m ABAB即即 (9) 其中列向量其中列向量 的元素是式的元素是式(4)(4)中列向量中列向量B B的元素的線性組合。因?yàn)橥ㄟ^(guò)它們表示所有的元素的線性組合。因?yàn)橥ㄟ^(guò)它們表示所有的分子的分子Ai i，則它們就組成了子空間，則它們就組成了子空間Rm的基底，的基底，其中包括所研究的分子其中包括所研究的分子 。 線性代數(shù)線性代數(shù) 第六章第六章 在化工中的應(yīng)用實(shí)例在化工中的應(yīng)用實(shí)例 6.16.16.1 化學(xué)計(jì)量矩陣與化學(xué)平衡問(wèn)題化學(xué)計(jì)量矩陣與化學(xué)平衡問(wèn)題ABB12,MA AA子空間的基底子空間的基底 對(duì)于處在子空間對(duì)于處在子空間Rm

20、中的物質(zhì)集合中的物質(zhì)集合 ，利用式，利用式(1)（4）總可以）總可以選擇選擇m個(gè)線性無(wú)關(guān)的元素個(gè)線性無(wú)關(guān)的元素 ，它們構(gòu)成了，它們構(gòu)成了該子空間的基底此時(shí)原子矩陣該子空間的基底此時(shí)原子矩陣 表示該表示該基底里的物質(zhì)基底里的物質(zhì) 的和，而的和，而 的秩為的秩為m(m個(gè)線性無(wú)關(guān)的行和列個(gè)線性無(wú)關(guān)的行和列)?，F(xiàn)設(shè)。現(xiàn)設(shè) 的前的前m行線性無(wú)關(guān)，則行線性無(wú)關(guān)，則m十十1，m十十2,，M行可用前行可用前m行的線性組合表示，得到行的線性組合表示，得到(Mm)個(gè)方程個(gè)方程 線性代數(shù)線性代數(shù) 第六章第六章 在化工中的應(yīng)用實(shí)例在化工中的應(yīng)用實(shí)例 6.16.16.1 化學(xué)計(jì)量矩陣與化學(xué)平衡問(wèn)題化學(xué)計(jì)量矩陣與化學(xué)平衡

21、問(wèn)題 (1,2,)iAiMjB12,MA AA線性代數(shù)線性代數(shù) 第六章第六章 在化工中的應(yīng)用實(shí)例在化工中的應(yīng)用實(shí)例 6.16.16.1 化學(xué)計(jì)量矩陣與化學(xué)平衡問(wèn)題化學(xué)計(jì)量矩陣與化學(xué)平衡問(wèn)題11,11100mmiimMiiaAia Ai（10）線性代數(shù)線性代數(shù) 第六章第六章 在化工中的應(yīng)用實(shí)例在化工中的應(yīng)用實(shí)例 6.16.16.1 化學(xué)計(jì)量矩陣與化學(xué)平衡問(wèn)題化學(xué)計(jì)量矩陣與化學(xué)平衡問(wèn)題式式(10)的形式與一般化學(xué)反應(yīng)方程組是一致的，故的形式與一般化學(xué)反應(yīng)方程組是一致的，故可將方程組可將方程組(10)作為物質(zhì)作為物質(zhì)(反應(yīng)物反應(yīng)物) 的集合上的化學(xué)反應(yīng)方程組。顯然，表示原子矩陣的集合上的化學(xué)反應(yīng)方程

22、組。顯然，表示原子矩陣 的行之間的線性關(guān)系的齊次方程的最小數(shù)目為的行之間的線性關(guān)系的齊次方程的最小數(shù)目為(M-m)，其中，其中M是所研究體系中反應(yīng)物是所研究體系中反應(yīng)物 的數(shù)目的數(shù)目,m是是它的原子矩陣的秩。把這些方程進(jìn)行相互組合，可它的原子矩陣的秩。把這些方程進(jìn)行相互組合，可得到該反應(yīng)物集合上的任何化學(xué)反應(yīng)的方程，所以，得到該反應(yīng)物集合上的任何化學(xué)反應(yīng)的方程，所以，對(duì)于描寫對(duì)于描寫M個(gè)反應(yīng)物體系中的化學(xué)反應(yīng)所必須的最個(gè)反應(yīng)物體系中的化學(xué)反應(yīng)所必須的最小反應(yīng)數(shù)目為（小反應(yīng)數(shù)目為（M-m)。12,mA AAiA線性代數(shù)線性代數(shù) 第六章第六章 在化工中的應(yīng)用實(shí)例在化工中的應(yīng)用實(shí)例 6.16.16.

23、1 化學(xué)計(jì)量矩陣與化學(xué)平衡問(wèn)題化學(xué)計(jì)量矩陣與化學(xué)平衡問(wèn)題對(duì)于規(guī)則反應(yīng)有：對(duì)于規(guī)則反應(yīng)有： （11）其中其中i是參加反應(yīng)物質(zhì)的序號(hào)，是參加反應(yīng)物質(zhì)的序號(hào)，k是反應(yīng)的序號(hào)。對(duì)給定體是反應(yīng)的序號(hào)。對(duì)給定體系中的化學(xué)反應(yīng)，可將化學(xué)計(jì)量系數(shù)寫成向量的形式系中的化學(xué)反應(yīng)，可將化學(xué)計(jì)量系數(shù)寫成向量的形式 （12）所以該體系中所有反應(yīng)總和的矩陣所以該體系中所有反應(yīng)總和的矩陣 為為 （13）0kiia Ai 12 TkkkkMa11112121222212 TMTMTkkkMkaaaaaaaaaa化學(xué)計(jì)量矩陣化學(xué)計(jì)量矩陣引入?yún)⒓臃磻?yīng)物質(zhì)引入?yún)⒓臃磻?yīng)物質(zhì)( (分子分子) )的列向量的列向量A （14）于是式（于是

24、式（11）寫成）寫成 （15）或者對(duì)所有的反應(yīng)寫為或者對(duì)所有的反應(yīng)寫為 （16）借助原子矩陣，使其變成原子的組合，即借助原子矩陣，使其變成原子的組合，即線性代數(shù)線性代數(shù) 第六章第六章 在化工中的應(yīng)用實(shí)例在化工中的應(yīng)用實(shí)例 6.16.16.1 化學(xué)計(jì)量矩陣與化學(xué)平衡問(wèn)題化學(xué)計(jì)量矩陣與化學(xué)平衡問(wèn)題12 mAAAA0TkA0aA 0 0TkABBB或于是在獨(dú)立原子組合條件下可得到于是在獨(dú)立原子組合條件下可得到 （17） （18）所以，對(duì)標(biāo)以所以，對(duì)標(biāo)以k的每個(gè)反應(yīng)。都存在同樣相對(duì)于的每個(gè)反應(yīng)。都存在同樣相對(duì)于 的線性方程組的線性方程組(17)，這個(gè)方程組完全符合眾所，這個(gè)方程組完全符合眾所周知的化學(xué)

25、反應(yīng)方程組的一般原則，即化學(xué)反應(yīng)周知的化學(xué)反應(yīng)方程組的一般原則，即化學(xué)反應(yīng)式左邊的某種原子數(shù)及電荷數(shù)等于右邊的該原子式左邊的某種原子數(shù)及電荷數(shù)等于右邊的該原子數(shù)及電荷數(shù)數(shù)及電荷數(shù)線性代數(shù)線性代數(shù) 第六章第六章 在化工中的應(yīng)用實(shí)例在化工中的應(yīng)用實(shí)例 6.16.16.1 化學(xué)計(jì)量矩陣與化學(xué)平衡問(wèn)題化學(xué)計(jì)量矩陣與化學(xué)平衡問(wèn)題0Tk0 ki線性代數(shù)線性代數(shù) 第六章第六章 在化工中的應(yīng)用實(shí)例在化工中的應(yīng)用實(shí)例 6.16.16.1 化學(xué)計(jì)量矩陣與化學(xué)平衡問(wèn)題化學(xué)計(jì)量矩陣與化學(xué)平衡問(wèn)題4、用化學(xué)計(jì)量矩陣對(duì)化學(xué)反應(yīng)進(jìn)行表示。例例3：寫出由四種物質(zhì)：寫出由四種物質(zhì)CH4，CH2O，O2和和H2O所組成的集合的一

26、套化學(xué)計(jì)量系數(shù)。所組成的集合的一套化學(xué)計(jì)量系數(shù)。解：解：線性代數(shù)線性代數(shù) 第六章第六章 在化工中的應(yīng)用實(shí)例在化工中的應(yīng)用實(shí)例 6.16.16.1 化學(xué)計(jì)量矩陣與化學(xué)平衡問(wèn)題化學(xué)計(jì)量矩陣與化學(xué)平衡問(wèn)題4222H B= COCHCH OAOH O原子矩陣寫為原子矩陣寫為4 1 02 1 10 0 22 0 1求得求得 ，所以存在一個(gè)獨(dú)立的化學(xué)反，所以存在一個(gè)獨(dú)立的化學(xué)反應(yīng)。由式應(yīng)。由式(18)，寫出方程組，寫出方程組 線性代數(shù)線性代數(shù) 第六章第六章 在化工中的應(yīng)用實(shí)例在化工中的應(yīng)用實(shí)例 6.16.16.1 化學(xué)計(jì)量矩陣與化學(xué)平衡問(wèn)題化學(xué)計(jì)量矩陣與化學(xué)平衡問(wèn)題( )3r12 344 1 02 1 1

27、 00 0 22 0 1即：即：解該方程組得：解該方程組得：所以對(duì)上述物質(zhì)的體系，獨(dú)立反應(yīng)具有所以對(duì)上述物質(zhì)的體系，獨(dú)立反應(yīng)具有的形式，即的形式，即線性代數(shù)線性代數(shù) 第六章第六章 在化工中的應(yīng)用實(shí)例在化工中的應(yīng)用實(shí)例 6.16.16.1 化學(xué)計(jì)量矩陣與化學(xué)平衡問(wèn)題化學(xué)計(jì)量矩陣與化學(xué)平衡問(wèn)題1241223442 +2a =0 =0 +2a + a =0aaaaa24131=a =- , a =aaa141212120aCHaOaCH Oa H O4222CHOCH OH O線性代數(shù)線性代數(shù) 第六章第六章 在化工中的應(yīng)用實(shí)例在化工中的應(yīng)用實(shí)例 6.16.16.1 化學(xué)計(jì)量矩陣與化學(xué)平衡問(wèn)題化學(xué)計(jì)量

28、矩陣與化學(xué)平衡問(wèn)題對(duì)于規(guī)則反應(yīng)有：對(duì)于規(guī)則反應(yīng)有： （6）其中其中i是參加反應(yīng)物質(zhì)的序號(hào)，是參加反應(yīng)物質(zhì)的序號(hào)，k是反應(yīng)的序號(hào)。對(duì)給定體是反應(yīng)的序號(hào)。對(duì)給定體系中的化學(xué)反應(yīng)，可將化學(xué)計(jì)量系數(shù)寫成向量的形式系中的化學(xué)反應(yīng)，可將化學(xué)計(jì)量系數(shù)寫成向量的形式 （7）所以該體系中所有反應(yīng)總和的矩陣所以該體系中所有反應(yīng)總和的矩陣 為為 （8）0kiia Ai 12 TkkkkM11112121222212 TMTMTkkkMk化學(xué)計(jì)量矩陣化學(xué)計(jì)量矩陣引入?yún)⒓臃磻?yīng)物質(zhì)引入?yún)⒓臃磻?yīng)物質(zhì)( (分子分子) )的列向量的列向量A （9）于是式（于是式（6）寫成）寫成 （10）或者對(duì)所有的反應(yīng)寫為或者對(duì)所有的反應(yīng)寫為

29、 （11）借助原子矩陣，使其變成原子的組合，即借助原子矩陣，使其變成原子的組合，即線性代數(shù)線性代數(shù) 第六章第六章 在化工中的應(yīng)用實(shí)例在化工中的應(yīng)用實(shí)例 6.16.16.1 化學(xué)計(jì)量矩陣與化學(xué)平衡問(wèn)題化學(xué)計(jì)量矩陣與化學(xué)平衡問(wèn)題12 mAAAA0TkA0aA0 0TkBB于是在獨(dú)立原子組合條件下可得到于是在獨(dú)立原子組合條件下可得到 （12） （13）所以，對(duì)標(biāo)以所以，對(duì)標(biāo)以k的每個(gè)反應(yīng)。都存在同樣相對(duì)于的每個(gè)反應(yīng)。都存在同樣相對(duì)于 的線性方程組的線性方程組(12)，這個(gè)方程組完全符合眾所，這個(gè)方程組完全符合眾所周知的化學(xué)反應(yīng)方程組的一般原則，即化學(xué)反應(yīng)周知的化學(xué)反應(yīng)方程組的一般原則，即化學(xué)反應(yīng)式左

30、邊的某種原子數(shù)及電荷數(shù)等于右邊的該原子式左邊的某種原子數(shù)及電荷數(shù)等于右邊的該原子數(shù)及電荷數(shù)數(shù)及電荷數(shù)線性代數(shù)線性代數(shù) 第六章第六章 在化工中的應(yīng)用實(shí)例在化工中的應(yīng)用實(shí)例 6.16.16.1 化學(xué)計(jì)量矩陣與化學(xué)平衡問(wèn)題化學(xué)計(jì)量矩陣與化學(xué)平衡問(wèn)題0Tk0 ki線性代數(shù)線性代數(shù) 第六章第六章 在化工中的應(yīng)用實(shí)例在化工中的應(yīng)用實(shí)例 6.16.1 設(shè)設(shè)n為出現(xiàn)在反應(yīng)物組成里的各種原子為出現(xiàn)在反應(yīng)物組成里的各種原子（元素）及電荷的數(shù)目；（元素）及電荷的數(shù)目；M為反應(yīng)物質(zhì)的數(shù)為反應(yīng)物質(zhì)的數(shù)目；目；K 是給定體系反應(yīng)的數(shù)目，當(dāng)是給定體系反應(yīng)的數(shù)目，當(dāng)Mn時(shí)，時(shí)，原子矩陣原子矩陣（Mn階）的秩階）的秩是是mn（

31、或當(dāng)（或當(dāng)Mn時(shí)，時(shí)，mM）。當(dāng)）。當(dāng)化學(xué)計(jì)量矩陣化學(xué)計(jì)量矩陣（KM階）的秩階）的秩為為Q時(shí)，則有時(shí)，則有 QMm （19） 若在若在 中僅包含獨(dú)立反應(yīng)，則上式取中僅包含獨(dú)立反應(yīng)，則上式取等號(hào)，式（等號(hào)，式（1919）稱為）稱為Gibbs化學(xué)計(jì)量規(guī)則化學(xué)計(jì)量規(guī)則。 aGibbs化學(xué)計(jì)量規(guī)則化學(xué)計(jì)量規(guī)則 按照按照Gibbs規(guī)則，可以確定體系中最大可規(guī)則，可以確定體系中最大可能的獨(dú)立反應(yīng)的數(shù)目。當(dāng)然它不涉及諸如體能的獨(dú)立反應(yīng)的數(shù)目。當(dāng)然它不涉及諸如體系中全部可能的獨(dú)立反應(yīng)是否發(fā)生？若它們系中全部可能的獨(dú)立反應(yīng)是否發(fā)生？若它們不是都能發(fā)生，那么它們應(yīng)在什么條件下才不是都能發(fā)生，那么它們應(yīng)在什么條件下

32、才能發(fā)生等問(wèn)題。但是，能發(fā)生等問(wèn)題。但是，Gibbs規(guī)則非常深刻規(guī)則非常深刻的描寫了化學(xué)計(jì)量式的特性的描寫了化學(xué)計(jì)量式的特性。 線性代數(shù)線性代數(shù) 第六章第六章 在化工中的應(yīng)用實(shí)例在化工中的應(yīng)用實(shí)例 6.16.16.1 化學(xué)計(jì)量矩陣與化學(xué)平衡問(wèn)題化學(xué)計(jì)量矩陣與化學(xué)平衡問(wèn)題 原子矩陣原子矩陣的秩的秩決定了反應(yīng)混合物的獨(dú)立決定了反應(yīng)混合物的獨(dú)立組分?jǐn)?shù)，而獨(dú)立組分?jǐn)?shù)在研究化學(xué)平衡問(wèn)題組分?jǐn)?shù)，而獨(dú)立組分?jǐn)?shù)在研究化學(xué)平衡問(wèn)題時(shí)是很重要的。時(shí)是很重要的?；瘜W(xué)計(jì)量矩陣化學(xué)計(jì)量矩陣的最大秩數(shù)的最大秩數(shù)Q決定了該體系決定了該體系中能夠進(jìn)行反應(yīng)的獨(dú)立反應(yīng)數(shù)。中能夠進(jìn)行反應(yīng)的獨(dú)立反應(yīng)數(shù)。一般地，總是可以在給定體系中選

33、擇一般地，總是可以在給定體系中選擇Q種種物質(zhì)，這些物質(zhì)完全決定體系的反應(yīng)；它們物質(zhì)，這些物質(zhì)完全決定體系的反應(yīng)；它們還可以作為描述體系動(dòng)力學(xué)方程的獨(dú)立變量。還可以作為描述體系動(dòng)力學(xué)方程的獨(dú)立變量。 線性代數(shù)線性代數(shù) 第六章第六章 在化工中的應(yīng)用實(shí)例在化工中的應(yīng)用實(shí)例 6.16.16.1 化學(xué)計(jì)量矩陣與化學(xué)平衡問(wèn)題化學(xué)計(jì)量矩陣與化學(xué)平衡問(wèn)題線性代數(shù)線性代數(shù) 第六章第六章 在化工中的應(yīng)用實(shí)例在化工中的應(yīng)用實(shí)例 6.16.1本節(jié)要點(diǎn)：本節(jié)要點(diǎn)：1、理解原子矩陣的概念，能夠?qū)懗鑫镔|(zhì)分子的矩陣形式、理解原子矩陣的概念，能夠?qū)懗鑫镔|(zhì)分子的矩陣形式2、掌握物質(zhì)線性空間的維數(shù)、基底和坐標(biāo)的概念及其性質(zhì)。、掌握

34、物質(zhì)線性空間的維數(shù)、基底和坐標(biāo)的概念及其性質(zhì)。3、理解化學(xué)計(jì)量矩陣的概念，能夠?qū)懗龌瘜W(xué)反應(yīng)方程組的向、理解化學(xué)計(jì)量矩陣的概念，能夠?qū)懗龌瘜W(xué)反應(yīng)方程組的向量形式（線性方程組量形式（線性方程組 ） ，并正確求解。，并正確求解。4、在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步加深對(duì)線性代數(shù)的全面理解。、在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步加深對(duì)線性代數(shù)的全面理解。本節(jié)重點(diǎn)：本節(jié)重點(diǎn)：1、原子矩陣及其計(jì)算、原子矩陣及其計(jì)算2、化學(xué)計(jì)量矩陣及其計(jì)算、化學(xué)計(jì)量矩陣及其計(jì)算本章難點(diǎn)：本章難點(diǎn)：對(duì)物質(zhì)向量空間及其線性變換的深入理解對(duì)物質(zhì)向量空間及其線性變換的深入理解 小結(jié)小結(jié):化學(xué)計(jì)量矩陣和化學(xué)平衡問(wèn)題化學(xué)計(jì)量矩陣和化學(xué)平衡問(wèn)題 AB0AB課后習(xí)題：課

35、后習(xí)題：乙烷脫氫反應(yīng)乙烷脫氫反應(yīng) 在高溫下至少應(yīng)考慮五個(gè)反應(yīng)：在高溫下至少應(yīng)考慮五個(gè)反應(yīng)： 試確定獨(dú)立反應(yīng)數(shù)，并確定一組完整的獨(dú)立試確定獨(dú)立反應(yīng)數(shù)，并確定一組完整的獨(dú)立反應(yīng)組。反應(yīng)組。 線性代數(shù)線性代數(shù) 第六章第六章 在化工中的應(yīng)用實(shí)例在化工中的應(yīng)用實(shí)例 6.16.16.1 化學(xué)計(jì)量矩陣與化學(xué)平衡問(wèn)題化學(xué)計(jì)量矩陣與化學(xué)平衡問(wèn)題262422422222224226222223C HC HHC HC HHC HCHC HCHC HCH 在過(guò)程比較復(fù)雜且無(wú)法從機(jī)理確定方程模在過(guò)程比較復(fù)雜且無(wú)法從機(jī)理確定方程模型，或者所確定的數(shù)學(xué)模型無(wú)法求解時(shí)，我型，或者所確定的數(shù)學(xué)模型無(wú)法求解時(shí)，我們往往用試驗(yàn)結(jié)果

36、表示過(guò)程的試驗(yàn)現(xiàn)象。但們往往用試驗(yàn)結(jié)果表示過(guò)程的試驗(yàn)現(xiàn)象。但是，這樣得到的經(jīng)常是物理意義不明的單純是，這樣得到的經(jīng)常是物理意義不明的單純的試驗(yàn)方程。而當(dāng)某過(guò)程或系統(tǒng)的變量很多的試驗(yàn)方程。而當(dāng)某過(guò)程或系統(tǒng)的變量很多時(shí)，建立單純的試驗(yàn)方法也很困難。因次分時(shí)，建立單純的試驗(yàn)方法也很困難。因次分析方法是處理這類問(wèn)題的一種方法析方法是處理這類問(wèn)題的一種方法。 線性代數(shù)線性代數(shù) 第六章第六章 在化工中的應(yīng)用實(shí)例在化工中的應(yīng)用實(shí)例 6.26.26.2 因次分析中的應(yīng)用因次分析中的應(yīng)用 一個(gè)合乎邏輯的物理問(wèn)題一般都可用數(shù)學(xué)一個(gè)合乎邏輯的物理問(wèn)題一般都可用數(shù)學(xué)方程描述。若方程的解可寫成無(wú)因次數(shù)群的方程描述。若方

37、程的解可寫成無(wú)因次數(shù)群的形式，則無(wú)因次數(shù)群數(shù)目比系統(tǒng)中變量和參形式，則無(wú)因次數(shù)群數(shù)目比系統(tǒng)中變量和參數(shù)的數(shù)目要少得多。這意味著對(duì)某個(gè)特定系數(shù)的數(shù)目要少得多。這意味著對(duì)某個(gè)特定系統(tǒng)的辛烯，可以通過(guò)另一個(gè)或許更為簡(jiǎn)單方統(tǒng)的辛烯，可以通過(guò)另一個(gè)或許更為簡(jiǎn)單方便的系統(tǒng)的無(wú)因次數(shù)群關(guān)系的研究中獲得。便的系統(tǒng)的無(wú)因次數(shù)群關(guān)系的研究中獲得。所以，重要問(wèn)題是如何從標(biāo)明的變量和參數(shù)所以，重要問(wèn)題是如何從標(biāo)明的變量和參數(shù)中求得無(wú)因次數(shù)群的最少個(gè)數(shù)。中求得無(wú)因次數(shù)群的最少個(gè)數(shù)。 線性代數(shù)線性代數(shù) 第六章第六章 在化工中的應(yīng)用實(shí)例在化工中的應(yīng)用實(shí)例 6.26.26.2 因次分析中的應(yīng)用因次分析中的應(yīng)用 例如，在非穩(wěn)態(tài)

38、棒熱傳導(dǎo)問(wèn)題中，棒長(zhǎng)例如，在非穩(wěn)態(tài)棒熱傳導(dǎo)問(wèn)題中，棒長(zhǎng)、初始溫度初始溫度、單位體積熱容量單位體積熱容量、熱導(dǎo)熱導(dǎo)、時(shí)間時(shí)間、棒端溫度和棒中的位置是相關(guān)的?？梢约侔舳藴囟群桶糁械奈恢檬窍嚓P(guān)的?？梢约俣ㄗ兞亢蛥?shù)都在最后的無(wú)因次數(shù)群公式定變量和參數(shù)都在最后的無(wú)因次數(shù)群公式出現(xiàn)。我們希望知道無(wú)因次數(shù)群的最少個(gè)出現(xiàn)。我們希望知道無(wú)因次數(shù)群的最少個(gè)數(shù)。數(shù)。線性代數(shù)線性代數(shù) 第六章第六章 在化工中的應(yīng)用實(shí)例在化工中的應(yīng)用實(shí)例 6.26.26.2 因次分析中的應(yīng)用因次分析中的應(yīng)用 假設(shè)問(wèn)題中有關(guān)的物理量是假設(shè)問(wèn)題中有關(guān)的物理量是P1, P2, , Pn (具具體可以是粘度體可以是粘度、表面張力表面張力、直徑

39、直徑、熱導(dǎo)熱導(dǎo)、熱容等熱容等)，基本量是基本量是m1, m2, , mn (質(zhì)量質(zhì)量、長(zhǎng)度長(zhǎng)度、時(shí)間時(shí)間、溫度溫度等等)。物理量。物理量Pj 的因次表達(dá)式為的因次表達(dá)式為其中其中aij 是正或負(fù)的小整數(shù)或零，它是是正或負(fù)的小整數(shù)或零，它是Pj 中基本量中基本量mi 的數(shù)目。的數(shù)目。 線性代數(shù)線性代數(shù) 第六章第六章 在化工中的應(yīng)用實(shí)例在化工中的應(yīng)用實(shí)例 6.26.26.2 因次分析中的應(yīng)用因次分析中的應(yīng)用1212jjmjaaajmPmmm因次矩陣因次矩陣可寫為可寫為 線性代數(shù)線性代數(shù) 第六章第六章 在化工中的應(yīng)用實(shí)例在化工中的應(yīng)用實(shí)例 6.26.26.2 因次分析中的應(yīng)用因次分析中的應(yīng)用1231

40、111213122122232123 nnnmmmmmnPPPPmaaaamaaaamaaaa 作為一向量空間考慮，線性獨(dú)立向量數(shù)為作為一向量空間考慮，線性獨(dú)立向量數(shù)為r，剩下剩下n-r 個(gè)向量都可表示為個(gè)向量都可表示為r個(gè)線性獨(dú)立向量的線性組合，個(gè)線性獨(dú)立向量的線性組合，所以所以 （j=r+1, r+2, , n）其中其中wij 是常數(shù)。是常數(shù)。這是由因次向量表示的向量方程這是由因次向量表示的向量方程。 1 riijiiPw P若由物理量本身表示，則為若由物理量本身表示，則為換言之換言之 是一無(wú)因次群。因?yàn)槊恳皇蕉及粋€(gè)在其它式中是一無(wú)因次群。因?yàn)槊恳皇蕉及粋€(gè)在其它式中不出現(xiàn)的物理量。

41、所以無(wú)因次數(shù)群之間是獨(dú)立的，不出現(xiàn)的物理量。所以無(wú)因次數(shù)群之間是獨(dú)立的，無(wú)因次數(shù)群的最少獨(dú)立數(shù)為無(wú)因次數(shù)群的最少獨(dú)立數(shù)為n=r，實(shí)際上，這里也給，實(shí)際上，這里也給出了求無(wú)因次數(shù)群的一種方法。并且存在許多這樣出了求無(wú)因次數(shù)群的一種方法。并且存在許多這樣的無(wú)因次數(shù)群，為獲得無(wú)因次數(shù)群的經(jīng)驗(yàn)關(guān)系以擬的無(wú)因次數(shù)群，為獲得無(wú)因次數(shù)群的經(jīng)驗(yàn)關(guān)系以擬合試驗(yàn)數(shù)據(jù)，可選擇最為方便的來(lái)使用。合試驗(yàn)數(shù)據(jù)，可選擇最為方便的來(lái)使用。 線性代數(shù)線性代數(shù) 第六章第六章 在化工中的應(yīng)用實(shí)例在化工中的應(yīng)用實(shí)例 6.26.26.2 因次分析中的應(yīng)用因次分析中的應(yīng)用1 ijrwiiiPP11ijrwjiiPP 例例4 試確定初始溫

42、度為試確定初始溫度為Ti，終端溫度為，終端溫度為T0，非穩(wěn)態(tài)，非穩(wěn)態(tài)棒熱傳導(dǎo)問(wèn)題中的無(wú)因次數(shù)群數(shù)目。棒熱傳導(dǎo)問(wèn)題中的無(wú)因次數(shù)群數(shù)目。解解 有關(guān)變量及其因次為有關(guān)變量及其因次為 L棒長(zhǎng)棒長(zhǎng) L=l x位置位置 x=l 時(shí)間時(shí)間 =t Cp熱容熱容 T0Ti 端溫端溫 T0Ti= TTi 時(shí)間位置時(shí)間位置x的溫度的溫度 TTi= k熱導(dǎo)熱導(dǎo) 線性代數(shù)線性代數(shù) 第六章第六章 在化工中的應(yīng)用實(shí)例在化工中的應(yīng)用實(shí)例 6.26.26.2 因次分析中的應(yīng)用因次分析中的應(yīng)用2pmClt3 mlkt 其中使用的基本量為質(zhì)量（其中使用的基本量為質(zhì)量（m），長(zhǎng)度（），長(zhǎng)度（l），時(shí)間），時(shí)間（t）和溫度（）和溫度（

43、）。因次矩陣是）。因次矩陣是矩陣的秩為矩陣的秩為4, 所以無(wú)因次數(shù)群數(shù)目所以無(wú)因次數(shù)群數(shù)目743。這種情。這種情況的無(wú)因次數(shù)群通過(guò)觀察因次矩陣確定，可用的三況的無(wú)因次數(shù)群通過(guò)觀察因次矩陣確定，可用的三個(gè)無(wú)因次數(shù)群是個(gè)無(wú)因次數(shù)群是 線性代數(shù)線性代數(shù) 第六章第六章 在化工中的應(yīng)用實(shí)例在化工中的應(yīng)用實(shí)例 6.26.26.2 因次分析中的應(yīng)用因次分析中的應(yīng)用00001100110110000132000001111piiLxkCTTTTmlt20,iipTTxkTTTL L C關(guān)于化學(xué)與化工中使用因次分析：關(guān)于化學(xué)與化工中使用因次分析：(1) (1) 因次分析的數(shù)學(xué)方法并不復(fù)雜。但是，因次分析的數(shù)學(xué)方

44、法并不復(fù)雜。但是，在選定與現(xiàn)象有關(guān)物理量上，在認(rèn)識(shí)因次分在選定與現(xiàn)象有關(guān)物理量上，在認(rèn)識(shí)因次分析所得到的無(wú)因次數(shù)群的物理意義上，需要析所得到的無(wú)因次數(shù)群的物理意義上，需要對(duì)化學(xué)與化工現(xiàn)象有較深的學(xué)識(shí)和經(jīng)驗(yàn)。對(duì)化學(xué)與化工現(xiàn)象有較深的學(xué)識(shí)和經(jīng)驗(yàn)。(2) (2) 因次分析的基礎(chǔ)是因次一致性原則：凡因次分析的基礎(chǔ)是因次一致性原則：凡是根據(jù)基本的物理規(guī)律導(dǎo)出的方程或關(guān)系式，是根據(jù)基本的物理規(guī)律導(dǎo)出的方程或關(guān)系式，其中各項(xiàng)的因次相同，而這些方程都可化為其中各項(xiàng)的因次相同，而這些方程都可化為無(wú)因次數(shù)群所表示的關(guān)系式。無(wú)因次數(shù)群所表示的關(guān)系式。 線性代數(shù)線性代數(shù) 第六章第六章 在化工中的應(yīng)用實(shí)例在化工中的應(yīng)用

45、實(shí)例 6.26.26.2 因次分析中的應(yīng)用因次分析中的應(yīng)用 (3) 定理：若因次變量和因次常數(shù)共為定理：若因次變量和因次常數(shù)共為n個(gè)，個(gè)，基本因次量為基本因次量為r個(gè)，則無(wú)因次數(shù)群個(gè)數(shù)為個(gè)，則無(wú)因次數(shù)群個(gè)數(shù)為nr。(4) 用因次分析去研究一個(gè)化學(xué)與化工或其它用因次分析去研究一個(gè)化學(xué)與化工或其它問(wèn)題，必須客觀真實(shí)地考慮因次變量和因次問(wèn)題，必須客觀真實(shí)地考慮因次變量和因次常數(shù)。如果漏掉必要的量，就會(huì)得到只是在常數(shù)。如果漏掉必要的量，就會(huì)得到只是在特殊條件下才適用的結(jié)果，甚至完全錯(cuò)誤的特殊條件下才適用的結(jié)果，甚至完全錯(cuò)誤的結(jié)果；如果加進(jìn)不必要的量，在計(jì)算過(guò)程中結(jié)果；如果加進(jìn)不必要的量，在計(jì)算過(guò)程中有

46、時(shí)會(huì)自行消失，有時(shí)會(huì)一直殘留到最后，有時(shí)會(huì)自行消失，有時(shí)會(huì)一直殘留到最后，使無(wú)因次數(shù)群數(shù)目增多，形式復(fù)雜。使無(wú)因次數(shù)群數(shù)目增多，形式復(fù)雜。線性代數(shù)線性代數(shù) 第六章第六章 在化工中的應(yīng)用實(shí)例在化工中的應(yīng)用實(shí)例 6.26.26.2 因次分析中的應(yīng)用因次分析中的應(yīng)用(5) 在用因次分析法研究一個(gè)化學(xué)與化工或其在用因次分析法研究一個(gè)化學(xué)與化工或其它問(wèn)題時(shí)，一般可以采用這樣的具體方法；它問(wèn)題時(shí)，一般可以采用這樣的具體方法；首先假設(shè)因次變量和因次常數(shù)存在如下關(guān)系首先假設(shè)因次變量和因次常數(shù)存在如下關(guān)系 k為無(wú)因次數(shù)群為無(wú)因次數(shù)群假設(shè)因次分析的結(jié)果為假設(shè)因次分析的結(jié)果為 必須注意：這種做法只是因次分析取得無(wú)因

47、必須注意：這種做法只是因次分析取得無(wú)因次數(shù)群的一種手段或方法，并不表示因次變次數(shù)群的一種手段或方法，并不表示因次變量和因次常數(shù)滿足量和因次常數(shù)滿足 線性代數(shù)線性代數(shù) 第六章第六章 在化工中的應(yīng)用實(shí)例在化工中的應(yīng)用實(shí)例 6.26.26.2 因次分析中的應(yīng)用因次分析中的應(yīng)用1212naaanA AAk1212n raaan rk 的函數(shù)關(guān)系，也不表示所研究的問(wèn)題滿足的函數(shù)關(guān)系，也不表示所研究的問(wèn)題滿足線性代數(shù)線性代數(shù) 第六章第六章 在化工中的應(yīng)用實(shí)例在化工中的應(yīng)用實(shí)例 6.26.26.2 因次分析中的應(yīng)用因次分析中的應(yīng)用1212naaanA AAk1212n raaan rk 的函數(shù)關(guān)系。但是，客

48、觀上存在一種的函數(shù)關(guān)系。但是，客觀上存在一種或或123(,)nAf A AA122(,)n r 的關(guān)系描述著問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。的關(guān)系描述著問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。 (6) 因次分析必須以試驗(yàn)作為補(bǔ)充，以確定因次分析必須以試驗(yàn)作為補(bǔ)充，以確定無(wú)因次數(shù)群間確切的函數(shù)關(guān)系，這樣才有實(shí)無(wú)因次數(shù)群間確切的函數(shù)關(guān)系，這樣才有實(shí)用意義。用意義。線性代數(shù)線性代數(shù) 第六章第六章 在化工中的應(yīng)用實(shí)例在化工中的應(yīng)用實(shí)例 6.26.26.2 因次分析中的應(yīng)用因次分析中的應(yīng)用 在化學(xué)物質(zhì)種類很多，反應(yīng)是動(dòng)態(tài)標(biāo)明在化學(xué)物質(zhì)種類很多，反應(yīng)是動(dòng)態(tài)標(biāo)明的復(fù)雜化學(xué)反應(yīng)系統(tǒng)中，迫切需要一個(gè)準(zhǔn)則，的復(fù)雜化學(xué)反應(yīng)系統(tǒng)中，迫切需要一個(gè)準(zhǔn)則，以確定

49、描述反應(yīng)系統(tǒng)所需方程的最少數(shù)目。以確定描述反應(yīng)系統(tǒng)所需方程的最少數(shù)目。下面研究空管反應(yīng)器，其分析基本上與間歇下面研究空管反應(yīng)器，其分析基本上與間歇反應(yīng)器相同反應(yīng)器相同 如果假設(shè)流體塞式流動(dòng)，擴(kuò)散和傳導(dǎo)效如果假設(shè)流體塞式流動(dòng)，擴(kuò)散和傳導(dǎo)效應(yīng)都可忽略，熱傳遞假設(shè)由壁傳熱系數(shù)表征，應(yīng)都可忽略，熱傳遞假設(shè)由壁傳熱系數(shù)表征，落在管軸上的游動(dòng)變量是落在管軸上的游動(dòng)變量是 ，流體中發(fā)生的，流體中發(fā)生的反應(yīng)由下式給出反應(yīng)由下式給出 線性代數(shù)線性代數(shù) 第六章第六章 在化工中的應(yīng)用實(shí)例在化工中的應(yīng)用實(shí)例 6.36.36.3 化學(xué)反應(yīng)系統(tǒng)中的應(yīng)用化學(xué)反應(yīng)系統(tǒng)中的應(yīng)用x 其中其中a ajiji按熱力學(xué)習(xí)慣對(duì)生成物為正

50、，對(duì)反應(yīng)物為負(fù)，有按熱力學(xué)習(xí)慣對(duì)生成物為正，對(duì)反應(yīng)物為負(fù)，有n n種化學(xué)物質(zhì)，種化學(xué)物質(zhì)，m個(gè)反應(yīng)。問(wèn)題中符號(hào)簡(jiǎn)述如下：個(gè)反應(yīng)。問(wèn)題中符號(hào)簡(jiǎn)述如下：G G為總質(zhì)量流為總質(zhì)量流動(dòng)速率動(dòng)速率; T; T為反應(yīng)混合物溫度為反應(yīng)混合物溫度; t; t為環(huán)境溫度為環(huán)境溫度; h; h為管壁熱傳導(dǎo)為管壁熱傳導(dǎo)系數(shù)系數(shù); a; a為反應(yīng)器截面積為反應(yīng)器截面積; p; p為壓力為壓力; P; P為反應(yīng)器周長(zhǎng)為反應(yīng)器周長(zhǎng); h; hi i為第為第i i種物質(zhì)分摩爾焓；種物質(zhì)分摩爾焓；Hj為第為第j j個(gè)反應(yīng)的反應(yīng)熱；個(gè)反應(yīng)的反應(yīng)熱；A Ai i為第為第i i種化種化學(xué)物質(zhì)；學(xué)物質(zhì)；C Cpipi為第為第i i種

51、物質(zhì)的摩爾熱容；種物質(zhì)的摩爾熱容；a aijij為第為第j j個(gè)反應(yīng)中第個(gè)反應(yīng)中第i i種物質(zhì)的化學(xué)計(jì)量系數(shù)；種物質(zhì)的化學(xué)計(jì)量系數(shù)；f fijij為單位體積單位時(shí)間第為單位體積單位時(shí)間第j j個(gè)反應(yīng)個(gè)反應(yīng)中第中第i i種物質(zhì)生成的摩爾速率；為壁上的剪應(yīng)力；種物質(zhì)生成的摩爾速率；為壁上的剪應(yīng)力；f f為摩擦系為摩擦系數(shù)；數(shù)；g gi i為反應(yīng)混合物的物質(zhì)為反應(yīng)混合物的物質(zhì)i i的單位質(zhì)量摩爾數(shù)；的單位質(zhì)量摩爾數(shù)；u u為沿管軸為沿管軸線速度；線速度；w w為反應(yīng)混合物的質(zhì)量速度。為反應(yīng)混合物的質(zhì)量速度。線性代數(shù)線性代數(shù) 第六章第六章 在化工中的應(yīng)用實(shí)例在化工中的應(yīng)用實(shí)例 6.26.26.3 化學(xué)

52、反應(yīng)系統(tǒng)中的應(yīng)用化學(xué)反應(yīng)系統(tǒng)中的應(yīng)用10 (j=1,2,m)nijia Ai 線性代數(shù)線性代數(shù) 第六章第六章 在化工中的應(yīng)用實(shí)例在化工中的應(yīng)用實(shí)例 6.36.36.3 化學(xué)反應(yīng)系統(tǒng)中的應(yīng)用化學(xué)反應(yīng)系統(tǒng)中的應(yīng)用圖圖6.3-1圖圖6.3-1為推導(dǎo)守恒方程考慮的理想反應(yīng)為推導(dǎo)守恒方程考慮的理想反應(yīng)器物質(zhì)器物質(zhì) i 遷移流入量是遷移流入量是 ，x 代表代表研究的位置，遷移流出量研究的位置，遷移流出量 是在第是在第j個(gè)反應(yīng)中，由化學(xué)反應(yīng)生成的物質(zhì)個(gè)反應(yīng)中，由化學(xué)反應(yīng)生成的物質(zhì) i 的的速率是速率是()ixxGgi(Gg )x在所有反應(yīng)中為在所有反應(yīng)中為守恒方程是守恒方程是當(dāng)當(dāng) 時(shí)，取得極限得時(shí)，取得極限

53、得 （1） 線性代數(shù)線性代數(shù) 第六章第六章 在化工中的應(yīng)用實(shí)例在化工中的應(yīng)用實(shí)例 6.36.36.3 化學(xué)反應(yīng)系統(tǒng)中的應(yīng)用化學(xué)反應(yīng)系統(tǒng)中的應(yīng)用0 x 反應(yīng)速率表達(dá)式反應(yīng)速率表達(dá)式fij對(duì)一特定反應(yīng)而言不是獨(dú)立對(duì)一特定反應(yīng)而言不是獨(dú)立的，它與下式有關(guān)的，它與下式有關(guān)其中其中fj 實(shí)際速率，與實(shí)際速率，與fij 有關(guān)有關(guān) 將該式代入式（將該式代入式（1），得），得即即 （2）線性代數(shù)線性代數(shù) 第六章第六章 在化工中的應(yīng)用實(shí)例在化工中的應(yīng)用實(shí)例 6.36.36.3 化學(xué)反應(yīng)系統(tǒng)中的應(yīng)用化學(xué)反應(yīng)系統(tǒng)中的應(yīng)用這這n n個(gè)方程中每個(gè)對(duì)應(yīng)一種化學(xué)物質(zhì)，包括惰個(gè)方程中每個(gè)對(duì)應(yīng)一種化學(xué)物質(zhì)，包括惰性組分，但顯然

54、太多因?yàn)橛形镔|(zhì)質(zhì)量濃度性組分，但顯然太多因?yàn)橛形镔|(zhì)質(zhì)量濃度關(guān)系式，所以，對(duì)單個(gè)反應(yīng)來(lái)說(shuō)，一個(gè)這種關(guān)系式，所以，對(duì)單個(gè)反應(yīng)來(lái)說(shuō)，一個(gè)這種方程就足夠了化學(xué)計(jì)量系數(shù)矩陣是方程就足夠了化學(xué)計(jì)量系數(shù)矩陣是 線性代數(shù)線性代數(shù) 第六章第六章 在化工中的應(yīng)用實(shí)例在化工中的應(yīng)用實(shí)例 6.36.36.3 化學(xué)反應(yīng)系統(tǒng)中的應(yīng)用化學(xué)反應(yīng)系統(tǒng)中的應(yīng)用111212122212 mmnnnmA假設(shè)其秩為假設(shè)其秩為r，為方便起見，設(shè)左上角，為方便起見，設(shè)左上角r階行列階行列式非零，則存在一組常數(shù)，使得行向量式非零，則存在一組常數(shù)，使得行向量線性代數(shù)線性代數(shù) 第六章第六章 在化工中的應(yīng)用實(shí)例在化工中的應(yīng)用實(shí)例 6.36.36.

55、3 化學(xué)反應(yīng)系統(tǒng)中的應(yīng)用化學(xué)反應(yīng)系統(tǒng)中的應(yīng)用k12 = (k=r+1,r+2,n)Tkkkmb 是前是前r個(gè)行向量個(gè)行向量 的線性組合，的線性組合， 設(shè)這組常數(shù)為設(shè)這組常數(shù)為,k=1,2,rTkb所以所以式（式（2）用矩陣向量形式可寫作）用矩陣向量形式可寫作 （3）其中其中 線性代數(shù)線性代數(shù) 第六章第六章 在化工中的應(yīng)用實(shí)例在化工中的應(yīng)用實(shí)例 6.36.36.3 化學(xué)反應(yīng)系統(tǒng)中的應(yīng)用化學(xué)反應(yīng)系統(tǒng)中的應(yīng)用Tjkjj=b (k=r+1,r+2,n)TkbdgwAfdx1122, f= nmgfgfggf存在一個(gè)非奇異方陣存在一個(gè)非奇異方陣B，當(dāng)它作用于，當(dāng)它作用于A時(shí)，在時(shí)，在最后最后(n-r)行

56、產(chǎn)生行產(chǎn)生繼而繼而左邊向量的最后左邊向量的最后(n(nr)r)行是行是 線性代數(shù)線性代數(shù) 第六章第六章 在化工中的應(yīng)用實(shí)例在化工中的應(yīng)用實(shí)例 6.36.36.3 化學(xué)反應(yīng)系統(tǒng)中的應(yīng)用化學(xué)反應(yīng)系統(tǒng)中的應(yīng)用Tjkjj b =0TkbdgwBBAfdxjk0 (k=r+1,r+2,n)jkjdgdgdxdx對(duì)這些方程積分得到對(duì)這些方程積分得到所以，所以，n nr r個(gè)質(zhì)量濃度可以由其它個(gè)質(zhì)量濃度可以由其它r r個(gè)表示，個(gè)表示，由質(zhì)量守恒微分方程描述的系統(tǒng)僅含有由質(zhì)量守恒微分方程描述的系統(tǒng)僅含有r r個(gè)組個(gè)組分，這也是分，這也是A A的秩。的秩。 線性代數(shù)線性代數(shù) 第六章第六章 在化工中的應(yīng)用實(shí)例在化工中的應(yīng)用實(shí)例 6.36.36.3 化學(xué)反應(yīng)系統(tǒng)中的應(yīng)用化學(xué)反應(yīng)系統(tǒng)中的應(yīng)用0jk0() (k=r+1,r+2,n)kkijjgggg 有些化學(xué)反應(yīng)的速度常數(shù)很小，所以示意有些化學(xué)反應(yīng)的速度常數(shù)很小，所以示意反應(yīng)機(jī)理可以用另一種方式近似，例如，三反應(yīng)機(jī)理可以用另一種方式近似，例如，三角系統(tǒng)就是角系統(tǒng)就是 的一般概括。其中三的一般概括。其中三角系統(tǒng)中的角系統(tǒng)中的k3 和和ki 被假設(shè)為零。被假設(shè)為零。線性代