34磁場對運動電荷的作用

1、§3。4磁場對運動電荷的作用3.4.1、洛倫茲力載流導(dǎo)線所受的安培力，我們可看為是磁場作用給運動電荷即自由電子的力，經(jīng)自由電子與導(dǎo)體晶格的碰撞而傳遞給導(dǎo)線的。根據(jù)安培定律FTBALsin8，而電流強度與運動電荷有關(guān)系I=qnvs,9角圖3-4-1既是電流元IAL與B的火角，也可視為帶電粒子的速度V與B之間的火角,AL長導(dǎo)線中有粒子數(shù)N=nMS,則每個電子受到的力即洛倫茲力為rFqnvSBLsinm.f=qvBsinN洛倫茲力總是與粒子速度垂直，因此洛倫茲力不作功，不能改變運動電荷速度的大小，只能改變速度的方向，使路徑發(fā)生彎曲。洛倫茲力的方向從圖3-4-1可以看出，它一定與磁場（B）的

2、方向垂直，也與粒子運動（V）方向垂直，即與v、B所在的平面垂直，具體方向可用左手定則判定。但應(yīng)注意，這里所說的粒子運動方向是指正電荷運動的方向，它恰與負(fù)電荷沿相反方向運動等效。3.4.2、帶電粒子在勻強磁場中的運動規(guī)律帶電粒子在勻強磁場中的運動規(guī)律與粒子的初始狀態(tài)有關(guān)具體如下：如果帶電粒子原來靜止，它即使在磁場中也不會受洛倫磁力的作用，因而保持靜止。如果帶電粒子運動的方向恰與磁場方向在一條直線上，該粒子仍不受洛倫磁力的作用，粒子就以這個速度在磁場中做勻速直線運動帶電粒子速度方向與磁場方向垂直，帶電粒子在垂直丁磁場方向的平面內(nèi)以入射速度v作勻速圓周運動。帶電粒子在勻強磁場中作勻速圓周運動的四個基

3、本公式。圖3-4-2fOeiA(2)軌道半徑公式:(3)周期、-mvR=Bq頻率和角頻率公式，即:2vqvB=m向心力公式：RBq2r:mT2何，(4)動能公式:Ek=1mv22_2(BqR)2m2m如圖3-4-2所示,在洛倫茲力作用下，一個作勻速圓周運動的粒子，不論沿順時針方向運動還是沿逆時針方向運動，從A點到B點，均具有下述特點:(1)軌道圓心(O)總是位丁A、B兩點洛倫茲力(f)的交點上或AB弦的中垂線OO與任一個f的交點上。(2)粒子的速度偏向角甲等丁回旋角a，并等丁AB弦與切線的火角(弦切角9)的兩倍，即=a=2_.十。磁場中帶電粒子運動的方向一般是任意的，但任何一個帶電粒子運動的速

4、度(v)都可以在垂直丁磁場方向和平行丁磁場方向進行分解，得到v_L和v/兩個分速度。根據(jù)運動的獨立性可知，這樣的帶電粒子一方面以v在磁場方向上作勻vv±速運動，一方面乂在垂直丁磁場的方向上作速率為v_l的勻速圓周運動。實際上粒子作螺旋線運動（如圖3-4-3）,這種螺旋線運動的周期和螺距大小讀者自己分析并不難解決。其螺旋運動的周期T=2?im/qB,其運動規(guī)律:mvsinnr=螺旋運動回旋半徑：qB螺旋運動螺距：h=vT=2mvcosu/qB3.4.3、霍爾效應(yīng)h將一載流導(dǎo)體放在磁場中，由丁洛倫茲力的作用，會使帶電粒子（或別的載流子）發(fā)生橫向偏轉(zhuǎn)，在磁場和電流二者垂直的方向上出現(xiàn)橫向電

5、勢差，這一現(xiàn)象稱為霍爾效應(yīng)。如圖3-4-4所示，電流I在導(dǎo)體中流動，設(shè)導(dǎo)體橫截面高h(yuǎn)、寬為d勻強磁場方向垂直與導(dǎo)線前、后兩表面向外，磁感強度為B,導(dǎo)體內(nèi)自由電子密度為n,定向移動速度vI=nevhd由丁洛倫茲力作用，自由電子向上表面聚集，下表面留下正離子，結(jié)果上下表面問形成電場，存在電勢差U,這個電場對電子的作用力方向向下，大小為F=eE=eh當(dāng)F與洛倫磁力f相平衡時，上、下表面電荷達(dá)到穩(wěn)定，則有=evBUehned圖3-4-5如果導(dǎo)電的載流子是正電荷，則上表面聚集正電荷，下表面為負(fù)電勢，電勢差正、負(fù)也正好相反。下面來分析霍爾電勢差，求出霍爾系數(shù)。在圖3-4-5中，設(shè)大塊導(dǎo)體的長和寬分別為L和

6、d,單位體積自由電荷密度為n,電荷定向移動速率為v,則電流I=nqLdv。假定形成電流的電荷是正電荷，其定向移動方向就是電流方向。根據(jù)左手定則，正電荷向上積聚，下表面附近缺少正電荷則呈現(xiàn)負(fù)電荷積聚，上正下負(fù)電壓UaaF=qE=q為Uaa，正電何受到跟磁場力反向的電場力L的作用。BI1電場對正電荷向上的偏移積聚起阻礙作用，當(dāng)最后達(dá)到平衡時Uaa1nqLddnq?？梢姡碚撏茖?dǎo)的結(jié)果跟q=qBvUaa=BLv=BLL，可得k=實驗結(jié)果完全一致，系數(shù)nq。既然k跟n有關(guān)，n表征電荷濃度，那么通過實驗測定k值可以確定導(dǎo)體或半導(dǎo)體的電荷濃度n,半導(dǎo)體的n值比金屆導(dǎo)體小得多，所以k值也大得多。此外根據(jù)左手

7、定則還可知，即使電流I就是圖3-4-6中的流向，如果參與流動的是正電荷，那么電壓就是上正下負(fù)；如果參與定向移動的是自由電子，那么電壓就是上負(fù)下正了。霍爾電勢的高低跟半導(dǎo)體是p型的還是n型的有如此的關(guān)系：上正下負(fù)的是p型半導(dǎo)體，定向載流子是帶正電的空穴：上負(fù)下正的是n型半導(dǎo)體，如果k值小得多就是金屆導(dǎo)體，定向載流子是自由電子。3.4.4、磁聚焦運動電荷在磁場中的螺旋運動被應(yīng)用丁“磁聚焦技術(shù)”如圖3-4-7,電子束經(jīng)過a、b板上包定電場加速后，進入c、d極板之間電場,c、d板上加交變電壓，所以飛出c、d板后粒子速度v方向不同，從A孔穿入螺線管磁場中，由丁V大小差不多，且v與B夾ib©&#

8、169;©©©©©©©i圖3-4-7角e很小，則V/=vcosU:vv=vsin【v【由丁速度分量vM同，在磁場中它們將沿不,2二mv2二mvh=同半徑的螺旋線運動。但由丁它們速度v/分量近似相等，經(jīng)過qBqB后乂相聚丁A,點，這與光束經(jīng)透鏡后聚焦的現(xiàn)象有些類似，所以叫做磁聚焦現(xiàn)象。磁聚焦原理被廣泛地應(yīng)用丁電真空器件如電子顯微鏡。3.4.5、復(fù)合場中離子的運動1.電場和磁場區(qū)域獨立磁場與電場不同，磁場中，洛倫磁力對運動電荷不做功，只改變帶電粒子速度方向，所以在勻強磁場中帶電粒子的運動主要表現(xiàn)為：勻速圓周運動、螺旋運動、勻速直

9、線運動。而電場中，電荷受到電場力作用，電場力可能對電荷做功，因而改變速度大小和方向，但電場是保守場，電場力做功與運動路徑無關(guān)。處理獨立的電場和磁場中運動電荷問題，是分開獨立處理例：如圖3-3-8所示，在xoy平面內(nèi)，y。區(qū)域有勻強電場，方向沿-y方向,大小為E,y。區(qū)域有勻強磁場，方向垂直紙面向里，大小為B,一帶電+q、質(zhì)量為m的粒子從y軸上一點P由靜止釋放，要求粒子能經(jīng)過x軸上Q點，Q坐標(biāo)為(L,O),試求粒子最初釋放點P的坐標(biāo)。分析：解決上述問題關(guān)鍵是明確帶電粒子的受力和運動特點。從y軸上釋放后，只受電場力加速做直線運動，從O點射入磁場，然后做勻速圓周運動，半圈后可能恰好擊中Q點，也可能返

10、回電場中，再減速、加速做直線運動，然后乂返回磁場中，再經(jīng)半圓有可能擊中Q點，。那么擊中Q點應(yīng)滿足n，2R=L的條件。(1) 2.空間區(qū)域同時存在電場和磁場電場和磁場正交如圖3-4-9所示，空間存在著正交的電場和磁場區(qū)域，電場平行丁紙面平面f洛XXXX.BX、XXXX1XrX,XE圖3-4-9向下，大小為E,磁場垂直丁紙面向內(nèi)，磁感強度為B,一帶電粒子以初速v0進入磁場，v0_LE,v0_LB，設(shè)粒子電量+q,則受力:=qv°B方向向上，ft=qE方向向下。若滿足：qv0B=qEv0=E/B則帶電粒子將受平衡力作用做勻速直線運動，這是一個速度選擇器模型若粒子進入正交電磁場速度v,v0，

11、則可將v分解為v=v0*v1,粒子的運動可看成是v0與v1兩個運動的合運動，因而粒子受到的洛倫茲力可看成是qv0B與qv1B的合力，而qv0B與電場力qE平衡，粒子在電場中所受合力為quB,結(jié)果粒子的運動是以v0的勻速直線運動和以速度V1所做勻速圓周運動的合運動。例：如圖3-4-10正交電磁場中，質(zhì)量m、帶電量+q粒子由一點P靜止釋放,分析它的運動。分析：粒子初速為零釋放，它的運動軌跡是如圖3-4-10所示的周期性的曲線。初速為零，亦可看成是向右的v0與向左-v0兩個運動的合運動，其中v0大小為：v0=E/B所以+q粒子可看成是向右&勻速直線運動和逆時針的勻速圓周運動的合運動。電場方向

12、上向下最大位移dm=2Rmv°_mER一2qBqB2mEdm-2-qB一個周期向右移動距離L即PPi之距為L=v°T十2mT=qB,2二mEL=2-代入，得：qB(2) 最低點Q點速度vq=2v0圖3-4-10電場和磁場平行如圖3-4-11所示的空間區(qū)域有相互平行的電場和磁場E、B一帶電+q粒子以初速V。射入場區(qū)v0上E（或B）。則帶電粒子在磁場力作用下將做圓周運動，電場力作用下向上做加速運動，由丁向上運動速度分量V1始終與B平行，故粒子受洛倫磁力大小包為qvoB，結(jié)果粒子運動是垂直丁E（或B）平面的半徑R=mVo/qB的勻速圓周運動和沿E方向勻加速直線運動的合運動，即一個

13、螺距逐漸增大的螺旋運動。（3）電場力、洛倫磁力都與v。方向垂直，粒子做勻速圓周運動。例如電子繞原子核做勻速圓周運動，電子質(zhì)量m,電量為e,現(xiàn)在垂直軌道平面方向加一勻強磁場，磁感強度大小為B,而電子軌道半徑不變，已知電場力3倍與洛倫磁力，試確定電子的角速度。在這里電子繞核旋轉(zhuǎn)，電場力、洛倫磁力提供運動所需向心力，即f電+f洛=mv2/r而f洛可能指向圓心，也可能沿半徑向外的，因而可能是23evBevB二mv/r23evB-evB=mv/r2eB4eB'1=,、，2=m或m典型例題例1.在如圖3-4-12所示的直角坐標(biāo)系中，坐標(biāo)原點,ybQOO固定電量為Q的正點電荷，另有指向y軸正方向（豎

14、直向上方向），磁感應(yīng)強度大小為B的勻強磁場，因而另一個質(zhì)量為m、電量力為q的正點電荷微粒恰好能以y軸上的O'點為圓心作勻速圓周運動，其軌道平面（水平面）與xoz平'面平行，角速度為切，試求圓心O'的坐標(biāo)值。分析：帶電微粒作勻速圓周運動，可以確定在只有洛倫磁力和庫侖力的情況下除非O'與。不重合，必須要考慮第三個力即重力。只有這樣，才能使三者的合力保證它繞O'在水平面內(nèi)作勻速圓周運動。解：設(shè)帶電微粒作勻速圓周運動半徑為R,圓心的。縱坐標(biāo)為y,圓周上點與坐標(biāo)原點的連線和y軸火角為6,那么有帶電粒子受力如圖3-4-13所示，列出動力學(xué)方程為mg=F電cos。(1

15、)2f洛-F電sin0=mR(2)f=qRB將(2)式變換得f洛-m切2R=f電sin將代入，且(1)+(4)得mg=y2一一qRB-m，RR消去R得y=mgqB-m，2例2.如圖3-4-14所示，被1000V的電勢差加速的電子從電子槍發(fā)射出來，沿直線a方向運動，要求電子擊中在a方向、距離槍口5cm的靶M,對以下兩種情形求出所用的均勻磁場的磁感應(yīng)強度B.(1) 磁場垂直丁由直線a與點M所確定的平面。(2) 磁場平行丁TM。解：(1)從幾何考慮得出電子的圓軌道的半徑為(如圖3-4-15)dr=2sina按能量守包定律,電荷Q通過電勢差U后的速度v12,小-mv=UQ2a圖3-4-1M作用在電荷Q

16、上的洛倫磁力為F=QBv這個力等丁向心力2mvr-QBv故所需的磁感應(yīng)強度為-mvB=rQ用上面的半徑和速度值，得到2sira2UmB：:md:Q3119.由丁m=9.11勺0kg,。=1.6乂10C,所以B=0.0037T(2)在磁場施加的力與速度ft直，所以均勻包定磁場只改變電子速度的方向，不改變速度的大小。我們把電子槍發(fā)射的電子速度分解成兩個直線分量：沿磁場B方向的vcosa和垂直磁場的vsina，因為vcosa在磁場的方向上，磁場對它沒有作用力(圖3-4-16）。電子經(jīng)過d/vcosa時間后到達(dá)目標(biāo)M。由丁磁場B22mvsina=BQvsina和垂直的速度分量vsina,電子在圓軌道上

17、運動，由得到圓半徑為mvsinarQB電子在目標(biāo)M的方向上也具有速度vcosa，結(jié)果是電子繞B方向作螺旋線運動。電在在d/vcosa時間內(nèi)，在繞了k圈后擊中目標(biāo)。K是一個整數(shù)。圓的周長為2二r=2二mvsina/QB2：mvsina2二m由丁繞圓周運動的速度是vsina，故繞一周的時間是QBvsinaQBd2二m,=k這個值乘上整數(shù)k,應(yīng)等丁d/vcosavcosaQBB=k2mcosa因此，所需的磁感應(yīng)強度為Qd,2二cosav=kdk=1時，電子轉(zhuǎn)一圈后擊中目標(biāo)：k=2時，電子轉(zhuǎn)兩圈后擊中目標(biāo)，等等只要角度a相同，磁場方向相反與否，無關(guān)緊要。用給出的數(shù)據(jù)代入，得B=kX0.0067T例3.

18、一根邊長為a、b、c(a>>b>>c)的矩形截面長棒，如圖3-4-17所示，由半導(dǎo)體錦化錮制成，棒中有平行丁a邊的電流I通過，該棒放在垂直丁c邊向外的磁場B中,電流I所產(chǎn)生的磁場忽略不計。該電流的載流子為電子，在只有電場存在時，電子在半導(dǎo)體中的平均速度v=E，其中卜為遷移率。(1) 確定棒中所產(chǎn)生上述電流的總電場的大小和方向。(2) 計算夾c邊的兩表面上相對兩點之間的電勢差。如果電流和磁場都是交變的，且分別為1TMin況，B=B°sin例+中)，求(2)中電勢差的直流分量的表達(dá)式。已知數(shù)據(jù)：電子遷移率”=7.8m2/Vs，電子密度n=2.51022/m3,1=

19、1.0A,B=0.1T,b=1.0cm,c=1.0mm,e=1.6X10-19C分析：這是一個有關(guān)霍爾效應(yīng)的問題，沿電流方向，導(dǎo)體內(nèi)存在電場，乂因為霍爾效應(yīng)，使得電子偏轉(zhuǎn)，在垂直電流方向產(chǎn)生電場，兩側(cè)面間有電勢差的存在解：(1)因為I=nevbc1v=25m/snebc所以電場沿a方向分量E=v/=3.2V/m沿c方向的分量qvB=qE【E=vB=2.5V/m總電場大小：EfE；E：|=4.06V/mtg（了）=tg（共）=38電場方向與a邊火角a,a=E/3.2(2)上、下兩表面電勢差U=E_c=2.5103(3)加上交變電流和交變磁場后，有前面討論的上、下表面電勢差表達(dá)式IBnec,可得:

20、U=-B=Bsintsin(t)一necnec-B01cos(2t:)1cos:=necIL22°cos因此U_L的直流分量為U_L直=2nec例4.如圖3-4-18所示，空間有互相正交的勻強電場和勻強磁場B,E沿+y方向，B沿+z方向，一個帶正電+q、圖3-4-18質(zhì)量為m的粒子(設(shè)重力可以忽略)，從坐標(biāo)圓點。開始無初速出發(fā)，求粒子坐標(biāo)和時間的函數(shù)關(guān)系，以及粒子的運動軌跡。圖3-4-19分析：正離子以O(shè)點起無初速出發(fā)，受包定電場力作用沿+y方向運動，因為速度v的大小、方向都改變，洛倫茲力僅在xOy平面上起作用，粒子軌跡一定不會離開xOy平面且一定以。為起點。既然粒子僅受的兩個力中一

21、個是包力一個是變力，作為解題思路，利用獨立性與疊加原理，我們設(shè)想把洛倫茲力分解為兩個分力，使一個分力跟包電場力抵消，就把這個實際受力簡化為只受一個洛倫茲力分力的問題。注意此處不是場的分解和抵消，而是通過先分解速度達(dá)到對力進行分解和疊加。我們都知道，符合一定大小要求的彼此正交的勻強復(fù)合電磁場能起速度選擇器作用。受其原理啟發(fā)，設(shè)想正離子從。點起（此處V。=0）就有一個沿x軸正方E-.V。向、大小為B的始終不變的速度，當(dāng)然在。點同時網(wǎng)有一個沿-x萬向的大E_小也是B的速度，保證在O點v。=。，則qBVc=qE,qBvc沿-y方向，qE沿+y方向，彼此抵消，可寫成fB（Vc）=-F（E）。因任一時刻邊=Vc+v，所以fB（Vt）=fB（Vc）+fB（V），或改寫成